优化方案2016高中数学 第一章 三角函数课件（打包12套）新人教A版必修4.zip

第一章 三 角 函 数§1 周 期 现 象§2 角的概念的推广第一章 三 角 函 数1． 问题导 航(1)连续 抛一枚硬 币 ，面 值 朝上我 们记为 0，面 值 朝下我 们记为 1，数字 0和 1是否会周期性地重复出 现 ？(2)一条射 线绕 端点旋 转 ，旋 转 的圈数越多， 则这 个角越大， 这样说对吗 ？(3)在坐 标 系中，将 y轴 的正半 轴绕 坐 标 原点 顺时针 旋 转 第一次到 x轴 的正半 轴 所形成的角 为 90°， 这 种 说 法是否正确？2．例 题导读P4例 1，例 2，例 3.通 过 此三例学 习 ，学会利用周期 现 象的定义 判断一种 现 象是否 为 周期 现 象．试 一 试 ： 教材 P5习题 1－ 1 T1， T2， T3你会 吗 ？P7例 1.通 过 本例学 习 ，学会判断一个角是第几象限角．试 一 试 ： 教材 P8习题 1－ 2 T1， T2你会 吗 ？P7例 2.通 过 本例学 习 ，学会写出 终边 落在坐 标轴 上的角的集合．P8例 3.通 过 本例学 习 ，学会写出 终边 与已知角 终边 相同的角的集合，并能写出 该 集合中指定范 围 的元素．试 一 试 ： 教材 P8习题 1－ 2 T3， T4你会 吗 ？1．周期 现 象我 们 把以相同 间 隔 _________出 现 的 现 象叫做周期 现 象．2．任意角(1)角的概念角可以看成平面内 ____________绕 着 ____________从一个位置 ____________到另一个位置所形成的 图 形．重复一条射 线 端点旋 转(2)角的分 类按旋 转 方向，角可以分 为 三 类 ：名称 定 义 图 形正角 按 ___________方向旋 转形成的角负 角 按 __________方向旋 转 形成的角零角 一条射 线 从起始位置没有作任何旋 转 形成的角逆 时针顺时针3.(1)象限角在平面直角坐 标 系中研究角 时 ，如果角的 顶 点与 _________重合，角的始 边 与 _________________重合，那么，角的 终边 (除端点外 )在第几象限，我 们 就 说这 个角是第几象限角．若角的 终边 落在坐 标轴 上， 则 称 这 个角 为轴线 角或象限界角．原点x轴 的非 负 半 轴(2)象限角的集合表示象限角 角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角{α|k·360°αk·360°＋ 90°， k∈ Z}{α|k·360°＋ 90°αk·360°＋ 180°， k∈ Z}{α|k·360°＋ 180°αk·360°＋ 270°， k∈ Z}{α|k·360°＋ 270°αk·360°＋ 360°， k∈ Z}(3)轴线 角的集合表示轴线 角 角的集合表示终边 落在 x轴 的非 负 半 轴上的角终边 落在 x轴 的非正半 轴 上的角终边 落在 x轴 上的角终边 落在 y轴 的非 负 半 轴上的角终边 落在 y轴 的非正半 轴 上的角终边 落在 y轴 上的角终边 落在坐 标轴 上的角{α|α＝ k·360°， k∈ Z}{α|α＝ k·360°＋ 180°， k∈ Z}{α|α＝ k·180°， k∈ Z}{α|α＝ k·360°＋ 90°， k∈ Z}{α|α＝ k·360°－ 90°， k∈ Z}{α|α＝ k·180°＋ 90°， k∈ Z}{α|α＝ k·90°， k∈ Z}(4)终边 相同的角所有与角 α终边 相同的角， 连 同角 α在内，可构成一个集合 S＝ {β|β＝ ____________， k∈ Z}，即任何一个与角 α终边 相同的角，都可以表示成角 α与 _________________的和．α＋ k× 360°周角的整数倍1．