1、从整体到细节初中数学主干复习从整体到细节一初中数学主干复习胸有成竹(西南大学数学与统计学院 400700)程良建(重庆工商大学 400020)张渝当学完初中三年数学课程+即将开始数学复习的时候,能不能静下心来想一个问题:数学给了自己什么 ?或者换个问法.经过三年数学学习.学到了些什么?在“知识与技能“, 在 “数学思考 “,在“解决问题 “,在“情感与态度“诸方面.有哪些变化? 有哪些收获与提高 ?即使不能详尽地回答这些问题.但这些问题在自己头脑中过一过,产生一些零星的答案,也是一个很不错的开始.我们期待这样的“开始“.要回答学到了些什么? 就应该知道按 数学课程标准的要求.在三年数学课的时问
2、里.数学应该学了些什么?这会产生将所学数学知识和技能进行梳理,形成一个整 f4=象和知识脉络的需求.再从“整体“ 到“细节“.作一个“盘点“. 在总复习之前.先从“ 整体上把握 “,再在“细节上下功夫“, 绝对是一个很好的主意.按国家数学课程标准(实验稿)设计的初中数学四个学习领域是:数与代数.空间与图形,统计与概率,实践与综合应用.在第三学段(79 年级)数学学习内容的结构,如下表所示:网匡f 匦f 圆-4:匾亘lIjfl 堕塑堡 l_J 一lIl 一_嚣圃要使我们的梳理工作更有成效,需要你的参与,需要你的回顾与反思.让我们共同对三年所学数学知识.大体按以上内容结构开始梳理:在“ 数与代数“
3、 板块,我们认识了实数 (包括有理数与无理数),学会实数运算+认识了代数式( 包括整式,分式以及二次根式),掌握了等式及等式的基本性质,会解方程(组)和不等式 (组).认识了函数及其图像 .其中.以数的运算为基础,通过字母代数,上升到列式的运算.进一步到方程与函数.它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型.通过数与式的关系和数式运算,以及解方程与探索函数关系,使我们能够从数量关系的角度.更准确,更清晰地认识和描述客观世界.在“ 空间与图形“ 板块.通过探索物体与图形的基本性质,变换.以及位置关系等,掌握三角形,四边形,圆的基本性质.掌握图形的平移和旋转,以及轴对称与相似等变换.初步认识投影与视
4、图,掌握识图与作图的基本技能.通过证明三角形,四边形以及圆的基本性质.体会证明的必要性,掌握推理,证明的基本技能,并能理解举反例的作用.尝试应用反证法.通过观察,归纳与类比,推断与证明,使我们能更好地认识和描述身边赖以生存的空间.同时.在直角坐标系引进后,为数形结合以及丰富空间与图形打下良好基础,成为人们进一步交流的重要工具.在“ 统计与概率“ 板块,通过实例 ,体会现实生活中出现的大量数据和客观世界中的随机现象.通过收集,整理,描述和分析数据的全过程,感受抽样的必要性,体会用样本估计总体的思想.掌握数据处理的技能.在处理大量数据的过程中,我们会发现,频数与频率是两个重要的统计量.了解频率的稳
5、定值与事件发生的概率有关.会计算简单事件发生的概率,使我们能对不确定事件是否发生,作出合理的推断和预测.“实践与综台应用“ 是以课题学习的形式 ,呈现在我们面前.每一课题的学习,探索活动,强调积极参与,提倡自主探索与别人合作交流相结合.在动手操作,动脑思索的过程中,提高自我解决问题的能力,加深对其它板块内容的理解,进一步体会各部分数学内容间的联系.在总复习之前,将我们所学过的数学知识,分成若干单元加以细化.每个单元通过回顾学习过程,理顺基本思路,建立简明的知识网络.然后将主体内容之间相互联系,各部分知识概要(包括重要概念和常用公式,法则,几何中的图形性质和常用定理).以及考点提示.常用数学方法
6、等.先列举出来,再逐步加以展开.复习安排按以下单元进行.以此为线索.最终完成“整1.-00 年 _1 月,月下半月_数学教学通讯.总第,2期胸有成竹体的把握“与 “细节的深化 “.主干复习是个“由厚变薄 “,核心复习是“由薄变厚“ 的过程 .通过这个过程,我们期望你对初中数学能“成竹在胸 “.rI 里量变垫 I丁 J.i.匦阍 Ii 些堡 I 一广 1.i.丽 lI 丝兰空 fI 图形的认识与几何初步 l圜医圜数与式1.在初中阶段.我们从有理数开始逐步对实数有了认识.知道有理数和无理数统称实数.并掌握了有关实数的运算(包括估算,近似数取值,科学记数法等).对于数学问题的讨论范围,也从有理数扩展
7、到了实数.实数分类如下表:实数f 正有理数 二棚数 1.【1无理数 f 一卜或一(1)在实数中, 有两个重要概念.就是绝对值与相反数.若 a,b 互为相反数 ;若口,b 互为倒数日.(O 没有倒数).一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0 的绝对值是 0.即r“()tl 口 l 一_i0()tL.().(2)设被开方数 a0,则叫 a 的算术平方根.士叫 n 的平方根.一个正数有两个平方根,它们互为相反数.算术平方根与绝对值的联系为/ 一 .(3)把一个数写成 a10 的形式(其中 lalO,是整数).这种记数法叫科学记数法.近似数的精确度是指.一个近似数四舍五入到哪一
