1、专题03 三角函数线的应用新教材的新增内容背景分析:人教B版有单独一节讲解三角函数线，人教A把新教材中关于三角函数线的应用相对旧教材而言，重点体现在三角函数概念的获得，诱导公式的推导，以及正余弦函数的图象的得到以及三角函数的性质等.体现这个知识点的基础性和解决问题的本质的根源所在.一正弦线与余弦线1一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2y21的点组成的集合称为单位圆.2过角终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，当的方向与x轴的正方向相同时，表示cos 是正数，且cos ，当的方向与x轴的正方向相反时，表示cos 是负数，且cos ，称为角的余弦线，类似地，可以直观的表示sin ，称为角
2、的正弦线注：利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看成角地正弦和余弦地信息，例如上图中，角的余弦线是，正弦线是，由此可看成，而且还可以看出：，.二正切线设角的终边与直线x1交于点T，则可以直观地表示tan ，因此称为角的正切线当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x1没有交点，但终边的反向延长线与x1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值注：如图所示，角的正切线为，而且从图中可以看出：，这就是说，角的正切等于角的终边或其反向延长线与直线的交点的纵坐标.新增内容的考查分析1.利用三角函数线求值【考法示例1】作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切
3、.解：如图所示，在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线，单位圆与轴交于点.作的终边与单位圆的交点P，过P作x轴的垂线，垂足为M；延长线段PO，交直线于T，则的正弦线为，余弦线为，正切线为.类似可得到的正弦线为，余弦线为，正切线为.在图中，根据直角三角形的知识可知，所以，.2. 利用三角函数线判断大小【考法示例1】下列关系正确的是（）A BC D【答案】A【解析】作出单位圆，用三角函数线进行求解，如图所示，有，所以，故选：A.【考法示例2】利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin 与sin ；(2)tan 与tan ；(3)cos 与cos .解如图，画出角与的正弦线、余弦线、正切线，si
4、n M1P1，sin M2P2，tan AT1，tan AT2，cos OM1，cos OM2，由图形观察可得：M1P1M2P2，AT1OM2，(1)sin sin ；(2)tan cos .3利用三角函数线解不等式【考法示例1】已知，且，则的取值范围是（）.A BC D【答案】D【详解】画出单位圆以及，且，从图中可知的取值范围是故选：D.【考法示例2】函数y的定义域为_【答案】 (kZ)【详解】2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)x (kZ)故答案为 (kZ)4利用三角函数线证明不等式【考法示例1】利用单位圆中三角函数线.证明：当时，（1）；（
5、2）证明：在单位圆中，有（1）连接，则，即，（2）5.三角函数线的实际应用.将图（1）中所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设P到底面的高OT为lm，点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为rm，记以OP为终边的角为，点P离底面的高度为hm，试用表示解：过点P作x轴的垂线，垂足为M，则：当的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时，此时；当的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上时，因为，所以，此时；所以不管的终边在何处，都有.新增内容的针对训练1. 设，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出角的三角函数线，利用
6、三角函数线进行比较即可【详解】作出角的三角函数线如下图所示：由图象知：，又，.故选：B.2. 在内，使成立的的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据三角函数线，结合的取值范围，即可求得结果.【详解】根据三角函数线，角度终边落在直线右下方时，满足，又当在时，成立的的取值范围是，如下图所示，当角度终边落在阴影部分时（不含边界），满足，又当在时，成立的的取值范围是综上所述，所求范围为.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数线的应用，属基础题.3. 不等式，的解集为_【答案】【解析】【分析】在单位圆中画出角的三角函数线，根据三角函数线的大小确定角的范围【详解】解：如图角的正弦线，余弦线分别是，当角的终
7、边与弧相交时，此时，不等式的解集为，故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，考查数形结合思想，属于基础题4. 利用三角函数线证明.【答案】证明见详解.【解析】【分析】根据题意，分别讨论角的终边在轴上，角的终边在轴上，角的终边落在四个象限，三种情况，根据三角函数线的概念，有三角函数的性质，即可证明结论成立.【详解】当角的终边在轴上时，正弦线变成一个点，余弦线的长等于单位圆的半径，此时；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正弦线的长等于单位圆的半径，此时；当角的终边落在四个象限时，设角的终边与单位圆交于点时，过点作轴于点，则，利用三角形两边之和大于第三边有：，综上，.【点睛】本题主要考查由三角函数线证明不等式，属于常考题型.
