1、第一类 圆锥曲线的定点问题1对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为利用此结论解答下列问题点是椭圆上的点，并且椭圆在点处的切线斜率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆相切，切点分别为，求证：直线必经过一定点【答案】（1）（2）直线必经过一定点令得直线必经过一定点2已知， ，点是动点，且直线和直线的斜率之积为（1）求动点的轨迹方程；（2）设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线相交于点，判断以为直径的圆是否过轴上一定点？【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设，则依题意得，利用斜率的定义计算可得轨迹方程为，整理得，即为所求轨迹方程（2
2、）法1：设直线： ，与联立得，即，依题意，即，得，而，得，又，设为以为直线的圆上一点，则由，3已知椭圆经过点，离心率为（）求椭圆的方程;（）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点，直线与直线分别与轴交于两点，试问在轴上是否存在一个定点使得?若是，求出定点的坐标;若不是，说明理由【答案】（）；（）存在定点使得 【解析】试题分析：（）由题意结合椭圆所过的点和椭圆的离心率可求得， 则椭圆的方程为（）设存在定点使得联立直线方程与椭圆方程可得设，结合韦达定理有直线的方程为： ，则，直线的方程为： ，则由向量垂直的 充要条件有，据此求解关于n的方程可得则存在定点使得试题解析：（）由题意可知，又，即，解得，即
3、所以所以椭圆的方程为（）设存在定点使得4已知椭圆 C：离心率，短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点试问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：直线方程为：，则，以为直径的圆为即，其中，令，则，解得以为直径的圆过定点5已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在请说明理由【答案】(1) 曲线的方程为 ;
4、(2)见解析（）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组，消去得 ，设，则，6在平面直角坐标系中，点， ，动点满足（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与轨迹有且仅有一个公共点，且与直线相交于点，求证：以为直径的圆过定点【答案】（1）；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）利用椭圆的定义判定轨迹为椭圆，并求出，a，b，从而写出标准方程；（2）以为直径的圆过定点可转化为，利用向量可比较容易证明，先联立方程，消元得，可得， ，从而， ，根据数量积为0即可证明试题解析：（1）解：因为即由椭圆定义可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆所以，由可得， 以为直径的圆过定点7已知圆，点为平面内一动点，以线段为直径的
5、圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线()求曲线的方程；() 是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得，若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由【答案】（）；() 存在定点【解析】试题分析：（1）由两圆内切，圆心距等于半径差，可知动圆圆心S到O与F的距离和为定值2，取关于轴的对称点，由中位线可知，所以点的轨迹是以， 为焦点，长轴长为4的椭圆。（2）由得，得直线得与斜率和为零设， ，直线的方程为得，代入韦达可求。 试题解析：（）设的中点为，切点为，连，则，取关于轴的对称点，连，故所以点的轨迹是以， 为焦点，长轴长为4的椭圆其中， 曲线方程为存在定点，当斜率不存在时定点也符合题意8已知长
6、度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、，在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）设，由，可得由，所以代入即可求得椭圆方程；（2）由题意设直线的方程为：，（2）由题意设直线的方程为：，由得：， 所以故 ， ，9椭圆： 的左右焦点分别为，左右顶点分别为，为椭圆上的动点（不与，重合），且直线与的斜率的乘积为（1）求椭圆的方程；（2）过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于， ， ，
7、四点，线段、的中点分别为、，求证：直线过定点，并求出该定点坐标【答案】(1) (2)见解析， 经过定点为【解析】试题分析：（1）根据题意，列出方程，求解的值，即可求得椭圆的方程；（2）设直线： ，联立椭圆方程，求得的坐标，由题设若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，得该定点一定是直线与的交点，进而求得直线过定点试题解析：由，得，代入， 坐标化简得，经过定点为 10已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明： 为定值；（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的