8、2牙位,就说这个近似数精确到哪一位.这个近似数,从左边第一个不是 0 的数字起,到精确到的数位止.所有的数字.都叫做该数的有效数字.(4)关于实数. 最值得一提的就是数轴.数轴上的点与建立了关系?这为今后建立直角坐标系.进一步学习函数,图形与坐标.打下良好的基础.2.字母代数是由数到式的飞跃.从数过渡到式.以及从数的运算到式的运算.就是这种飞跃的具体体现.但数,式之间很多实质性的东西却没有改变.如零不能作分母;如实数的加,减,乘,除,乘方,开方与混合运算的法则及五个运算律等.在整式,分式,二次根式范围内仍然适用.从数的运算到式的运算,先从整式开始:圃一整式是代数式中最基本的式子,整式运算也是式
9、中最基本运算.整式运算,特别是幂的运算.是学习因式分解,分式以及二次根式的基础.(1)当所含的字母相同.且相同字母的次数也相同的项,称为同类项.整式的加减.实质上就是合并同类项.具体施行并项时,会遇到“去“,“添“括号问题.去掉括号和括号前面的“一 “号时,括号里各项要变号 I 添括号和“一“号时,括到括号里的各项要变号.而对于“+“号.(2)幂的运算法则.有口?a“ 一 (m,都是正整数).(口)“一 O.m(m,都是正整数 ).(oh)一 a“b(“为正整数),a 一(口0,m,都是正整数,且 m),1口.一 l(口O).a-1(口0.P 是正整数).a整式乘,除法依赖幂的运算法则.在实际
10、操作时,通常是将系数与字母(包括指数)分开进行.3.整式乘法与因式分解正好是相反的变形.常用的乘法公式是:平方差公式(口+6)( 口一 6)=a 一 b.完全平方公式(口士 6)一口士 2ab+b.常用的因式分解方法是;(1)提公因式法;(2)运用公式法:平方差公式 a-,b 一,完全平方公式 a 士 2ab+b 一.(3)分组分解法.把多项式各项适当分组.以达到分组后.各组能提公国圜一母一数因式或运用公式.使分解因式能继续下去.4.当 A,B 表示两个整式.且 B 中含有字母.式子含叫分式.(1)与分式有关的概念分式鲁有意义 Bo,百 A 无意义骨;分式鲁的值为.铮最简公式骨分子,分母没有的
11、分式.(2)分式的基本性质一AAXC,一A:(CO).BBCB,一(3)分式的符号法则一AAA一百一-一 B 一-B (4)分式的运算分式的加减士=,詈士号;分式的乘除 a?号一?手寺一;分式乘方(詈)一(6o,为整数).4.式子(n o)叫做二次根式.(1)最简二次根式被开方数的因数是整数.因式是整式,且被开方数不舍开得尽方的因数或因式.(z)同类二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式.(3)二次根式的性质,/(a 0,bO);(n0.bO);n.一 iaJ;(n).一 a(nO).(4)二次根式的运算加减运算的实质是合并同类二次根式;乘除运算是逆用二次根式性质;二次根式运算结果
12、,需化为最简二次根式.(5)把分母中的根号化去.叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘.其积不含有二次根式.我们说这两个代数式互为有理化因式.如 2+与 2 一3.分母有理化就是用分母的有理化因式,分别去乘分子,分母,使分母不舍有二次根式.5.在数与式的运算中,有一些常用的数学方法值得留意,运用这些方法,能使运算简便.提高效率.更重要的是能加深我们对数,式运算的认识.如以下例题所示:例 1 一张厚度为 0.1mm 的纸.若将它对折 2O 次后.与每层楼平均高 3 米的大楼比较,大约相当于楼高()胸有成竹(A)20 层.(B)30 层.(C)35 层.(D)40 层.略解:对折 2O 次后
13、.高为 0.12(ram)=10-(2.).(cm)一 1.024102.4(m).-.层数=34.叉-.?37.838+故 3438,应选(C).评注:本例估计楼高层数,采用了丝煎.3438,从而确定选择=35(层).其中的 34 和 38 均由放缩后得到.例 z 求和+而.解:先将各项分拆为两数之差.再求和.原式=1 1)+了 1 一虿 1)+(一号)+(217206).12006 一十丽一 2007评注:以上求和方法,就是常说的拆项相消法.要注意拆项“ 正负相抵“ 后,剩下的部分不可漏掉或搞错符号.例 3 已知 z4-y=5,=一 2.求整式 2(z)一3(z 一 3J).+36xy 的
14、值.解:由 z+y=5,xy 一 2,那么(z 一 3J).一(z+3J)一 4xy5 一 4(一 2)=33.原式=2 3303334-36(-2)=2007.评注;本例没有去化简所求整式,也没有去分别求 z,Y的值.而是通过(z+3J)与(z 一 3J).之间的关系.用(z 一).的值整体代入.从而求出原式的值.整体代入法在解决求值问题时常常采用.例 4 学校阅览室有能坐 4 人的方桌,如果多于 4 人,就把方桌拼成一行,2 张方桌拼成一行能坐 6 人,如图所示:口按照这种规定.填写下表中的空格:拼成一行的桌子数 1.23 扎人数 46略解:将表中相应的数据依次整理如下3_o07 年_1 月,月下半月_数学教学通讯总第期鹪有成竹拼成一行的桌子数人数当桌子数为 1 时,人数为 2xl+2222+232X3+242X4+22+2评注:通过桌子数分别为 1,2,3时,人数为桌子数的 2 倍加 2,为 4,6,8.这里由几个特例得到一般性规律;当桌子数为时,人数为 2n+2,这种方法称为塑塑.鲞丕塞全.例 5 已知 X+1=5x.由的值 .一 l