判断正 误 ． (正确的打 “√” ， 错误 的打 “ ×” )(1)钟 表的秒 针 的运 动 是周期 现 象． ( )(2)某交通路口每次 绿 灯通 过 的 车辆 数是周期 现 象． ( )(3)钝 角是第二象限的角． ( )(4)第二象限的角一定比第一象限的角大． ( )(5)终边 相同的角不一定相等． ( )√××√√解析： (1)正确．秒 针 每分 钟转 一圈 ， 它的运 动 是周期 现 象．(2)错误 ． 虽 然每次 绿 灯 经过 相同的 时间间 隔重复 变 化 ， 但每次 绿 灯 经过 的 车辆 数不一定相同 ， 故不是周期 现 象．(3)正确．大于 90°而小于 180°的角称 为钝 角 ， 它是第二象限角．(4)错误 .100°是第二象限角 ， 361°是第一象限角 ， 但100°361°.(5)正确． 终边 相同的角可以相差 360°的整数倍．2．小明今年 17岁 了，与小明属相相同的老 师 的年 龄 可能是( )A． 26 B． 32C． 36 D． 41解析：由十二生肖知 ， 属相是 12年循 环 一次 ，故 选 D.3．已知下列各角： ① － 120°； ② － 240°； ③ 180°； ④495°，其中是第二象限角的是 ( )A． ①② B． ①③C． ②③ D． ②④解析：－ 120°是第三象限角；－ 240°是第二象限角； 180°角不在任何一个象限内； 495°＝ 360°＋ 135°， 所以 495°是第二象限角．DD4．在 0°到 360°之 间 与－ 120°终边 相同的角是 ________．240°1． 对 周期 现 象的理解现实 世界中的 许 多运 动 、 变 化都有着循 环 往复、周而复始的现 象， 这 种 变 化 规 律称 为 周期性，例如：月亮 圆 缺 变 化的周期性，即朔 — 上弦 — 望 — 下弦 — 朔；潮汐 变 化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下 发 生的周期性 涨 落 现 象；物体做匀速 圆 周运 动时 位置 变 化的周期性；做 简谐 运 动 的物体的位移 变 化的周期性等．2． 对 角的概念的两点 说 明(1)角是用运 动 的 观 点来定 义 的，由始 边 旋 转 一个角度到达终边 ，其中始 边 和 终边 要区分，不能混淆．(2)在描述角度 (角的大小 )时 一定要抓住三点：① 要明确旋 转 方向；② 要明确旋 转 的大小；③ 要明确射 线 未作任何旋 转时 的位置．3．角的分 类(1)按旋 转 方向划分 时 ，先确定角的旋 转 方向，再确定旋 转 的绝对 量．如射 线 OA绕 端点 O逆 时针 旋 转 290°到 OB的位置，则 ∠ AOB＝ 290°.(2)今后在学 习 角 时 ，我 们 通常把角放在平面直角坐 标 系中 讨论 ．当角的 终边 落在坐 标轴 上 时 ， 这 个角可以称 为 象限界角或 轴线 角．4．任意角概念的四个关注点周期现象的判断 [解 ] (1)是周期 现 象．因 为 地球每 24小 时 自 转 一周 ， 所以地球自 转 是周期 现 象．(2)不是周期 现 象．某地每年一月份的降雨量是随机的 ， 不是周期性重复出 现 的．(3)是周期 现 象．世界杯足球 赛 每隔四年 举办 一届 ， 是周期性重复出 现 的．方法 归纳判断某 现 象是否 为 周期 现 象的依据是周期 现 象的特征 ， 即每次都以相同的 间 隔 (比如 时间间 隔或 长 度 间 隔 )出 现 ， 且 现 象是无差 别 的重复出 现 ．1． (1)试 判断下列 现 象中是否是周期 现 象．① 一年二十四 节 气的 变 化；② 候 鸟 迁徙；③“ 随机数表 ” 中数的排列．(2)我 们 的心跳都是有 节 奏的、有 规 律的，心 脏 跳 动时 ，血压 在增大或减小．下表是某人在一分 钟 内的血 压 与 时间 的 对应 关系，通 过 表中数据来研究血 压变 化的 规 律 .① 根据上表数据在坐 标 系中作出血 压 p与 时间 t的关系的散点图 ；② 说 明血 压变 化的 规 律．