8、坐标，并给予证明；否则，说明理由【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标，即可得出、的值，再求出的值即可求得椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出与，再根据及，从而可表示出，化简即可得证；（3）当时，易得与相交于点，可猜想： 变化时， 与相交于点，再证明猜想成立即可 试题解析：（1）过椭圆的右焦点，右焦点，即，又的焦点为椭圆的上顶点，即，椭圆的方程；（2）由得， ，设，则，11椭圆：的左、右焦点分别为、，若椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的左、右顶点， （）为椭圆上一动点，设直线分别交直线： 于点，判断线
9、段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由【答案】(1) ；(2)答案见解析（2）设，已知，都有斜率12已知两点A(，0)，B(，0)，动点P在y轴上的投影是Q，且(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点求证：直线E1E2恒过定点【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设出动点坐标，根据计算可得轨迹C的方程（2）分两种情况考虑，当两直线的斜率都存在且不为0时，分别设出两直线的方程，联立方程组求得、的中点的坐标，从而得到直线的方程，再讨论直线所过的定点为；当两直线的斜率分
10、别为0和不存在时，直线的方程为y0，也过点，从而可得结论成立试题解析：，直线的方程为，整理得y，直线过定点当两直线的斜率分别为0和不存在时，直线的方程为y0，也过点综上所述直线过定点13设椭圆方程为，离心率为， 是椭圆的两个焦点， 为椭圆上一点且， 的面积为（1）求椭圆的方程； （2）已知点，直线不经过点且与椭圆交于两点，若直线与直线的斜率之和为1，证明直线过定点，并求出该定点【答案】（1）；（2）证明见解析， 【解析】试题分析：，又， ，在中，由余弦定理得，解得，整理得，直线方程为，即，直线过定点14在平面直角坐标系中，点，圆，点是圆上一动点，线段的中垂线与线段交于点（1）求动点的轨迹的方程
11、；（2）若直线与曲线相交于两点，且存在点（其中不共线），使得被轴平分，证明：直线过定点【答案】（1）；（2）而 代入得： 代入得： 时得： 此时的方程为： 过定点（1，0）时 ， 亦满足，此时的方程为： 综上所述，直线恒过定点（1，0）15已知椭圆的离心率，且椭圆与圆的4个交点恰为一个正方形的4个顶点（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点为椭圆的下顶点，为椭圆上与不重合的两点，若直线与直线的斜率之和为，试判断是否存在定点，使得直线恒过点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) (2) 存在定点，使得直线恒过点【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接根据已知条件得到关于a，b的一
12、个方程组，再解方程组即可 (2)第（2）问，对直线的斜率分两种情况讨论每一种情况都要先根据已知条件求直线DE的方程，再判断其方程是否过定点试题解析：（1）因为椭圆的离心率，所以，即，因为椭圆与圆的4个交点恰为一个正方形的4个顶点， 所以直线与圆的一个交点在椭圆上，所以，由解得，所以椭圆的标准方程为（2）由（1）知，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，16已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、，在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由【
13、答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）设， ， ，由，可得由，所以代入即可求得椭圆方程；（2）由题意设直线的方程为： ， ， ，由得： ，所以故 ， ，假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，则 当，且时， 为常数，解得显然当时，常数为；当时，常数为，所以存在两个定点， ，使得直线与的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为17已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆与直线相切于点（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于、两点（，不是长轴端点），且以为直径的圆过椭圆在轴正半轴上的顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【答案】(1) ；(2)答案见解析【
14、解析】试题分析：（1）利用点在椭圆上及相切关系布列方程组，即可解得椭圆的标准方程；（2）联立方程易得： ， ，以为直径的圆过椭圆在轴正半轴上的顶点，即或，经检验得到结果试题解析：法一（）由题意设椭圆的标准方程为（， 且）在椭圆上， 由得椭圆与直线相切，即由知， 故所求椭圆方程为法二：设椭圆为（， 且）则它在点处的切线为，它与表示同一直线， ， 故所求椭圆方程为()设， ，联立得得， ，18双曲线的左、右焦点分别为，过作轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12,抛物线以双曲线的右顶点为焦点（）求抛物线的方程；（）如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求
