1、本资料分享自千人QQ群323031380 期待你的加入与分享学生用书P46第1讲空间几何体的表面积与体积考点一空间几何体的表面积和体积学生用书P47 典型例题命题角度1求空间几何体的表面积 (1)(2020高考全国卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表面积为()A64B48C36 D32(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为_【解析】(1)如图所示，设球O的半径为R，O1的半径为r，因为O1的面积为4，所以4r2，解得r2，又ABBCACOO1，所以2r，解得AB2
2、，故OO12，所以R2OOr2(2)22216，所以球O的表面积S4R264.故选A.(2)设正方体的棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1AB1C为正四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为42，所以三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1.【答案】(1)A(2)1求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积 命题角度2求空间几何体的体积 (1)(20
3、20南充市第一次适应性考试)如图，在正三棱锥ABCD中，ABBC，E为棱AD的中点若BCE的面积为，则三棱锥ABCD的体积为()A. BC. D(2)(一题多解)(2020福建省质量检测)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是()A. BC. D【解析】(1)因为ABBC，所以正三棱锥ABCD为正四面体因为E为AD的中点，所以ADBE，ADCE.又CEBEE，所以AD平面BCE.设ADa，则BECEa，所以等腰三角形BCE的面积SBCEBC aa2，所以a2，所以V三棱锥AB
4、CDV三棱锥ABCEV三棱锥DBCE2V三棱锥ABCE2SBCEAE2.(2)方法一：如图，OC2，OA3，由AEDAOC可得.设圆柱体的底面半径rED2x(0x1)，可得AE3x，则圆柱体的高hOE33x，圆柱体的体积V(2x)2(33x)12(x2x3)，令V(x)12(x2x3)，则V(x)12(2x3x2)，令V(x)0，解得x或x0(舍去)，可得V(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，故当x时，V(x)取得最大值，V(x)max，即圆柱体的最大体积是.方法二：同方法一，则圆柱体的体积V12x2(1x)6xx(22x)6，当且仅当x22x，即x时等号成立，故圆柱体的最大体积是.【答
5、案】(1)D(2)A求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体 对点训练1已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A，B满足SAB为等边三角形，且面积为4，又知SA与圆锥底面所成的角为45，则圆锥的表面积为()A8B4(2)C8(1) D8(2)解析：选C.设圆锥的母线长为l，由题意得l24，所以l4.设圆锥的底面半径为r，因为SA与圆锥底面所成的角为45，所以rlcos 4542，因此圆
6、锥的表面积为rlr2888(1)，选C.2九章算术是我国古代的数学名著，书中提到一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD是矩形，棱EFAB，AB4，EF2，ADE和BCF都是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积是()A. B2C. D解析：选C.过点E作EG平面ABCD，垂足为点G，过点F作FH平面ABCD，垂足为点H，过点G作PQAD，交AB于点Q，交CD于点P，过点H作MNBC，交AB于点N，交CD于点M，如图所示因为四边形ABCD是矩形，棱EFAB，AB4，EF2，ADE和BCF都是边长为2的等边三角形，所以四边形PMNQ是边长为2的正方形，EG.所以这个几何体的体积为VV
7、EAQPDVEPQFMNVFNBCM2VEAQPDVEPQFMN122222，故选C.考点二与球有关的切、接问题学生用书P48典型例题命题角度1外接球 (2020贵阳市适应性考试)已知A，B，C，D四点在球O的表面上，且ABBC2，AC2，若四面体ABCD 的体积的最大值为，则球O的表面积为()A7B9C10D12【解析】根据题意有AB2BC2AC2，所以ABC在以AC为直径的截面圆内，如图，SABC222.当平面DAC平面ABC时，所得四面体体积最大，此时，设高为h，则VDABCSABCh2h，解得h2，设O1为AC的中点，则OO1平面ABC，在RtOO1C中，根据OOO1C2OC2，得(2
8、R)2()2R2(R为球O的半径)，解得R，所以球O的表面积S4R29.【答案】B解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置 命题角度2内切球 (2020高考全国卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_【解析】易知半径最大的球即为该圆锥的内切球圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sinBPE，所以OP3R，所以PE4R2， 所以R，所以内切球的体积VR3
9、，即该圆锥内半径最大的球的体积为.【答案】求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径 对点训练1(2020福州市适应性考试)设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，ABAC2，BAC90，AA13且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()A24B18C26 D16解析：选C.依题意得三棱柱ABCA1B1C1的外接球即底面为正方形(边长为2)、高为3的长方体的外接球，故该球的直径为长方体的体对角线，设该球的半径为R，则有(2R)22222(3)226，故该球的表面积为4R226，故选C.
