1、确定一次函数表达式【本讲教育信息】一. 教学内容：怎样确定一次函数的表达式二. 知识要点：1. 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数 y kx（ k 是常数， k0）中只有一个待定系数 k，故只需一个条件（如一对 x、 y 的值或一个点）就可以求得 k 的值（2）由于一次函数 y kx b（ k， b 是常数， k0）中有两个待定系数 k， b，需要两个独立的条件确定两个关于 k、 b 的方程，求得 k、 b 的值，这两个条件通常是两个点或两对 x、 y 的值2. 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为 y kx b（2）将已知点的坐标代入函数表达式，
2、解方程（方程组）（3）求出 k 与 b 的值，得函数表达式三. 重点难点：本节重点是结合实际问题求出一次函数表达式，难点是灵活运用一次函数的性质解决实际问题【典型例题】例 1. 已知直线 y kx b 经过点（1，3）和点（1，1），求该函数的表达式解：根据题意得 k b 3 k b 1 )得 2k2，所以 k1把 k1 代入得 b2所以函数关系式是 y x2评析：将点的坐标代入关系式得方程组，解关于 k、 b 的方程组，确定 k、 b 的值例 2. 已知一次函数 y x a 和 y x b 的图象都经过点 A（4，0），且与 y 轴32 12分别交于点 B、C，求ABC 的面积 xOABC分
3、析：充分利用数形结合的方法，求出点 B、C 的坐标，进而求得 BC 的长，找到求面积的条件，即找到边长和对应的高线解： y x a 与 y x b 的图象都过点 A（4，0），32 12 （4） a0， （4） b0，32 12解得： a6， b2，两直线为 y x6 和 y x232 12B（0，6），C（0，2）如图所示，S ABC BCAO （62）41612 12评析：利用图象来求面积直观明了坐标几何的实质就是“边长坐标解析式”，以坐标为中心，数形结合，边长始终为正，而坐标有正有负例 3. 已知一次函数图象经过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为 3，求一次函数的解析式分析：题
4、中有两个条件，一个是“图象过点（0，2）”，另一个是“与两坐标轴围成的三角形面积为 3”后一个条件的利用，需画出函数图象的草图，再根据面积公式列方程 -2xyABAO解：根据已知条件画出此一次函数图象的草图，如图所示的直线 AB 与 AB设一次函数解析式为 y kx b，把 x0， y2 代入 y kx b，得 b2，即有 y kx2令 y0，由 y kx2 得 x ，即直线与 x 轴的交点的横坐标为 2k 2k所以 OA 或 OA的长为 2k所以 S ABO 2 3，即 k ， k 12 2k 23 23故一次函数的解析式为 y x2 或 y x223 23评析：在表达直线与两坐标轴围成的三
5、角形面积时，关键是求出直线与两坐标轴的交点坐标利用交点坐标转化为线段的长，注意加绝对值例 4. 某汽车在加油后开始匀速行驶已知汽车行驶至 20km 时，油箱剩油 58.4L；行驶至 50km 时，油箱剩油 56L如果油箱中剩余油量 y（L）与汽车行驶的路程 x（ km）之间的关系是一次函数关系，请你求出这个一次函数的表达式，并写出自变量 x 的取值范围分析：由题意得两组 x、 y 的对应值，（20，58.4）和（50，56），且 y 是 x 的一次函数对于自变量的取值范围要考虑汽车的最小行程 x0 和最大行程 0使油箱中的余油量不能为负数故有 y0，得到 x 的取值解：设所求一次函数表达式为
6、y kx b，由题知函数过点（20，58.4），（50，56），代入得 ，58.4 20k b56 50k b)解得 k 0.08b 60 ) y0.08 x60（0 x750）评析：由 y0 可确定 x 的最大值例 5. 某地举办乒乓球比赛的费用 y（元）包括两部分：一部分租用比赛场地等固定不变的费用 b（元），另一部分与参加比赛的人数 x（人）成正比例，当 x20 时，y1600，当 x30 时， y2000（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如果有 50 名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员要支付多少元？分析：设举办乒乓球比赛的费用 y（元）与租用比赛场地等
7、固定不变的费用 b（元）和参加比赛的人数的函数关系式为 y kx b（ k0），把 x20， y1600， x30， y2000分别代入函数关系式，求出 k、 b 的值，进而求出 y 与 x 之间的函数关系式，当 x50 时，求出 y 的值，再求得 y50 的值即可解：（1）设 y1 b， y2 kx（ k0， x0），令 y y1 y2，所以 y kx b因为当 x20 时， y1600；当 x30 时， y2000，所以 ，所以 1600 20k b2000 30k b) k 40b 800)所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y40 x800（ x0）（2）当 x50 时， y4050
8、8002800（元）所以每名运动员需支付 28005056（元）答：每名运动员需支付 56 元【方法总结】本节主要学习了正比例函数和一次函数的表达式的求法，就是将已知的两个点（即两对 x、 y 的值）分别代入一次函数的解析式，通过解方程求出 k 和 b，从而确定一次函数的解析式，而对于正比例函数，只需一个点或一对 x、 y 的值即可，这就是利用待定系数法求函数解析式【模拟试题】（答题时间：50 分钟）1. 如果正比例函数的图像经过点（2，4），那么这个函数的表达式为_2. 经过点（1，7）和（1，1）两点的一次函数的解析式为_3. 某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是
9、每升_元 O50910金 额 (元 )数 量 (升 )4. 一次函数的图象过点（1，0），且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数解析式：_5. 一次函数 y kx b 的图像如图所示，则（ ） xy3-1A B C Dk 13b 1) k 13b 1) k 3b 1) k 13b 1)6. 如图，直线 AB 对应的函数表达式是（ ）A y x3 B y x3 C y x3 D y x332 32 23 23xO2AB*7. 如果一次函数 y kx b 的图象经过第一象限，且与 y 轴负半轴相交，那么（ ）A k0， b0 B k0， b0 C k0， b0 D k0，
10、b0*8. 下列函数中，其图象同时满足两个条件 y 随着 x 的增大而增大，与 y 轴的正半轴相交则它的解析式为（ ）A2 x1 B2 x1 C2 x1 D2 x19. 已知 y 与 2x1 成正比例，且当 x3 时， y7，写出 y 与 x 的函数关系式*10. 已知 y（ m3）与 x（ m 是常数）成正比例，且 x6 时， y1； x4 时，y4，求 y 与 x 之间的函数关系式*11. 直线与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，若点 B 到 x 轴的距离为 2，求直线的表达式*12. 小明受乌鸦喝水故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息
11、，解答下列问题：（1）放入一个小球，量桶中水面升高_ cm；（2）求放入小球后量桶中水面的高度 y（ cm）与小球个数 x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？【试题答案】1. y2 x2. y3 x43. 5.09（提示：这条直线可看作正比例函数的图象，解析式为 y5.09 x，当 x1 时，y5.09）4. y3 x3 等（答案不唯一）5. D6. A7. B8. D9. 根据题意可设 y k（2 x1），把 x3， y7 代入得， k1，所以 y2 x110. 根据题意，可设 y（ m3） kx，当 x6 时， y1；当 x4 时，y4有 ，解得 ，所以 y x21 （ m 3） 6k 4 （ m 3） 4k) k 12m 1) 1211. 因为点 B 在 y 轴上到 x 轴的距离为 2，所以点 B 的坐标是（0，2）或（0，2）所以所求直线有两条，一条过（4，0）、（0，2），另一条过（4，0）、（0，2）所求直线为 y x2 或 y x212 1212. （1）2（2） y2 x30（3）至少放入 10 个小球时有水溢出