15、证：直线过定点【答案】（）；（）证明见解析【解析】试题分析：（）根据条件，进而，得出，；（）由，得到当时，进而得到直线的方程为，此时直线过定点，检验依然成立试题解析：（）设，则令代入的方程有：，故，即抛物线的方称为：（）由（）知：，则直线的方称为，代入抛物线的方程有：当时，直线的方程为：，即此时直线过定点，当时，直线的方称为：，此时仍过点即证直线过定点19直线与抛物线相交于（异于坐标原点）两点（1）若直线的方程为，求证： ；（2）若，则直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；如不是，请说明理由【答案】（）见解析;（）20已知抛物线的焦点曲线的一个焦点， 为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过
16、点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点（）求抛物线的方程；（）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标【答案】（I）；（II）证明见解析【解析】试题分析：（）将曲线化为标准方程，可求得的焦点坐标分别为，可得，所以，即抛物线的方程为；（）结合（），可设，得，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点试题解析：（）由曲线，化为标准方程可得， 所以曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，故， 的焦点坐标分别为，因为抛物线的焦点坐标为，由题意知，所以，即抛物线的方程为 （）由（）知抛物线的准线方程为，设，显然故，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得
17、，解得当，即时，直线的方程为， 当，即时，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点， 也在直线的方程为上，故直线的方程恒过定点21已知抛物线上一点到其焦点的距离为，以为圆心且与抛物线准线相切的圆恰好过原点点是与轴的交点， 两点在抛物线上且直线过点，过点及的直线交抛物线于点（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线过一定点，并求出该点坐标【答案】(1) ；(2)直线过定点，证明见解析【解析】试题分析：（2）证明：设的方程为，代入抛物线的方程，可得设， ， ，则，由，直线的方程为，可得，直线的方程为可得，由可得， ，直线过定点22如图，已知， 是椭圆的左右焦点， 为椭圆的上顶点，点在椭圆上，直线
18、与轴的交点为， 为坐标原点，且， （1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于， 两点（异于点），证明：直线过定点，并求该定点的坐标【答案】（1）；（2）证明见解析， 【解析】试题分析：（1）由题意可得为的中位线，从而可得，故，且，然后根据和可得， ，由此可得椭圆的方程（2）分别设出直线直线的方程，解方程组可得点， 的坐标，经分析题意可得定点必在轴上，不妨设该点坐标，然后根据直线的斜率相等建立关于的等式，结合点， 的坐标经计算可得定点坐标试题解析：解得或（舍去），以代替上式中的，可得由题意可得，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，该定点
19、一定是直线与的交点，故该点必在轴上设该点坐标，则有， ，将的值代入上式，化简得，直线经过定点23已知抛物线： 上的点到其焦点的距离为（）求的方程；（）已知直线不过点且与相交于， 两点，且直线与直线的斜率之积为，证明： 过定点【答案】() ；()证明见解析【解析】试题分析： 由题意求得，再根据抛物线的定义推导出，求得的值，代入即可求得的方程证法一：设直线的方程为，联立方程解出， 代入求出结果；证法二：设表示出，设： ，联立直线与抛物线方程得， ，代入求出结果；证法三：设： ，联立直线与抛物线方程，代入，化简求出结果解析：（）由题意，得，即由抛物线的定义，得由题意， 解得，或（舍去）所以的方程为同
20、理可得，即若直线的斜率不存在，则解得，或 当时，直线与直线的斜率均为， ， 两点重合，与题意不符；当时，直线与直线的斜率均为， ， 两点重合，与题意不符所以，直线的斜率必存在直线的方程为 ，即所以直线过定点证法二：由（1），得若的斜率不存在，则与轴垂直设，则， 则 （，否则， ，则，或，直线过点，与题设条件矛盾）由题意， ，所以这时， 两点重合，与题意不符所以的斜率必存在设的斜率为，显然，设： ，由直线不过点，所以由消去并整理得即，即又，即，所以，即所以： 显然过定点证法三：由（1），得设： ，由直线不过点，所以由消去并整理得由题意，判别式设， ，则，则 由题意， ，即将代入式得，即所以： 显
21、然过定点【总结】定点问题的解题策略（1）直线过定点将直线方程化为的形式，当时与无关，即恒成立，故直线过定点（2）曲线过定点利用方程对任意参数恒成立得出关于的方程组，以方程组的为坐标的点即为所求的定点定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法-如二次
