2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步课件（打包13套）北师大版必修2.zip

§1 简单几何体1． 1 简单旋转体学习目标 1.通过实物操作，增强直观感知 (重点 )； 2.能根据几何体的结构特征对空间物体进行分类 (重点 )； 3.会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 (重、难点 )．知识点一 球的结构特征1． 定 义 ：以半 圆 的 所在的直 线为 旋 转轴 ，将半 圆 旋转 所形成的曲面叫作 ．球面所 围 成的几何体叫作， 简 称球．2．相关概念 (如 图 )．3．表示法：球常用 的字母表示， 图 中的球表示 为 .直径球面球体表示球心球 O【 预习评价 】 (正确的打 “ √” ，错误的打 “ ×” )(1)球可以以圆的直径所在的直线为旋转轴旋转得到． ( )(2)球体内的点到球心的距离都不大于球的半径． ( )√√知识点二 旋转体一 条平面曲 线绕 着它所在的平面内的 旋 转所形成的曲面叫作旋 转 面， 围 成的几何体叫作旋 转 体．知识点三 圆柱、圆锥、圆台分 别 以 、 、所在的直 线为 旋 转轴 ，其余各边 旋 转 而形成的曲面所 围 成的几何体分 别 叫作 圆 柱、 圆锥 、 圆 台．一条定直 线封 闭 的旋 转 面矩形的一 边 直角三角形的一条直角 边直角梯形垂直于底 边 的腰【 预习评价 】1． 圆柱的母线有多少条？它们之间有什么关系？提示 圆柱的母线有无数条；相互平行．2． 圆锥过轴的截面叫做轴截面，那么圆锥的轴截面是什么形状？提示 等腰三角形．3．正确的打 “ √” ，错误的打 “ ×”(1)圆台的母线只有一条． ( )(2)过圆台的轴的截面叫轴截面，它是等腰梯形． ( )(3)用平行于圆台底面的平面去截圆台，截面是圆面． ( )×√√题型一 旋转体的结构特征【 例 1】 判 断下列各命 题 是否正确：(1)圆 柱上底面 圆 上任一点与下底面 圆 上任一点的 连线 都是 圆 柱的母 线 ；(2)一直角梯形 绕 下底所在直 线 旋 转 一周，所形成的曲面围 成的几何体是 圆 台；(3)圆锥 、 圆 台中 过轴 的截面是 轴 截面， 圆锥 的 轴 截面是等腰三角形， 圆 台的 轴 截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定 长 的点的集合是球．解 (1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错．应为球面．规律方法 (1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边 (弦 )旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．【 训练 1】 下 列命 题 正确的是 ________(只填序号 )．① 以直角三角形的一 边 所在直 线为轴 旋 转 一周所得的旋转 体是 圆锥 ；② 以直角梯形的一腰所在直 线为轴 旋 转 一周所得的旋 转体是 圆 台；③ 圆 柱、 圆锥 、 圆 台的底面都是 圆 ；④ 以等腰三角形的底 边 上的高所在直 线为 旋 转轴 ，其余各 边 旋 转 180°形成的曲面 围 成的几何体是 圆锥 ；⑤ 球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥ 球的半径是球面上任意一点和球心的 连线 段；⑦ 球面上任意三点可能在一条直 线 上；⑧ 用一个平面去截球，得到的截面是一个 圆 面．解析 ① 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥； ② 以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台； ③ 它们的底面为圆面； ④ 正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故 ⑤ 错误；根据球的半径定义，知⑥ 正确；球面上任意三点一定不共线，故 ⑦ 错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故 ⑧ 正确．答案 ④⑥⑧题型二 简单组合体的结构特征【 例 2】 如 图 (1)、 (2)所示的 图 形 绕 虚 线 旋 转 一周后形成的立体 图 形分 别 是由哪些 简单 几何体 组 成的？解 旋转后的图形如图所示．其中图 ① 是由一个圆柱 O1O2和两个圆台 O2O3， O3O4组成的；图 ② 是由一个圆锥 O5O4，一个圆柱 O3O4及一个圆台 O1O3中挖去圆锥 O2O1组成的．规律方法 (1)平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成．(2)必要时作模型培养动手能力．【 训练 2】 已 知 AB是直角梯形 ABCD中与底边垂直的腰，如图所示．分别以 AB， BC， CD， DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．解 (1)以 AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图 ① 所示．(2)以 BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图 ② 所示．(3)以 CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图 ③所示．