1、课时作业(四十五)直线、平面垂直的判定与性质基础过关组一、单项选择题1设，为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析依题意，由l，l可以推出；反过来，由，l，不能推出l。因此“l”是“”成立的充分不必要条件。故选A。答案A2设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A若a，b，则ab B若a，ab，则bC若a，ab，则b D若a，ab，则b解析若a，b，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a，ab，则b或b，故C错误；若a，ab，则b或b或b与相交，故D错误。故选B。答案B3(2021湖
2、北襄阳模拟)设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平面与平面垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面平行D与直线m平行的平面不可能与平面垂直解析对于A，在平面内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；对于B，只要m且与不垂直，过直线m必有并且也只有一个平面与平面垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面，C错误；对于D，与直线m平行且与平面垂直的平面有无数个，D错误。故选B。答案B4如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么顶点D在平面ABC内的射影H必
3、在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析由ABAC，BDAC，又ABBDB，则AC平面ABD，而AC平面ABC，则平面ABC平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上。故选A。答案A5在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()解析如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A，B，C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线B
4、D1与平面EFG不垂直，满足题意。故选D。答案D二、多项选择题6如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点。现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是()AAG平面EFH BAH平面EFHCHF平面AEH DHG平面AEF解析由题意可得，AHHE，AHHF。所以AH平面EFH，而AG与平面EFH不垂直。所以B正确，A错误。又HFHE，所以HF平面AHE，C正确。HG与AG不垂直，因此HG平面AEF错误，D错误。故选BC。答案BC7(2021八省联考)下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中()AA
5、ECD BCHBECDGBH DBGDE解析由正方体的平面展开图还原正方体如图。由图形可知，AECD，故A项错误；由HEBC，HEBC，得四边形BCHE为平行四边形，所以CHBE，故B项正确；因为DGHC，DGBC，HCBCC，所以DG平面BHC，所以DGBH，故C项正确；因为BGAH，而DEAH，所以BGDE，故D项正确。故选BCD。答案BCD三、填空题8如图，已知BAC90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_。解析因为PC平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC。因为ABAC，ABPC，ACPCC，所以AB平面PAC，又因为
6、AP平面PAC，所以ABAP，与AP垂直的直线是AB。答案AB，BC，ACAB9如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_。解析连接A1C1，则AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角。因为ABBC2，所以A1C1AC2，又AA11，所以AC13，所以sinAC1A1。答案10.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上。点P到直线CC1的距离的最小值为_。解析点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P，显然点P到直线
7、CC1的距离的最小值为PC的长度的最小值。当PCDE时，PC的长度最小，此时PC。答案11.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)。连接AC，则ACBD，因为PA底面，所以PABD。又PAACA，所以BD平面PAC，所以BDPC。所以当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD。而PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD。答案DMPC(或BMPC)四、解答题12.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中
8、点。证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE。证明(1)在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD。又因为ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，所以CD平面PAC。而AE平面PAC，所以CDAE。(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA，因为E是PC的中点，所以AEPC。由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，所以AE平面PCD，而PD平面PCD，所以AEPD，因为PA底面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB。又因为ABAD，且PAADA，PA，AD平面PAD，所以AB平面PAD，而PD平面PAD，所以ABPD。又因为ABAEA
9、，AB，AE平面ABE，所以PD平面ABE。13如图，在平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PAAB，CDAB，且PACD2AB4。将此平面四边形ABCP沿CD折起，且平面PDC平面DCB，连接PA，PB，BD。 (1)证明：平面PBD平面PBC；(2)求点D到平面PBC的距离。解(1)证明：如图，因为PDDC，ADDC，所以二面角PDCA的平面角为PDA90，则PD平面ABCD，又BC平面ABCD，所以PDBC。又在平面四边形ABCD中，BD2，过B作BECD，由题意得，E为CD的中点，又D为PA的中点，所以PDADCEDE2，又DEAB，所以BEAD2，BC2，所以BC2BD2DC2，即
10、BDBC，而PDBDD，BD平面PBD，PD平面PBD，故BC平面PBD，因为BC平面PBC，所以平面PBD平面PBC。(2)由(1)知BC平面PBD，PB2，BCPB。设点D到平面PBC的距离为h，则有VPBDC222，VDBPC22h，因为VPBDCVDBPC，所以h，即点D到平面PBC的距离为。素养提升组14(2021北京房山区期末)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面BCC1B1上运动，若APD1M，则动点P的轨迹为()A两个点 B线段C圆的一部分 D抛物线的一部分解析如图，取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，AF，DM。在正方体ABCD
11、A1B1C1D1中，易证DMAF，DD1AF，则有AF平面DMD1，AFMD1，同理MD1AE，则MD1平面AEF。又点P在侧面BCC1B1上运动，故点P的轨迹为线段EF。故选B。答案B15.(多选)如图，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论正确的是()A三棱锥AD1PC的体积不变BA1P平面ACD1CDPBC1D平面PDB1平面ACD1解析对于A，由题意知AD1BC1，从而BC1平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，AD1C为底面的三棱锥PAD1C的体积不变，则三棱锥AD1PC的体积不变，故A正确；对于B，连接A1B
12、，A1C1(图略)，则A1C1AC，由A知AD1BC1，所以平面BA1C1平面ACD1，从而由面面平行的性质可得A1P平面ACD1，故B正确；对于C，由于DC平面BCC1B1，所以DCBC1，若DPBC1，则BC1平面DCP，BC1PC，则P为BC1的中点，与P为动点矛盾，故C错误；对于D，由DB1AC且DB1AD1，可得DB1平面ACD1，从而由面面垂直的判定知平面PDB1平面ACD1，故D正确。故选ABD。答案ABD16.(2021辽宁葫芦岛一模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，ABBC，AA1ABBC2。(1)求证：BC1平面A1B1C；(2)求异面直线B1C与A1
13、B所成角的大小；(3)点M在线段B1C上，且(0,1)，点N在线段A1B上，若MN平面A1ACC1，求的值(用含的代数式表示)。解(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因为BB1平面ABC，所以BB1平面A1B1C1，所以BB1A1B1，又因为ABBC，所以A1B1B1C1，BB1B1C1B1，所以A1B1平面B1BCC1。因为BC1平面B1BCC1，所以A1B1BC1，又在正方形B1BCC1中，B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1C。(2)如图，建立空间直角坐标系Bxyz，由题意得B(0,0,0)，C(2，0,0)，A1(0,2,2)，B1(0，0,2)，所以(2,0，2)，(0，2，2)，所以cos，故异面直线B1C与A1B所成角的大小为。(3)易知平面A1ACC1的一个法向量为n(1,1,0)，由，得M(2，0,22)，设，得N(0,22，22)，则(2，22，22)，因为MN平面A1ACC1，所以n0，即(2，22，22)(1,1,0)0，解得1，所以1。