t/s 5 10 15 20 25 30p/mmHg 93.35 136.65 115 93.35 136.65 115t/s 35 40 45 50 55 60p/mmHg 93.35 136.65 115 93.35 136.65 115解： (1)① 一年二十四 节 气是重复出 现 的 ， 是周期 现 象．② 候 鸟 迁徙是周期 现 象．③ 随机数表中的数 0， 1， 2， … ， 9是随机出 现 的 ， 不是周期现 象．(2)① 散点 图 如 图 ．② 从散点 图 可以看出 ， 每 经过 相同的 时间间 隔 T(15 s)， 血 压就重复出 现 相同的数 值 ， 因此 ， 血 压 是呈周期性 变 化的．象限角的判断D四在本例 (3)中，写出与 β的 终边 互 为 反向延 长线 的角 γ，并指出它是第几象限的角．2．若角 α满 足 α＝ 45°＋ k·180°， k∈ Z， 则 角 α的 终边 落在( )A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限解析：当 k＝ 0时 ， α＝ 45°， 此 时 α为 第一象限角；当 k＝ 1时 ， α＝ 225°， 此 时 α是第三象限角 ， 故 选 A.A终边 落在 过 原点的直 线 上的角§3 弧 度 制第一章 三 角 函 数1． 问题导 航(1)“ 1弧度 ” 指的是 “ 1度的角所 对 的弧 ” 吗 ？(2)“2 rad”的角 终边 在第几象限？(3)30°的角化 为 弧度是多少？ 120°是 30°的几倍？其弧度数是多少？2．例 题导读P10例 1.通 过 本例学 习 ，学会把角度 换 算成弧度，并注意，不要用 “rad”的中文名称 “ 弧度 ” 作 单 位写在数据的后面．试 一 试 ： 教材 P12习题 1－ 3 T1你会 吗 ？P10例 2.通 过 本例学 习 ，学会把弧度 换 算成度，并注意， “度 ” 的 单 位 “ °” 不能省略．试 一 试 ： 教材 P12习题 1－ 3 T2你会 吗 ？1．度量角的 单 位制(1)角度制规 定周角的 ____________为 1度的角，用度作 为单 位来度量角的 单 位制叫做角度制．(2)单 位 圆半径 为 1的 圆 称 为单 位 圆 ．(3)弧度制当半径不同 时 ，同 样 的 圆 心角所 对 的弧 长 与半径之比是常数，称 这 个常数 为该 角的 ____________．在 单 位 圆 中， 长 度 为 1的弧所 对 的 圆 心角称 为 _________．它的 单 位符号是 _______， 读 作 ______． 这 种以 ________作单 位度量角的 单 位制，叫作弧度制．弧度数1弧度角rad 弧度 弧度2．弧度数与弧 长 公式(1)符号：一般地，任一正角的弧度数都是一个 ______数；任一 负 角的弧度数都是一个 _____数；零角的弧度数是 _____．(2)公式：如 图 所示， l、 r、 α分 别 是弧 长 、半径、弧所 对 的圆 心角的弧度数．弧度数公式： |α|＝ ____________；弧 长 公式： l＝ ____________；这 就是 说 ，弧 长 等于弧所 对 的 圆 心角 _________的 绝对值 与____________的 积 ．正负 0|α|r弧度数半径3．角度制与弧度制的 换 算(1)角度与弧度的互化角度化弧度 弧度化角度360°＝ _________ rad 2π rad＝ __________180°＝ __________rad π rad＝ ____________1°＝ ____________ rad≈ ____________rad 1 rad＝ °≈ 57.30°＝57°18′2π 360°π 180°0.017 45 4.弧 长 公式及扇形面 积 公式的两种表示角度制 弧度制弧 长 公式扇形面 积公式注意事 项 r是扇形的半径， n是圆 心角的角度数r是扇形的半径， α是 圆心角的弧度数， l是弧 长显 然弧度制下的两个公式在形式上都要 简单 得多， 记忆 和 应用也就更加方便．