22、函数的性质、基本不等式、导数等求解第二类 圆锥曲线的定值问题 1已知动点是圆： 上的任意一点，点与点的连线段的垂直平分线和相交于点（I）求点的轨迹方程；（II）过坐标原点的直线交轨迹于点， 两点，直线与坐标轴不重合 是轨迹上的一点，若的面积是4，试问直线， 的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，否则，说明理由【答案】(1) (2) 直线， 的斜率之积是定值【解析】试题分析：（I）由题意得，利用椭圆的定义，得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，进而得到椭圆的方程；（II）设直线的方程为，联立发出来，求解，设所在直线方程为，联立椭圆方程得的坐标，再求得点到直线的距离，根据面积列出方程，得到的方程，即可求
23、解的值试题解析：（I）由题意， ，又，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中， 椭圆的方程为（II）设直线的方程为，联立，得设所在直线方程为，联立椭圆方程得或，点到直线的距离，即，解得，直线， 的斜率之积是定值2已知椭圆： 的一个焦点为，点在椭圆上（）求椭圆的方程与离心率；（）设椭圆上不与点重合的两点， 关于原点对称，直线， 分别交轴于， 两点求证：以为直径的圆被轴截得的弦长是定值【答案】(1) ;(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据点在椭圆上和焦点坐标可得到方程；（2）先设， 根据题意得到， ，设以为直径的圆与轴交于点和，所以，即，再由，即，故解析：（）依题意， 点在椭圆上所以 所以 所以椭圆
24、的方程为 离心率 （）因为， 两点关于原点对称，所以可设， ， 所以 3已知椭圆C： 的长轴长为4，焦距为（）求椭圆C的方程；（）过动点M（0，m）（m0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B（i）设直线PM、QM的斜率分别为k、，证明为定值（ii）求直线AB的斜率的最小值【答案】() ；()(i)证明见解析；(ii) 【解析】试题分析：试题解析：直线PA的方程为，直线QB的方程为，联立，整理得由可得，所以，同理，所以，所以由，可知，所以，等号当且仅当时取得，此时，即，符合题意，所以直线AB的斜率的最小
25、值为 4如图，已知椭圆O： 的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积；(2)记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值【答案】（1） ，（2）见解析【解析】试题分析：(1)由题知B(0，1)，C(0，1)， ，满足题意时，直线PM的方程为，与椭圆方程联立可得：，直线BF的方程为，则三角形的高为，底边，三角形的面积为(2)设P(m，2)，且m0，则直线PM的方程为，与椭圆方程联立可得，则，据此可得k1k2为定值试题解析：(1)由题知B(0，1)，C
26、(0，1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，直线PM的方程为1，即yx1联立解得或 (舍)，所以M连接BF，则直线BF的方程为1，即xy0， 而BFa2，所以点M到直线BF的距离为d故SMBFBFd2(2)设P(m，2)，且m0，则直线PM的斜率为k，则直线PM的方程为yx1，联立化简得x2x0，解得M，所以k1m，k2，所以k1k2m为定值5在直角坐标系中，曲线与轴交于，两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：（）能否出现的情况?说明理由（）证明过，三点的圆在轴上截得的弦长为定值【答案】（）见解析（）见解析6在平面直角坐标系中，动点（）到点的距离与到轴的距离之差为1（1）求点
27、的轨迹的方程；（2）若，过点作任意一条直线交曲线于，两点，试证明是一个定值【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】【试题分析】（1）根据抛物线的定义，可求得点的轨迹的方程(2)设出直线的方程为，联立直线的方程和抛物线的方程，写出韦达定理将坐标代入，化简后可求得定值为【试题解析】（1）到定点的距离与到定直线的距离相等，的轨迹是一个开口向右的抛物线，且，的轨迹方程为（2）设过的直线的方程为，联立方程组整理得，设直线与抛物线的交点为，则有，又，因此是一个定值为7已知椭圆的离心率为，且经过点（）求椭圆的方程;（）经过点与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点，点，直线分别与轴交于两点，记和的面积分别为；那么
28、是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由【答案】（）；（）【解析】【试题分析】(I)将点代入椭圆方程，结合解方程组可求得椭圆方程(II)设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，并写出韦达定理利用点斜式得出直线的方程，求得它们和轴交点的坐标，根据这两个坐标的乘积可求得面积的乘积为定值【试题解析】8已知椭圆系方程： (，)， 是椭圆的焦点， 是椭圆上一点，且（1）求的离心率并求出的方程；（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于， 两点，点关于原点的对称点为，求证： 的面积为定值，并求出这个定值【答案】(1) ；（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆的方程为： ，由， 可得的值，得