(4)以 AD边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图 ④ 所示．【 探究 1】 边 长为 5 cm的正方形 EFGH是 圆 柱的 轴 截面，则 从 E点沿 圆 柱的 侧 面到相 对顶 点 G的最短距离 为________cm.互动探究 题型三 有关几何体的计算问题【 探究 2】 圆 台的两底面面 积 分 别为 1,49，平行于底面的截面面 积 的 2倍等于两底面面 积 之和，求 圆 台的高被截面分成的两部分的比．【 探究 3】 一 个 圆锥 的底面半径 为 2，高 为 6，且有一个高为 x的内接 圆 柱．(1)用 x表示出 圆 柱的 轴 截面面 积 S；(2)当 x为 何 值时 ， S取得最大 值 ？【 探究 4】 如 图 所示，用一个平行于 圆锥 SO底面的平面截这 个 圆锥 ，截得 圆 台上、下底面的面 积 之比 为 1∶16，截去的 圆锥 的母 线长 是 3 cm，求 圆 台 O′O的母 线长 ．【 探究 5】 圆 台的上、下底面半径分 别为 5 cm,10 cm，母线长 AB＝ 20 cm，从 圆 台母 线 AB的中点 M拉一条 绳 子 绕圆 台 侧 面 转 到点 A，求：(1)绳 子的最短 长 度；(2)在 绳 子最短 时 ，上底 圆 周上的点到 绳 子的最短距离．(2)作 OQ⊥ AM于点 Q，交弧 BB′于点 P，则 PQ为所求的最短距离．∵ OA·OM＝ AM·OQ， ∴ OQ＝ 24 cm.故 PQ＝ OQ－ OP＝ 24－ 20＝ 4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为 4 cm.规律方法 (1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质 (与底面全等或相似 )，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面 (轴截面 )的性质，利用相似三角形中的相似比，构建相关几何变量的方程组而得解．(2)求旋转体侧面上两点间距离的最小值是一种常见的问题，常利用侧面展开图转化为平面上两点间线段最短问题．求解时，注意图形特征，常构造直角三角形，利用勾股定理等知识求解．这正是将空间几何问题转化为平面几何问题的体现．1． 2 简单 多面体学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体 ——棱柱、棱锥、棱台的结构特征 (重点 )； 2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算 (重、难点 )．知识点一 多面体我 们 把若干个平面多 边 形 围 成的几何体叫作 ．其中棱柱、棱 锥 、棱台都是 ．多面体简单 多面体【 预习评价 】 (正确的打 “ √” ，错误的打 “ ×” )(1)多面体至少四个面． ( )(2)多面体的面都是平的，多面体没有曲面． ( )√√知识点二 棱柱的结构特征定 义 图 形及表示 相关概念 分 类两个面互相，其余各面都是 ，并且每相 邻 两个四 边 形的公共 边 都互相， 这 些面 围 成的几何体叫作棱柱 .如 图 可 记 作：棱柱 ABCDEF－A′ B′ C′ D′E′ F′底面：两个互相的面．侧 面： ．侧 棱：两个 侧 面的 ．顶 点：底面多 边形与 侧 面的.按底面多边 形的 边数分：三棱柱、四棱柱、……平行四 边 形平行平行其余各面公共 边公共 顶 点【 预习评价 】棱柱的侧面一定是平行四边形吗？提示 根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形．知识点三 棱锥的结构特征定 义 图 形及表示 相关概念 分 类有一个面是，其余各面是有一个公共 顶 点的 ， 这些面 围 成的几何体叫作棱 锥 .如 图 可 记 作，棱锥 S－ ABCD底面： 面．侧 面：有公共 顶 点的各个 ．侧 棱：相 邻侧 面的．顶 点：各 侧 面的.按底面多边 形的边 数分：三棱锥 、四棱 锥 、……多 边 形三角形多 边 形三角形面公共 边公共 顶 点【 预习评价 】 (正确的打 “ √” ，错误的打 “ ×” )(1)五棱锥共有五个面． ( )(2)三棱锥也叫四面体． ( )(3)棱锥的侧棱长都相等． ( )×√×知识点四 棱台的结构特征定 义 图 形及表示 相关概念 分 类用一个的平面去截棱 锥 ，底面与截面之 间 的部分叫作棱台 .如 图 可 记 作：棱台 ABCD－A′ B′ C′ D′上底面：原棱 锥 的．下底面：原棱 锥 的．侧 面：其余各面．侧 棱：相 邻侧 面的公共 边 ．顶 点： 侧 面与上 (下 )底面的公共 顶 点 .由三棱 锥、四棱 锥、五棱 锥… 截得的棱台分 别叫做三棱台、四棱台、五棱台 ……平行于棱锥 底面截面底面【 预习评价 】棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？提示 根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．题型一 棱柱的结构特征【 例 1】 下列说法中，正确的是 ( )A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点B．棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形解析 A选项不符合棱柱的特点； B选项中，如图 ① ，构造四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1，令四边形 ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥ 平面 DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面； C选项中，如图 ② ，底面 ABCD可以是平行四边形； D选项是棱柱的特点．故选 D.答案 D规律方法 棱柱的结构特征：(1)两个面互相平行；(2)其余各面都是四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．【 训练 1】 根 据下列关于空 间 几何体的描述， 说 出几何体名称：(1)由 6个平行四 边 形 围 成的几何体．(2)由 8个面 围 成，其中两个面是平行且全等的六 边 形，其余 6个面都是平行四 边 形．解 (1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)该几何体是六棱柱．题型二 棱锥、棱台的结构特征【 例 2】 下 列关于棱 锥 、棱台的 说 法：① 棱台的 侧 面一定不会是平行四 边 形；② 由四个平面 围 成的封 闭图 形只能是三棱 锥 ；③ 棱 锥 被平面截成的两部分不可能都是棱 锥 ．其中正确 说 法的序号是 ________．解析 ① 正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；② 正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③ 错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．答案 ①②规律方法 判断棱锥、棱台形状的两个方法：(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥 棱台定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点【 训练 2】 如 图 ，三棱台 A′B′C′－ ABC截去三棱 锥 A′－ ABC后，剩余部分是 ( )A．三棱 锥 B．四棱 锥 C．三棱台 D．四棱柱解析 剩余部分是四棱锥 A′－ BB′C′C.答案 B【 探究 1】 画 出如 图 所示的几何体的表面展开 图 ．互动探究 题型三 多面体的表面展开图问题解 表面展开图如图所示：【 探究 2】 一 个正方体的平面展开 图 及 该 正方体的直 观图的示意 图 如 图 所示． 请 将字母 F， G， H标记 在正方体相应 的 顶 点 处 (不需 说 明理由 )．解 点 F， G， H的位置如图所示．【 探究 3】 如 图 所示，已知三棱 锥 P－ ABC的底面是正三角形且三条 侧 棱两两成 30°角， 侧 棱 长为 18 cm，从点 A引一条 丝带绕侧 面一周回到 A点， 设 D， E分 别为丝带经过PC， PB时 的交点， 则 △ ADE周 长 的最小 值为 多少？【 探究 4】 长 方体中， a， b， c为 棱 长 ，且 abc，求沿 长方体表面从 P到 Q的最小距离 (其中 P， Q是 长 方体 对 角 线的两个端点 )．解 将长方体展开，有三种情况 (如图 )．规律方法 多面体表面展开图问题的解题策略：(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．课堂达标1． 下 列 说 法 错误 的是 ( )A．多面体至少有四个面B．九棱柱有 9条 侧 棱， 9个 侧 面， 侧 面 为 平行四 边 形C． 长 方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的 侧 面 为 三角形解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项 D错．答案 D2．如 图 ，将装有水的 长 方体水槽固定底面一 边 后 倾 斜一个小角度， 则倾 斜后水槽中的水形成的几何体是 ( )A．棱柱 B．棱台C．棱柱与棱 锥 的 组 合体 D．不能确定解析 形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义．答案 A§2 直观图学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则 (重点 )； 2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图 (重、难点 )．知识点一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤1． 画 轴 ：在已知 图 形中取互相垂直的 x轴 和 y轴 ，两 轴 相交于点O，画直 观图时 ，把它 们 画成 对应 的 x′轴 与 y′轴 ，两 轴 交于点O′，且使 ∠ x′O′y′＝ ，它 们 确定的平面表示．2．画 线 ：已知 图 形中平行于 x轴 或 y轴 的 线 段，在直 观图 中分 别画成平行于 或 ．3．取 长 度：已知 图 形中平行于 x轴 的 线 段，在直 观图 中保持原长 度不 变 ，平行于 y轴 的 线 段， 长 度 为 原来的一半．45°水平平面x′轴 y′轴 的 线 段【 预习评价 】相等的角在直观图中还相等吗？提示 不一定，例如正方形的直观图为平行四边形 ， 则原相等的角，直观图中不相等 ．知识点二 空间几何体直观图的画法1． 画 轴 ：与平面 图 形的直 观图 画法相比多了一个 轴 ，直观图 中与之 对应 的是 轴 ．2．画底面：平面 表示水平平面，平面 和表示直立平面．