注意： 在弧度制下的弧 长 公式、面 积 公式有 诸 多 优 越性 ， 但如果已知角是以 “ 度 ” 为单 位 ,则应该 先化成弧度后再 计 算．1．判断正 误 ． (正确的打 “√” ， 错误 的打 “ ×” )(1)1弧度指的是 1度的角． ( )(2)周角的大小是 2π.( )(3)弧 长为 π，半径 为 2的扇形的 圆 心角是直角． ( )√×√C3．已知 圆 的半径 为 2， 则 弧 长为 4的弧所 对 的 圆 心角α(0α2π)的弧度数 为 ________．4．若扇形的 圆 心角 为 60°，半径 为 1， 则 扇形的弧 长 l＝________，面 积 S＝ ________．21． 对 弧度制概念的三点 说 明(1)“1 rad”是指： 长 度等于半径 长 的 圆 弧所 对 的 圆 心角的大小，不是弧 长 ， 这 个角是固定的，与 圆 的半径的 长 度无关．(2)引入弧度制后，角的集合与 实 数建立一一 对应 关系，我 们今后表示角 时 ，多用弧度制表示．(3)表示角 时 π就是无理数，它表示一个 实 数，同 1 rad角的大小一 样 ， π rad的角表示： 长 度等于半径的 π倍的 圆 弧所 对 的圆 心角，在判断有理数表示角的象限，与 π比 较 大小 时 ，有时 需要把 π化 为 小数．3．角度与弧度的区 别 与 联 系区 别联 系(1)定 义 不同，大小不同(2)单 位不同(3)弧度制是十 进 制，而角度制是六十 进 制(1)不管以 “ 弧度 ” 还 是以 “ 度 ” 为单 位的角的大小都是一个与 圆 的半径大小无关的 值 ，仅 和半径与所含的弧 这 两者的比 值 有关(2)“ 弧度 ” 与 “ 角度 ” 之 间 可以相互 转 化(3)表示角 时 ，弧度制与角度制不能混用4.角度制与弧度制 换 算 时应 注意的四个 问题(1)用弧度 为单 位表示角的大小 时 ， “ 弧度 (rad)” 可以省略不写，如果以度 (°)为单 位表示角的大小 时 ，度 (°)不能省略不写．(2)度化 为 弧度 时 ， 应 先将分、秒化 为 度，再化 为 弧度．(3)有些角的弧度数是 π的整数倍 时 ，如无特 别 要求，不必把 π化成小数．(4)用 “ 弧度 ” 与 “ 度 ” 去度量每个角 时 ，除了零角以外，所得的 结 果都是不同的，二者要注意不能混淆．5．角度制与弧度制 换 算的要点角度与弧度的互化C54114.6(1)把－ 1 480°写成 α＋ 2kπ(k∈ Z)的形式，其中0≤ α2π，并判断它是第几象限角？(2)若 β∈ [－ 4π， 0]，且 β与 (1)中 α的 终边 相同，求 β.(链 接教材 P12习题 1－ 3T7)用弧度表示 终边 相同的角本例 (1)中的条件 “ － 1 480°” 若 换为 “ － 855°” ，其他条件不 变 ，其 结论 又如何呢？2． (1)与－ 660°角 终边 相同的最小正角是 ________． (用弧度制表示 )(2)将下列各角化成 2kπ＋ α(0≤ α2π， k∈ Z)的形式，并指出它 们 是第几象限角．① － 1 725°； ② 870°.一条弦的 长 度等于半径 r，求：(1)这 条弦所 对 的劣弧 长 ；(2)这 条弦和劣弧所 组 成的弓形的面 积 ．扇形的弧 长 和面 积 公式的 应 用§4 正弦函数和余弦函数的定 义 与 诱导公式 4． 1 单 位 圆 与 任意角的正弦函数、余弦函数的定 义 4． 2 单 位 圆 与周期性第一章 三 角 函 数1． 问题导 航(1)角 α的正弦 值 和余弦 值 都是唯一的 吗 ？(2)正弦 值 、余弦 值 的符号 变 化有什么 规 律？(3)一个周期函数一定有最小正周期， 对吗 ？2．例 题导读P15例 1.通 过 本例学 习 ，学会根据角 α的 终边 上一点的坐 标 ，求角 α的三角函数 值 ．试 一 试 ： 教材 P23习题 1－ 4 A组 T1你会 吗 ？P15例 2.