10、2(一题多解)在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，PD底面ABCD，且PD2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为_解析：通解：由题意知，球内切于四棱锥PABCD时半径最大，设该四棱锥的内切球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，OP，则VPABCDVOABCDVOPADVOPABVOPBCVOPCD，即2a2a2ar，解得r(2)a.优解：易知当球内切于四棱锥PABCD，即与四棱锥PABCD各个面均相切时，球的半径最大，作出相切时的侧视图如图所示，设四棱锥PABCD内切球的半径为r，则2a2a(2a2a2a)r，解得r(2)a.答案：(2)a学生
11、用书(单独成册)P132一、单项选择题1.如图所示的直观图中，OAOB2，则其平面图形的面积是() A4B4C2 D8解析：选A.由斜二测画法可知原图为两条直角边长分别为2和4的直角三角形，如图所示，所以其面积S244，故选A.2已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A. BC16 D32解析：选B.设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2(3R)2()2，解得R2，所以所求球的体积VR323，故选B.3.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且
12、三棱锥A1AEF的体积为2，则四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为() A12 B8C20 D18解析：选A.设点F到平面ABB1A1的距离为h，由题意得VA1AEFVFA1AE，又VFA1AESA1AEhh(AA1AB)hS四边形ABB1A1hVABCDA1B1C1D1，所以VABCDA1B1C1D16VA1AEF6212.所以四棱柱ABCDA1B1C1D1 的体积为12.故选A.4(2020全国统一考试模拟卷)已知在三棱锥SABC中，SABABC，SB4，SC2，AB2，BC6，则三棱锥SABC的体积是()A4 B6C4 D6解析：选C.由ABC，AB2，BC6，得AC2.由SAB，AB
13、2，SB4，得SA2，则SA2AC2SC2，得SAAC.又SAAB，所以SA平面ABC.所以三棱锥SABC的体积为SABCSA2624.5中国古代数学名著九章算术中记载：“今有羡除”刘徽注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10，EF到平面ABCD 的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是()A110 B116C118 D120解析：选D.如图，过点A作APCD，AMEF，过点B作BQCD，BNEF，垂足分别为P，M，Q，N，连接PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个
14、直三棱柱，直三棱柱的底面积为10315，高为8，体积V158120.6.如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥的高之差的绝对值为() A. BC. DR解析：选D.设球的球心为O，半径为R，体积为V，上面圆锥的高为h(hR)，体积为V2，两个圆锥共用的底面的圆心为O1，半径为r.由球和圆锥的对称性可知hH2R，|OO1|HR.因为V1V2V，所以r2hr2HR3，所以r2(hH)R3.因为hH2R，所以rR.因为OO1垂直于圆锥的底面，所以OO1垂直于底面的半径，由勾股定理可知R2r2|OO1|2，所以R2r2(HR)2，所以HR(HR舍去)
15、，所以hR，则这两个圆锥的高之差的绝对值为R，故选D.7.如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为() A. BC. D解析：选C.正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的，所以所有弧长之和为3.故选C.8.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体体积的最大值为() A. BC81 D128解析：选B.小圆柱的高分为上下两部分，上部分的高同大圆
16、柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内设小圆柱下部分的高为h(0h5)，底面半径为r(0r5)由于r，h和球的半径构成直角三角形，即r2h252，所以小圆柱体积Vr2(h5)(25h2)(h5)(0h5)，求导得V(3h5)(h5)当0h0，体积V单调递增；当h5时，V0，体积V单调递减所以当h时，小圆柱的体积取得最大值，即Vmax，故选B.二、多项选择题9下列说法中正确的是()A用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面B圆台的任意两条母线延长后一定交于一点C有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫作棱锥D若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥解析：选ABD.在A