3．画 侧 棱：已知 图 形中平行于 z轴 的 线 段，在直 观图 中和 都不 变 ．4．成 图 ：去掉 辅 助 线 ，将被遮 挡 的部分改 为 虚 线 ．z′x′O′y′ y′O′z′x′O′z′平行性 长 度z【 预习评价 】空间几何体的直观图唯一吗？提示 不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．题型一 画水平放置的平面图形的直观图【 例 1】 画 出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．解 画法： (1)如图所示，取 AB所在直线为 x轴， AB中点 O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系 x′O′y′，使 ∠ x′O′y′＝ 45°.规律方法 (1)例 1巧借等腰梯形的对称性建系使 “ 定点 ” 、“ 画图 ” 简便易行．(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成．【 训练 1】 用 斜二测画法画边长为 4 cm的水平放置的正三角形的直观图．解 (1)如图 ① 所示，以 BC边所在的直线为 x轴，以 BC边上的高线 AO所在的直线为 y轴，建立平面直角坐标系．题型二 简单几何体的直观图【 例 2】 用 斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、 3 cm、 2 cm的长方体 ABCD－ A′B′C′D′的直观图．解 画法步骤： (1)画轴．如图，画 x轴、 y轴、 z轴，三轴相交于点 O，使 ∠ xOy＝ 45°， ∠ xOz＝ 90°.(3)画侧棱．过 A， B， C， D各点分别作 z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2 cm长的线段 AA′， BB′， CC′， DD′.(4)成图．顺次连接 A′， B′， C′， D′，并加以整理 (去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线 )，就得到长方体的直观图．【 训练 2】 画 出底面是边长为 1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为 1.5 cm的四棱锥的直观图．解 (1)画轴．画 x轴、 y轴、 z轴，∠ xOy＝ 45°(或 135°)， ∠ xOz＝ 90°，如图 ① .(2)画底面．以 O为中心，在 xOy平面内，画出正方形的直观图 ABCD，使 AB＝ 1.2 cm， EF＝ 0.6 cm.(3)画顶点，在 Oz轴上截取 OP，使 OP＝ 1.5 cm.(4)成图．顺次连接 PA、 PB、 PC、 PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图 ② .【 探究 1】 如 图 所示， △ A′B′C′是水平放置的平面 图 形的斜二 测 直 观图 ，将其 还原成平面 图 形．互动探究 题型三 直观图的还原和计算问题解 ① 画直角坐标系 xOy，在 x轴的正方向上取 OA＝ O′A′，即 CA＝ C′A′；② 过 B′作 B′D′∥ y′轴，交 x′轴于 D′，在 OA上取 OD＝ O′D′，过 D作 DB∥ y轴，且使 DB＝ 2D′B′；③ 连接 AB， BC，得 △ ABC.则 △ ABC即为 △ A′B′C′对应的平面图形，如图所示．【 探究 2】 如 图 所示，正方形 O′A′B′C′的 边长为 1 cm，它是水平放置的一个平面图 形的直 观图 ，求原 图 形的周 长 ．解析 画 △ ABC直观图如图 (1)所示：答案 C规律方法 (1)由直观图还原平面图形关键有两点：① 平行 x′轴的线段长度不变，平行 y′轴的线段扩大为原来的 2倍；② 对于相邻两边不与 x′、 y′轴平行的顶点可通过作 x′轴， y′轴平行线变换确定其在 xOy中的位置．(2)由于斜二测画法中平行于 x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于 y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜 45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点：课堂达标1． 利 用斜二 测 画法画出 边长为 3 cm的正方形的直 观图 ，正确的是 图 中的 ( )解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为 2∶ 1.答案 C§3 三视图学习目标 1.理解三视图的概念；能画出简单空间图形的三视图 (重点 )； 2.了解简单组合体的组成方式，会画简单几何体的三视图 (重点 )； 3.能识别三视图所表示的立体模型 (重、难点 )．知识点一 组合体(1)定 义 ：由 生成的几何体叫作 组 合体．(2)基本形式：有两种，一种是将基本几何体 成 组 合体；另一种是从基本几何体中 或 部分构成 组 合体．基本几何体拼接切掉 挖掉【 预习评价 】描述下列几何体的结构特征．提示 图 ① 所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图 ② 所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图 ③ 所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．