1、数列中的最值问题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知等差数列的前n项为，且，则使得取最小值时的n为A. 1B. 6C. 7D. 6或7【答案】B【解析】解：设等差数列的公差是d，即，即，联立得到：，故有令，可解得，由此知，数列的前6项为负项故取最小值时，n等于6故选：B由题意，可根据，解出数列的公差，从而求得数列的通项公式，求出所有负项的个数，即可得出取最小值时，n所取的值本题考查等差数列的和与通项，研究等差数列的前n项和的最小值，常用的方法是找出所有的负项，即可得到和的最小值，本题属于基础题，难度较低2. 已知，并且，成等差数列，则的最小值为A. 16B. 9C. 5D.
2、4【答案】A则，即则的最小值为16故选A3. 等差数列的前n项之和为，已知，则，中最大的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题解：，则，中最大的是故选C4. 在数列中，则此数列最大项的值是A. 102B. C. D. 108【答案】D【解析】解：对应的抛物线开口向下，对称轴为，是整数，当时，数列取得最大值，此时最大项的值为，故选：D 结合抛物线的性质判断函数的对称轴，结合抛物线的性质进行求解即可本题主要考查数列最大项的求解，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键5. 正项等比数列中，存在两项、使得，且，则
3、的最小值是A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件由，求出公比q，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出的最小值解：在等比数列中，即，解得或舍去，当且仅当，并且时取等号学_科网故选D6. 设，是与的等差中项，则的最小值为 A. B. 3C. 4D. 9【答案】D【解析】本题主要考查基本不等式的应用，利用等差中项的定义建立a，b的关系是解决本题的关键根据等差中项的定义建立a，b的关系，然后利用基本不等式进行求解即可解：是与的等差中项，即，即，当且仅当，即时取等号，的最小值为9故选D7.
4、 已知等差数列满足，则前n项和取最大值时，n的值为A. 12或13B. 13或14C. 14或15D. 15或16【答案】C【解析】本题考查等差数列的性质和公式的运用，考查运算与推理的能力，属于基础题根据是等差数列，可得，可得和d的关系，带入前n项和中转化为二次函数问题，配方即可求解解：由题意，是等差数列，由，可得，可得：，当或15时，前n项和取最大值故选C来源:学科网8. 已知数列满足，是数列的前n项和，若，且，则的最小值为A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】解：数列满足，可得，则，又，所以，由，可得，则当且仅当时，取得最小值2故选：A由，结合余弦函数值求和，再由，可得，由，可得，运
5、用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值本题考查数列与三角函数的结合，注意运用整体思想和转化思想，考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题9. 设等差数列的前n项和为，且满足，则，中最大的项为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得，由此可得，再结合，可得结论本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题解：等差数列中，且，即，等差数列为递减数列，故可知，为正，为负；，为正，为负，则，又，最大，故选：C10. 已知，则在数列的前30项中最大项和最小项分别是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C11. 已知等差数列的公
6、差为d，前n项和为，若，则下列命题错误的是A. B. C. 中的最大项为D. 【答案】C【解析】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，利用前n项和公式可得：，可得，最大即可判断出解：，化为：，最大综上可得：A，B，D正确，只有C错误故选C12. 设等差数列的前n项和为，其中且，则数列的前n项和的最大值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：，又数列为等差数列，公差，解得 ，当时，即，当时，即，数列的前7项为正数， 数列的前n项和的最大值为故选：D 根据求出首项和公差，得到数列的通项公式，再判断数列的前7项为正数，再根据裂项求和即
7、可得到答案本题考查了等差数列的性质和等差数列的前n项和，以及数列的函数的特征和裂项求和，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设等比数列满足，则的最大值为_来源:学科网ZXXK【答案】64【解析】解：等比数列满足，可得，解得，解得则，当或4时，表达式取得最大值：故答案为：64求出数列的等比与首项，化简，然后求解最值本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力14. 已知是等差数列，其公差，其前n项和记为，且，则当取最大值时的_【答案】8来源:学#科#网Z#X#X#K【解析】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推
8、理能力与计算能力，属于中档题解：，化为，即，又公差，数列是单调递减数列，当取最大值时的，故答案为815. 若等差数列满足，则当_时，的前n项和最大【答案】8【解析】解：由等差数列的性质可得，又，等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，等差数列的前8项和最大，故答案为：8可得等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题16. 已知实数，是与的等比中项，则的最小值是_【答案】三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知数列的前n项和为，且求数列的通项公式；若，设数列的前n项和为，证明【答案】解：当时，得，当时，得，数列是公比为3的等
9、比数列，由得：，又两式相减得：，故，【解析】本题考査了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题学_科网利用时，即可得出利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出18. 已知数列的前n项和为，且满足求的通项公式； 求证：【答案】解：，解得，时，时也成立，证明：由可得：，【解析】本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与就计算能力，可得，解得时，由可得：可得，利用“裂项求和”方法即可得出19. 已知数列的前n项和为，数列满足，点在直线上求数列，的通项和；令，求数列的前n项和；若，求对所有的正整数n都有成立的k的范围【答案
10、】解：，则，当时，是首项为，公比为2的等比数列因此因为在直线上，所以，而，所以解：，因此来源:Z。xx。k.Com得：，证明：由知，数列为单调递减数列；来源:学.科.网当时，即的最大值为1由可得，而当时，当且仅当时取等号，【解析】本题考查了数列求和，等差数列的通项公式，错位相减法和不等式恒成立问题利用数列求和中的与的关系得，再利用等差数列的通项公式得结论利用错位相减法计算得结论利用不等式恒成立问题得结论20. 已知数列满足：，求证：数列是等比数列；求数列的通项公式；设，求数列的前n项和的取值范围【答案】证明：，常数，数列是等比数列解：由及已知是等比数列，公比，首项为，【解析】本题考查了等比数列
11、的判断，等比数列的求和公式，裂项法求和，属于中档题递推式两边同时加1即可得出结论；根据的结论求出，从而得出；使用裂项法求和，判定的单调性得出范围21. 已知数列前n项和，点在函数的图象上求的通项公式；设数列的前n项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围【答案】解：在函数的图像上，当时，得当时，符合上式；由知，则，数列单调递增，要使不等式对任意正整数n恒成立，只要，即【解析】，再写一式，即可求的通项公式；由知，利用裂项法可求，从而可求得，由，可判断数列单调递增，从而可求得a的取值范围本题考查数列的通项与求和，着重考查等差关系的确定及数列的单调性的分析，突出裂项法求和，突出转化思想与综合运算能力的考查，属于难题22. 已知数列的前n项和为S，且满足S证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式若b，数列的前n项和为T，求满足不等式的n的最小值【答案】证明：当时，当时，两式相减得：，即，数列为以2为首项，2为公比的等比数列，则，；解：，两式相减得：，由，得，设，数列为递增数列，满足不等式的n的最小值为11学_科网本题考查数列递推式，考查了利用错位相减法求数列的前n项和，考查数列的函数特性，是中档题
