1、抛物线的重要结论抛物线的四个重要结论：设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)|AF|，|BF|.(3)|AB|x1x2p(是直线AB的倾斜角)(4)为定值(F是抛物线的焦点)过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A4 B C5 D6【一般解法】易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20，得xAxB1.因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得xA12(xB1)，即xA2xB1，由解得xA2，xB，所以|AB|AF|B
2、F|xAxBp.【应用结论】(方法一)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E.设|BF|m，|AF|2m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m.由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以cos ，所以sin2.又y24x，所以2p4，利用弦长公式|AB|.(方法二)因为|AF|2|BF|，1，解得|BF|，|AF|3，故|AB|AF|BF|.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A B C D【一般解法】由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y，即4x4y30
3、.与抛物线方程联立，化简得4y212y90，所以yAyB3，yAyB.故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.【应用结论】由2p3，及|AB|，得|AB|12.原点到直线AB的距离d|OF|sin 30，故SAOB|AB|d12.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C若F是AC的中点，且|AF|4，求线段AB的长【一般解法】如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D由抛物线的定义知，|AD|AF|4.因为F是AC的中点，所以|AD|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，可得y12，所以A(3，2)又F(1,0)，所以直线AF的斜率k，所以直线AF的方程为y(x1)代入抛物线方程y24x，得3x210x30，所以x1x2，|AB|x1x2p.【应用结论】前面同一般解法，求得抛物线的方程为y24x.(方法一)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13.又x1x21，所以x2，所以|AB|x1x2p32.(方法二)因为，|AF|4，所以|BF|，所以|AB|AF|BF|4.