知识点二 三视图(1)空 间 几何体的三 视图 是指 、 、 ．(2)三 视图 的排列 规则 是 放在主 视图 的下方， 长 度与主 视图 一 样 ， 放在主 视图 的右面，高度与主视图 一 样 ， 宽 度与俯 视图 的 宽 度一 样 ．(3)三 视图 的主 视图 、俯 视图 、左 视图 分 别 是从 、、 观 察同一个几何体，所画出的空 间 几何体的平面 图 形．主 视图 左 视图 俯 视图俯 视图左 视图正前方正上方 正左 侧【 预习评价 】(1)画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗？提示 是．由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直．(2)三视图中的三个图形一般怎样排列？对于一般的几何体，几何体的主视图、左视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？提示 三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．为了便于记忆，通常说：“ 长对正，高平齐，宽相等 ” 或说 “ 主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽 ” ．题型一 画空间几何体的三视图【 例 1】 如 图 是按不同方式放置的同一个 圆 柱，阴影面 为正面，画出其三 视图 ．解 三视图分别如图所示．规律方法 画三视图应遵循的原则和注意事项：(1)务必做到 “ 长对正，高平齐，宽相等 ” ．(2)三视图的排列方法是主视图与左视图在同一水平位置，且主视图在左，左视图在右，俯视图在主视图的正下方．(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法．(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性．【 训练 1】 画 出 图 中棱柱的三 视图 (不考 虑 尺寸 )．解 此棱柱的上、下底面是全等的两个等腰梯形，各侧面均是矩形．从正前方看它的轮廓是一个矩形，有两条不可见侧棱，从正左侧看它的轮廓是一个矩形，从上向下看它的轮廓是一个梯形．可见轮廓线用实线，不可见侧棱用虚线画出，它的三视图如图所示．题型二 简单组合体的三视图【 例 2】 如 图 是球放在 圆 筒上形成的 组 合体，画出它的三视图 ．解 它的三视图如图所示：规律方法 在绘制简单组合体的三视图时，首先要分析组合体是由哪几部分组成，各部分是怎样的简单几何体以及它们的相对位置；其次要注意实线、虚线的处理．【 训练 2】 如 图 ， 设 所 给 的方向 为 物体的正前方， 试 画出它的三 视图 ．解 三视图如下：【 探究 1】 根 据以下三 视图 想象物体原形，并画出物体的实 物草 图 ．互动探究 题型三 由三视图还原空间几何体解 此几何体上面可以为圆柱，下面可以为圆台，所以实物草图可以如图．【 探究 2】 如 图 ，网格 纸 的各小格都是正方形，粗 实线 画出的是一个几何体的三 视图 ， 则这 个几何体是( )A．三棱 锥 B．三棱柱C．四棱 锥 D．四棱柱解析 如图，几何体为三棱柱．答案 B【 探究 3】 一 个几何体由几个相同的小正方体 组 合而成，它的主 视图 、左 视图 、俯 视图 如 图 ， 则这 个 组 合体包含的小正方体的个数是 ( )A． 7 B． 6 C． 5 D． 4解析 由三视图可知，该几何体共两层，下层有四个小正方体，上层有一个小正体，共五个，其实物图如图所示．故选C.答案 C【 探究 4】 某 四棱 锥 的三 视图 如 图 所示， 该 四棱 锥 最 长 棱的棱 长为 ( )答案 C规律方法 由三视图还原空间几何体的步骤：课堂达标1． 如 图 所示，下列几何体各自的三 视图 中，有且 仅 有两个视图 相同的是 ( )A． ①② B． ①③ C． ①④ D． ②④ 解析 在各自的三视图中 ① 正方体的三个视图都相同； ② 圆锥有两个视图相同； ③ 三棱台的三个视图都不同； ④ 正四棱锥有两个视图相同．答案 D2．将 长 方体截去一个四棱 锥 ，得到的几何体如 图 所示， 则该 几何体的左 视图为 ( )解析 从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的．答案 D3．如 图 所示，桌面上放着一个半球， 则 它的三 视图 中，与其他两个 视图 不同的是 ________(填 “ 主 视图 ”“ 左 视图 ” 或 “ 俯 视图 ” )．§4 空间图形的基本关系与公理4． 1 空间图形基本关系的认识4． 2 空间图形的公理 (一 )学习目标 1.理解空间中点、线、面的位置关系 (重点 )； 2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念 (重点 )； 3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题 (重、难点 )．知识点一 点、线、面之间的位置关系一 些文字 语 言与数学符号的 对应 关系：位置关系 图 形表示 符号表示点与直 线 的位置关系点 A在直 线 a外 A∉a点 B在直 线 a上 B∈ a点与平面的位置关系点 A在平面 α内 A∈ α点 B在平面 α外 B∉α直 线 与直 线的位置关系平行 a∥ b相交异面 a与 b异面a∩ b＝ O直 线 与平面的位置关系 线 在面内线 面相交线 面平行平面与平面的位置关系 面面平行面面相交异面直 线 不同在 的两条直 线 ，叫作异面直 线a￿ αa∩ α＝ Aa∥ αα∥ βα∩ β＝ a任何一个平面内【 预习评价 】(1)若 A∈ a， a￿ α，是否可以推出 A∈ α？