通 过 本例学 习 ，学会在直角坐 标 系中作出已知角，并能求出其 终边 与 单 位 圆 的交点坐 标 ．试 一 试 ： 教材 P17练习 T4你会 吗 ？1．任意角的正弦、余弦函数的定 义如 图 所示，在直角坐 标 系中，作以坐 标 原点 为圆 心的 单 位圆 ， 对 于任意角 α，使角 α的 顶 点与原点重合，始 边 与 x轴 非负 半 轴 重合， 终边 与 单 位 圆 交于唯一的点 P(u， v)，我 们 把点 P的 _________v定 义为 角 α的正弦函数， 记 作 ____________；点 P的 _________u定 义为 角 α的余弦函数， 记 作 u＝________．纵 坐 标 v＝ sin α横坐 标cos α对 于 给 定的角 α，点 P的 纵 坐 标 v、横坐 标 u都是唯一确定的 ,所以正弦函数、余弦函数都是以角 为 自 变 量，以 单 位 圆 上点的坐 标为 函数 值 的函数．在 给 定的 单 位 圆 中， 对 于任意角 α可以是正角、 负 角或是零角，所以，正弦函数 v＝ sin α，余弦函数 u＝ cos α的定 义 域 为 ____________．全体 实 数2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数 第一象限第二象限第三象限第四象限sin αcos α注： 按正 值简记为 ：正弦一、二象限全 为 正；余弦偏在一、四中．＋ ＋－－ －＋ － － ＋3． 终边 相同的角的正、余弦函数(1)公式： sin(x＋ k·2π)＝ _________， k∈ Z；cos(x＋ k·2π)＝ _________， k∈ Z.(2)意 义 ： 终边 相同的角的正弦函数 值 、余弦函数 值 分 别____________．4．周期函数(1)定 义 ： 对 于函数 f(x)，如果存在 ____________T， 对 定 义 域内的 ____________x值 ，都有 ____________， 则 称 f(x)为 周期函数， __________称 为这 个函数的周期．(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它 们 的最小正周期均是 ___________.sin xcos x相等非零 实 数任意一个 f(x＋ T)＝ f(x)T2π1．判断正 误 ． (正确的打 “√”， 错误 的打 “×”)(1)若 sin α0， 则 角 α的 终边 在第一或第二象限． ( )(2)若 sin α＝ sin β， 则 α＝ β.( )(3)若 sin(60°＋ 60°)＝ sin 60°， 则 60°是正弦函数 y＝ sin x的一个周期． ( )(4)若 T是函数 f(x)的周期， 则 kT， k∈ N＋ 也是函数 f(x)的周期． ( )√×××解析： (1)错误 ．因 为 sin α0， 所以角 α的 终边还 有可能在 y轴 的正半 轴 上．(2)错误 ．正弦 值 相等 ， 但两角不一定相等 ， 如 sin 60°＝ sin 120°， 但 60°≠ 120°.(3)错误 ． 举 反例 ， sin(40°＋ 60°)≠ sin 40°， 所以 60°不是正弦函数 y＝ sin x的一个周期．(4)正确．根据周期函数的定 义 知 ， 该说 法正确 . B3． 对 于任意的 x∈ R都有 f(x＋ 2)＝ f(x)， 则 f(x)的一个周期 为___________________．解析：由周期函数的定 义 知 f(x)的一个周期 为 2.2(答案不唯一 )利用正、余弦函数的定义求值已知角 α的 终边 落在射 线 y＝ 2x(x≥ 0)上，求 sin α，cos α的 值 ．(链 接教材 P15例 1)本例中条件 “ 角 α的 终边 落在射 线 y＝ 2x(x≥ 0)上 ” 若 换为 “ 角 α的 终边 落在直 线 y＝ 2x上 ” ，其他条件不 变 ，其 结论 又如何呢？A单 位 圆 中的角