29、到椭圆方程；（2）由距离公式得到点到直线的距离，由弦长公式得到的面积为，即可得到面积为定值，得到证明当直线l斜率存在时，设l为： ，则，由联立得： 由得 到直线的距离 同理，由联立得： ， 当直线l斜率不存在时，易知， 的面积为定值 解法（二）：设，由（1）得为： ，过且与椭圆相切的直线l： 且点关于原点对称点，点到直线l的距离设， 由得 ， ， 的面积为 （定值）当时，易知，综上： 的面积为定值9已知直线：与圆相交的弦长等于椭圆：（）的焦距长（1）求椭圆的方程；（2）已知为原点，椭圆与抛物线（）交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证： 为定值【答案】（1）（2）见解析
30、【解析】【试题分析】（1）利用圆心到直线的距离计算出直线与圆相交的弦长，得到利用求得，得到椭圆方程（2）设出三个点的坐标，利用点斜式写出直线的方程，令求得两点的坐标，代入并利用两点在椭圆上进行化简同理可得点的横坐标，所以 ，即为定值10如图，已知抛物线C：y24x，过点A(1，2)作抛物线C的弦AP，AQ(1)若APAQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标；(2)假设直线PQ过点T(5，2)，请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出APQ的个数，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）一个【解析】试题分析：（1）设直线的方程与抛物线方程联立，利用，结合韦达定理，即可证明直
31、线过定点，并可求出定点的坐标；（2）先求出的中点坐标，再结合三角形为等腰三角形求出关于的等式，借助于函数的单调性求出的取值个数即可得到结论试题解析：(1)设直线PQ的方程为xmyn，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由，得y24my4n0，由0，得m2n0，y1y24m，y1y24nAPAQ，(x11)(x21)(y12)(y22)0，又，(y12)(y22)(y12)(y22)160，(y12)(y22)0或(y12)(y22)160n2m1或n2m50恒成立，n2m5直线PQ的方程为x5m(y2)，直线PQ过定点(5，2)(2)假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ设直线
32、PQ的方程为xmyn直线PQ过点T(5，2)，5m(2)n，n2m5直线PQ的方程为xmy2m5 设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由得y24my8m200y1y24m，y1y28m20PQ的中点坐标为，即，且，PQ的中点坐标为M(2m22m5，2m)由已知得，即m3m23m10设g(m)m3m23m1，则g(m)3m22m30，g(m)在R上是增函数又g(0)10，g(m)在(0，1)内有一个零点函数g(m)在R上有且只有一个零点，即方程m3m23m10在R上有唯一实根，满足条件的等腰三角形有且只有一个11已知抛物线的焦点到直线的距离为(1)求抛物线的标准方程；(2)设点是
33、抛物线上的动点，若以点为圆心的圆在轴上截得的弦长均为4，求证：圆恒过定点【答案】(1) ；(2)证明见解析【解析】试题分析：所以抛物线的标准方程是(2)设圆心的坐标为，半径为，圆在轴上截得的弦长为，所以，圆的标准方程： ，化简得： ，对于任意的，方程均成立，故有： 解得： ，所以，圆过一定点为12从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点，是椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，且（1）求该椭圆的方程；（2）不过原点的直线与椭圆交于两点，已知，直线， 的斜率， 成等比数列，记以， 为直径的圆的面积分别为，求证； 为定值，并求出定值【答案】(1) ；(2)证明见解析【解析】试题分析：(1)由通项公式
34、可得，结合，可得， ，则该椭圆的方程为 (2)令，联立直线方程与椭圆方程可得，由韦达定理有， ， 成等比数列，则，则，据此整理计算可得，结合面积公式计算可得为定值试题解析：（1）由题可知，由，可得，所以，则该椭圆的方程为（2）令， ， ，由的两根为，知， ，由可得又，成等比数列可知，则， 13已知椭圆：过点，且离心率为过点的直线与椭圆交于，两点（）求椭圆的标准方程；（）若点为椭圆的右顶点，探究：是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由（其中，分别是直线、的斜率）【答案】（1）（2）1【解析】试题分析：()由题意得到关于a，b，c的方程组，求解方程组有， ，故椭圆的标准方程为故 综上所述
35、， 为定值14设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足（）求点的轨迹方程；（）过的直线与点的轨迹交于两点，过作与垂直的直线与点的轨迹交于两点，求证： 为定值【答案】（）（）【解析】试题分析：()设，由题意可得，则，点在椭圆上，整理计算可得轨迹方程为 ()分类讨论：当与轴重合时， 当与轴垂直时， 当与轴不垂直也不重合时，可设的方程为， ， ， 联立直线与椭圆的方程有，结合弦长公式有，把直线与曲线椭圆联立计算可得则据此，结论得证试题解析：（）设，易知， ，又因为，所以，又因为在椭圆上，所以，即（）当与轴重合时， ， ，当与轴垂直时， ， ，把直线与曲线联立，同理可得15已知双曲线的