提示 根据直线在平面内定义可知，若 A∈ a， a￿ α，则 A∈ α.(2)长方体的一个顶点与 12条棱和 6个面分别有哪些位置关系？提示 顶点与 12条棱所在直线的关系是在棱上 ,或不在棱上；顶点和 6个面的关系是在面内，或在面外．(3)长方体的棱所在直线与面之间有几种位置关系？提示 棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．知识点二 平面的基本性质及作用公理 内容 图 形 符号 作用公理 1如果一条直 线 上的 在一个平面内，那么 这 条直 线 上所有的点都在 这 个平面内 (即直 线 在平面内 )A∈ l， B∈ l，且 A∈ α， B∈ α⇒既可判定直 线和点是否在平面内，又能 说明平面是无限延展的两点l￿ α公理2经过 不在同一条直 线 上的三点， 一个平面 (即可以确定一个平面 )A， B， C三点不共 线 ⇒存在唯一的平面 α，使 A， B， C∈ α一是确定平面；二是 证明点、 线 共面 问题 ；三是判断两个平面重合的依据有且只有公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条P∈ α，且P∈ β⇒ α∩β＝ l，且P∈ l一是判断两个平面相交的依据；二是 证 明点共 线问题 的依据；三是 证 明 线 共点 问题 的依据通 过这 个点的公共直 线【 预习评价 】(1)两个平面的交线可能是一条线段吗？提示 不可能．由公理 3知，两个平面的交线是一条直线．(2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？提示 不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．题型一 三种语言间的相互转化【 例 1】 用 符号 语 言表示下列 语 句，并画出 图 形．(1)三个平面 α， β， γ相交于一点 P，且平面 α与平面 β相交于 PA，平面 α与平面 γ相交于 PB，平面 β与平面 γ相交于 PC；(2)平面 ABD与平面 BDC相交于 BD，平面 ABC与平面 ADC相交于 AC.解 (1)符号语言表示： α∩β∩γ＝ P， α∩β＝ PA， α∩γ＝ PB，β∩γ＝ PC，图形表示如图 ① .(2)符号语言表示：平面 ABD∩ 平面 BDC＝ BD，平面 ABC∩ 平面 ADC＝ AC，图形表示如图 ② .规律方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．【 训练 1】 如 图 ，用符号表示下列 图 形中点、直 线 、平面之 间 的位置关系．解 在 (1)中， α∩β＝ l， a∩α＝ A， a∩β＝ B.在 (2)中， α∩β＝ l， a￿ α， b￿ β， a∩l＝ P， b∩l＝ P.题型二 空间点、线、面的位置关系【 例 2】 如 图 所示，在 长 方体 ABCD－ A1B1C1D1中， AC与 BD相交于点 M， 则 下列 说 法中正确的是 ( )① 点 M在直 线 AC上，点 B在直 线 A1B1外； ② 直 线 AC与 BD相交,直 线 AC与 A1D1相交； ③ 平面 AA1B1B与平面 D1DCC1平行 ;④ 直线 AC与平面 A1B1C1D1相交； ⑤ 直 线 BC与 A1B1异面．A． ①③④ B． ①②⑤ C． ①③⑤ D． ②③④⑤解析 ① 中，点 M是直线 AC与 BD的交点，点 M在直线 AC上，点 B显然在直线 A1B1外，故 ① 正确； ② 中，直线 AC与 A1D1异面，故 ② 错误； ③ 中，两平面没有公共点，即互相平行，故 ③ 正确； ④ 中，直线 AC与平面 A1B1C1D1平行，故 ④ 错误；⑤ 中，直线 BC与 A1B1既不平行也不相交，只能为异面，故 ⑤正确．答案 C规律方法 (1)正确理解点、线、面之间的位置关系 .(2)异面直线是一种特殊的关系，它们不同在任何一个平面内 .(3)通过观察图形，能够更准确地判断点、线、面的位置关系 .【训练 2】 正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，与对角线 AC1异面的棱有 ( )A.3条 B.4条 C.6条 D.8条解析 与 AC1异面的棱是 A1B1， DC， BC， A1D1， BB1， DD1.答案 C方向 1 共面问题【 例 3-1】 已 知：如图所示， l1∩l2＝ A，l2∩l3＝ B， l1∩l3＝ C.求证：直线 l1、l2、 l3在同一平面内．证明 方法一 (纳入平面法 )∵ l1∩l2＝ A， ∴ l1和 l2确定一个平面 α.∵ l2∩l3＝ B， ∴ B∈ l2.又 ∵ l2￿ α， ∴ B∈ α.同理可证 C∈ α.又 ∵ B∈ l3， C∈ l3， ∴ l3￿ α.∴ 直线 l1、 l2、 l3在同一平面内．考查方向 题型三 平面性质的应用方法二 (辅助平面法 )∵ l1∩l2＝ A， ∴ l1、 l2确定一个平面 α.∵ l2∩l3＝ B， ∴ l2、 l3确定一个平面 β.∵ A∈ l2， l2￿ α， ∴ A∈ α.∵ A∈ l2， l2￿ β， ∴ A∈ β.同理可证 B∈ α， B∈ β， C∈ α， C∈ β.∴ 不共线的三个点 A、 B、 C既在平面 α内，又在平面 β内．∴ 平面 α和 β重合，即直线 l1、 l2、 l3在同一平面内．