17、中，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故A正确；在B中，由圆台的概念知圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，故B正确；在C中，依照棱锥的定义，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故C错误；在D中，若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，故D正确10(2020山东潍坊期末)已知等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可能为()A. B(1)C2 D(2)解析：选AB.如果是绕直角边旋转一周，那么形成圆锥，所以圆锥底面半径为1，高为1，母线长是直角三角形的斜边长，为，所以
18、所形成的几何体的表面积Srlr2112(1).如果是绕斜边旋转一周，那么形成的是上、下两个圆锥，所以圆锥的半径是直角三角形斜边上的高，为，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，长为1，所以形成的几何体的表面积S2rl21.综上可知，形成的几何体的表面积为(1)或.故选AB.11已知四面体ABCD是球O的内接四面体，且AB是球O的一条直径，AD2，BD3，则下列结论正确的是()A球O的表面积为13BAC上存在一点M，使得ADBMC若N为CD的中点，则ONCDD四面体ABCD体积的最大值为解析：选ACD.因为AB是球O的一条直径，所以ACBC，ADBD，所以AB，球O的半径为AB，球O的表面积为4
19、13，A正确；因为AD与平面ABC相交，所以AC上找不到一点M，使得ADBM，B错误；连接OC，OD，因为OCOD，所以OCD为等腰三角形又N为CD的中点，所以ONCD.C正确；易知点C到平面ABD的距离的最大值为球的半径R，所以四面体ABCD体积的最大值为SABDR23，D正确12(2020山东临沂实验中学期末)已知四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD平面ABCD，BC2，CDPCPD2.若点M为PC的中点，则下列说法正确的是()ABM平面PCDBPA平面MBDC四棱锥MABCD外接球的体积为36D四棱锥MABCD的体积为6解析：选BC.如图，连接AC，BD交于点O，取CD的中点
20、N，连接PN，MN，NO，MO，因为侧面PCD平面ABCD，侧面PCD平面ABCDCD，BCCD，所以BC平面PCD.连接BM，MD，若BM平面PCD，则BMBC.显然与已知BM与BC相交矛盾，所以A错误因为点M为PC的中点，点O为AC的中点，所以OMPA.又PA平面MBD，MO平面MBD，所以PA平面MBD，所以B正确因为点M为PC的中点，所以四棱锥MABCD的体积是四棱锥PABCD的体积的一半由题意可得，PN平面ABCD，PN3，所以VMABCDVPABCDPNS四边形ABCD32212，所以D错误因为点O，N分别为AC，CD的中点，所以ONBC.又BC平面PCD，所以ON平面PCD，所以
21、ONNM.在矩形ABCD中，易得AC6，所以OC3，ON.在PCD中，NMPD，所以在RtOMN中，MO3.所以OMOAOBOCOD，所以点O为四棱锥MABCD外接球的球心，外接球的半径为3，所以其体积V3336，所以C正确故选BC.三、填空题13如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点若AA14，AB2，则四棱锥BACC1D的体积为_解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BOAC，所以BO平面ACC1D.因为AB2，所以BO.因为D为棱AA1的中点，AA14，所以AD2，所以S梯形ACC1D(24)26，所以四棱锥BACC1D的体积为62.答案：214(一题多解)(202
22、0高考浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_解析：方法一：设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2，所以l2 2，解得l2，所以该半圆的弧长为2.设该圆锥的底面半径为R，则2R2，解得R1.方法二：设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2R.因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，则r 2R，即r2R，所以侧面展开图的面积为2R2R2R22，解得R1.答案：115(2019高考全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么
23、P到平面ABC的距离为_解析：如图，过点P分别作PEBC交BC于点E，作PFAC交AC于点F.由题意知PEPF.过P作PH平面ABC于点H，连接HE，HF，HC，易知HEHF，则点H在ACB的平分线上，又ACB90，故CEH为等腰直角三角形在RtPCE中，PC2，PE，则CE1，故CH，在RtPCH中，可得PH，即点P到平面ABC的距离为.答案：16(2020西安五校联考)如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为_；若该六面体内有一个小球，则小球的最大体积为_解析：(1)由题意，知该六面体的每个面均是边长为1的正三角形，所以该六面体的表面积为126.(2)将棱长为1的正四面体PQRS补成一个正方体，如图，则正方体的棱长为，所以正四面体PQRS的体积VPQRS4，所以本题中的六面体的体积V2.当小球与六面体的六个面均相切时，小球的体积最大，设此时小球的半径为r.小球的体积最大时，小球的球心与5个顶点的连线将该六面体分为六个全等的三棱锥，则六个三棱锥的体积和等于该六面体的体积，即有r6，解得r，故小球的最大体积为r3.答案：