36、左、右顶点分别为，直线与双曲线交于，直线交直线于点（1）求点的轨迹方程；（2）若点的轨迹与矩形的四条边都相切，探究矩形对角线长是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由【答案】(1) ;(2)见解析【解析】试题分析：(1)利用交轨法，求出点的轨迹方程；(2) 设点，过点作椭圆的切线，则切线的斜率存在且不为0，设斜率为，则切线方程为，代入到椭圆方程整理，得由得到，这个关于的一元二次方程的两根即为与，由，可知，即，即点为矩形外接圆的圆心，其中为直径，大小为，故矩形对角线长为定值试题解析：（1）设点， ， ，其中由题意，得， 由，两式相乘得，得 ，即这个关于的一元二次方程的两根即为与，由，得设为坐
37、标原点，故可知，同理，得，即点为矩形外接圆的圆心，其中为直径，大小为，故矩形对角线长为定值16已知椭圆： 的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线： 与椭圆相交于， 两点，点的坐标为，问直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由【答案】（1）；（2）定值为【解析】试题分析：（1）由椭圆的几何性质可得，即可求得， 的值，从而可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程得，根据判别式可得的取值范围，设， ，结合韦达定理，对化简，从而可得出定值 试题解析：（1）由已知可得解得， 故所求的椭圆方程为17已知椭圆（）的离心率为，点在
38、椭圆上（）求椭圆的方程；（）设是椭圆的一条弦，斜率为， 是轴上的一点， 的重心为，若直线的斜率存在，记为，问： 为何值时，为定值？【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）将点坐标代入椭圆方程，并用离心率联立方程组解得a，b（2）设A，B坐标，根据重心坐标公式得M坐标，利用直线斜率公式化简，并根据点在椭圆上的条件代入化简可得，最后根据定值条件得试题解析：（）解：椭圆的方程为： ，解得椭圆方程为： （）设， ，则重心， 由于斜率为存在且，故则为定值，当且仅当，即时， 为定值为18已知椭圆，三点中恰有二点在椭圆上，且离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上任一点，为椭圆的左右顶点，为中点，求
39、证：直线与直线它们的斜率之积为定值；（3）若椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，求证：直线与直线斜率之和为定值【答案】（1）;（2）见解析;（3）见解析 得： （3）设直线： ，设联立得：， 代入得， 19已知椭圆，如图所示点为椭圆上任意三点（）若，是否存在实数，使得代数式为定值若存在，求出实数和的值；若不存在，说明理由（）若，求三角形面积的最大值；（）满足（），且在三角形面积取得最大值的前提下，若线段与椭圆长轴和短轴交于点（不是椭圆的顶点）判断四边形的面积是否为定值若是，求出定值；若不是，说明理由【答案】（1），（2）1（3）2所以，即 故，存在实数使得（）当直线斜率不存在时，可设为；联立方
40、程组，得；由，得，即， ；当直线斜率存在时，可设为； 联立方程组，得； 由，得，即， ， ；等号成立时， ，即所以的最大值为1 （）取得最大值时， ，此时直线与坐标轴的交点恰好分别是椭圆长轴和短轴各一个端点；不妨取， ，若线段与椭圆长轴和短轴交于点（不是椭圆与坐标轴的交点）此时点定在第三象限，即；直线的方程为，令，得 同理，得 四边形的面积为：20已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与点构成正三角形(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存
41、在点，使为定值【解析】试题分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，可得，再求出的值，即可求椭圆的方程；（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求得结论21已知动点与，两点连线的斜率之积为，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点（1）求曲线的方程；（2）若直线，的斜率分别为，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由【答案】（1）（2）又因为点在椭圆上，所以，所以，为定值22已知椭圆 （）的离心率为，且点在椭圆上，设与平行的直线与椭圆相交于， 两点，直线， 分别与轴正半轴交于， 两点 (I)求椭圆的标准方程； ()判断的值是否为定值，并证明你的结论【答案】（）;（）【解析】试题分析：（）根据椭圆的离心率为，且点在椭圆上，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆的标准方程；（）由，设直线（）联立方程， ，根据韦达定理及斜率公式先证明 ，可得直线和直线的斜率和为零，可得，故，从而得在线段的中垂线上，进而可得 试题解析：（）由题意，解得： ， ， 故椭圆的标准方程为（）假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，1)，直