方向 2 点共线问题【 例 3-2】 如 图 ，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，点 M、 N、 E、 F分 别 是棱 CD、 AB、DD1、 AA1上的点，若 MN与 EF交于点 Q，求 证 ： D、 A、 Q三点共 线 ．证明 ∵ MN∩EF＝ Q，∴ Q∈ 直线 MN， Q∈ 直线 EF，又 ∵ M∈ 直线 CD， N∈ 直线 AB，CD￿ 平面 ABCD， AB￿ 平面 ABCD.∴ M、 N∈ 平面 ABCD，∴ MN￿ 平面 ABCD,∴ Q∈ 平面 ABCD.同理，可得 EF￿ 平面 ADD1A1,∴ Q∈ 平面 ADD1A1.又 ∵ 平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝ AD，∴ Q∈ 直线 AD，即 D、 A、 Q三点共线．方向 3 线共点问题【 例 3-3】 如 图 所示，在四面体 A－ BCD中， E， G分 别为 BC， AB的中点， F在 CD上， H在 AD上，且有 DF∶FC＝DH∶HA＝ 2∶3，求 证 ： EF， GH， BD交于一点．证明 ∵ E， G分别为 BC， AB的中点， ∴ GE∥ AC.又 ∵ DF∶ FC＝ DH∶ HA＝ 2∶ 3，∴ FH∥ AC，从而 FH∥ GE.故 E， F， H， G四点共面．∵ FH∥ AC， DH∶ DA＝ 2∶ 5，∴ FH∶ AC＝ 2∶ 5，即 FH＝ AC.又 ∵ E， G分别为 BC， AB的中点，∴ GE＝ AC， ∴ FH≠GE，∴ 四边形 EFHG是一个梯形，GH和 EF交于一点，设为 O.∵ O∈ GH， GH￿ 平面 ABD， O∈ EF， EF￿ 平面 BCD，∴ O在平面 ABD内，又在平面 BCD内，∴ O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是 BD，且交线只有这一条，∴ 点 O在直线 BD上．故 EF， GH， BD交于一点．规律方法 (1)证明点、线共面问题：一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内．(2)证明点共线：证明多点共线通常利用公理 3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．(3)证明三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．课堂达标1． 在 下列各种面中，不能被 认为 是平面的一部分的是 ( )A．黑板面 B． 乒乓 球桌面C． 篮 球的表面 D．平静的水面解析 平面的各部分都是 “ 平 ” 的，那么不能作为平面的部分只能是 “ 曲 ” 的，所以黑板面、乒乓球桌面和平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分．答案 C2．若点 M在直 线 a上， a在平面 α内， 则 M， a， α之 间 的关系可 记为 ( )A． M∈ a， a∈ α B． M∈ a， a￿ αC． M￿ a， a￿ α D． M￿ a， a∈ α解析 点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“ ∈ ” ，直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“ ∈ ” ．答案 B3． 设 平面 α与平面 β相交于 l，直 线 a￿ α，直 线 b￿ β， a∩b＝ M，则 M________l.解析 因为 a∩b＝ M， a￿ α， b￿ β，所以 M∈ α， M∈ β.又因为 α∩β＝ l，所以 M∈ l.答案 ∈4．如 图 ，已知 D， E是 △ ABC的 边 AC， BC上的点，平面 α经过 D， E两点，若直 线 AB与平面 α的交点是 P， 则 点 P与直线 DE的位置关系是 ________．解析 因为 P∈ AB， AB￿ 平面 ABC，所以 P∈ 平面 ABC.又 P∈ α，平面 ABC∩平面 α＝ DE，所以 P∈ 直线 DE.答案 P∈ 直 线 DE4． 2 空 间图 形的公理 (二 )学习目标 1.掌握公理 4及等角定理 (重点 )； 2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角 (重、难点 )．知识点一 公理 4【 预习评价 】 (正确的打 “ √” ，错误的打 “ ×” )(1)公理 4在平面内和空间中均成立． ( )(2)多条直线平行于同一条直线，则这些直线互相平行． ( )√√知识点二 空间等角定理1． 定 理文字语 言空 间 中，如果两个角的两条 边 分 别对应 平行，那么 这 两个角相等或互 补符号语 言OA∥ O′ A′ ， OB∥ O′ B′ ⇒ ∠ AOB＝ ∠ A′ O′ B′ 或∠ AOB＋ ∠ A′ O′ B′ ＝ 180°图 形语 言作用 判断或 证 明两个角相等或互 补2.推广如果两条相交直 线 与另两条相交直 线 分 别 平行，那么 这 两组 直 线 所成的 锐 角 (或直角 )相等．【 预习评价 】 (正确的打 “ √” ，错误的打 “ ×” )(1)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行． ( )(2)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等． ( )(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角互补． ( )×√×知识点三 异面直线所成的角1． 