1、1第 3 章 空间向量与立体几何1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算第 1 层 用已知向量表示未知向量例 1 如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，设 a， b， c， M， N， PAA1 AB AD 分别是 AA1， BC， C1D1的中点，试用 a， b， c 表示以下各向量：(1) ；(2) ；(3) .AP A1N MP NC1 解 (1) P 是 C1D1的中点， a AP AA1 A1D1 D1P AD 12D1C1 a c a c b.12AB 12(2) N 是 BC 的中点，
2、a bA1N A1A AB BN 12BC a b a b c.12AD 12(3) M 是 AA1的中点， MP MA AP 12A1A AP a a b c，12 (a c 12b) 12 12又 NC1 NC CC1 12BC AA1 c a，12AD AA1 12 MP NC1 (12a 12b c) (a 12c)2 a b c.32 12 32点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可以把这个法则称为向量加法的多边形法则在立体几何中要
3、灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立第 2 层 化简向量例 2 如图，已知空间四边形 ABCD，连结 AC， BD.设 M， G 分别是 BC， CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量(1) ；AB BC CD (2) ( )；(3) ( )AB 12BD BC AG 12AB AC 解 (1) .AB BC CD AC CD AD (2) ( ) AB 12BD BC AB 12BC 12BD .AB BM MG AG (3) ( )AG 12AB AC .AG AM MG ， ， 如图所示AD AG MG 点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它
4、们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为 0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则第 3 层 证明立体几何问题3例 3 如图，已知 M， N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且 G 为 AM 上一点，且 GM GA13.求证： B， G， N 三点共线证明 设 a， b， c，AB AC AD 则 BG BA AG BA 34AM a (a b c) a b c，14 34 14 14 ( )BN BA AN BA 13AC AD a b c .13 13 43BG ，又 与 有公共点 B，BN BG BN BG B， G， N 三点共线2 空间向量易错点扫描易错点 1 对向量夹角与数量积的关系理解不清例 1 “ ab1，即 a2 时，该圆与边 BC 相交，存在 2 个点 Q 满足题意；a2当 1，即 0 a2 时，该圆与边 BC 相离，不存在点 Q 满足题意a2综上所述，当 a2 时，存在点 Q，使 ；PQ QD 当 0a2 时，不存在点 Q，使 .PQ QD