概 念：已知两条异面直 线 a， b， 经过 空 间 任一点 O作直线 a′∥ a， b′∥ b，我 们 把 a′与 b′所成的 锐 角 (或直角 )叫作异面直 线 a与 b所成的角．2．异面直 线 所成的角 θ的取 值 范 围 ： 0°＜ θ≤90°.3．如果两条异面直 线 所成的角是直角，就 说这 两条异面直线 互相垂直．两条互相垂直的异面直 线 a， b， 记 作 a⊥ b.4．异面直 线 所成的角的求法方法一 在 空 间 任取一点 O， 过 点 O分 别 作 a′∥ a， b′∥ b， 则 a′与 b′所成的 锐 角 (或直角 )为 异面直 线 a与 b所成的角，然后通 过 解三角形等方法求角．方法二 在 其中一条直 线 上任取一点 (如在 b上任取一点 )O，过 点 O作另一条直 线 的平行 线 (如 过 点 O作 a′∥ a)， 则 两条直线 相交所成的 锐 角 (或直角 )为 异面直 线 所成的角 (如 b与 a′所成的角 )，然后通 过 解三角形等方法求角 (如 图 )．【 预习评价 】(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示 (1)不一定．可能相交、平行或异面．(2)在长方体 A1B1C1D1－ ABCD中，BC1∥ AD1，则 “ 直线 BC1与直线BC所成的角 ” ，与 “ 直线 AD1与直线 BC所成的角 ” 是否相等？提示 相等．题型一 公理 4与等角定理的应用【 例 1】 E， F分 别 是 长 方体 ABCD－ A1B1C1D1的棱 A1A，C1C的中点，求 证 ：四 边 形 B1EDF是平行四 边 形．证明 设 Q是 DD1的中点，连接 EQ， QC1.因为 E是 AA1的中点，所以 EQ綊 A1D1.又因为在矩形 A1B1C1D1中， A1D1綊 B1C1，所以 EQ綊 B1C1.所以四边形 EQC1B1为平行四边形．所以 B1E綊 C1Q.又因为 Q， F分别是矩形 DD1C1C两边 D1D， C1C的中点，所以 QD綊 C1F.所以四边形 DQC1F为平行四边形．所以 C1Q綊 FD.又因为 B1E綊 C1Q，所以 B1E綊 FD.所以四边形 B1EDF为平行四边形．规律方法 (1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理 4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．答案 平 行题型二 异面直线的判断【 例 2】 如 图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中．哪些棱所在直线与直线 BA′是异面直线？解 由异面直线的定义可知，棱 AD、 DC、 CC′、 DD′、D′C′、 B′C′所在直线分别与直线 BA′是异面直线．规律方法 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．【 训练 2】 如 图 所示，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，判断下列直 线 的位置关系：(1)直 线 A1B与直 线 D1C的位置关系是 ________；(2)直 线 A1B与直 线 B1C的位置关系是 ________；(3)直 线 D1D与直 线 D1C的位置关系是 ________；(4)直 线 AB与直 线 B1C的位置关系是 ________．解析 序号 结论 理由(1) 平行 因为 A1D1綊 BC，所以四边形 A1BCD1为平行四边形，所以 A1B∥ D1C(2) 异面 A1B与 B1C不同在任何一个平面内(3) 相交 D1D∩D1C＝ D1(4) 异面 AB与 B1C不同在任何一个平面内答案 (1)平 行 (2)异面 (3)相交 (4)异面【 探究 1】 在 正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，异面直 线 BA1与CC1所成的角 为 ( )A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°互动探究 题型三 异面直线所成的角解析 如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， BB1∥ CC1，故∠ B1BA1就是异面直线 BA1与 CC1所成的角，故为 45°.答案 B【 探究 2】 如 图所示，在空间四边形ABCD中， AB＝ CD， AB⊥ CD， E， F分 别为 BC， AD的中点，求 EF和 AB所成的角．解 如图，取 BD的中点 G，连接 EG， FG.因为 E， F分别为 BC， AD的中点，AB＝ CD，所以 EG∥ CD， GF∥ AB，由 AB＝ CD，知 EG＝ FG， ∴△ EFG为等腰三角形．当 ∠ EGF＝ 30°时， ∠ GEF＝ 75°；当 ∠ EGF＝ 150°时， ∠ GEF＝ 15°.故 EF与 AB所成的角为 15°或 75°.规律方法 (1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点 O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．(2)求异面直线所成的角的一般步骤：① 作角：平移成相交直线．② 证明：用定义证明前一步的角为所求．③ 计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．