1、高频 考点 小题组 合练(六)一、单 项 选 择 题(本 大 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的)1 已 知(x2 a)1 1x26的 展 开 式 中 所 有 项 的 系 数 和 为 1 9 2，则 展 开 式 中 的 常 数 项 为()A 4 B 8C 6 D 1 0解 析：B 令 x 1，则(1 a)26 1 9 2，解 得 a 2.因 为1 1x26的 展 开 式 的 通 项 T r 1 Cr61x2r Cr6 x2 r，所 以(x2 2)1 1x26的 展 开 式 中 的
2、 常 数 项 为 x2C16 x2 2 C06 C16 2 C06 8.故选 B 2“跺 积 术”是 由 北 宋 科 学 家 沈 括 在 梦 溪 笔 谈 中 首 创，南 宋 数 学 家 杨 辉、元 代 数 学家 朱 世 杰 丰 富 和 发 展 的 一 类 数 列 求 和 方 法，有 茭 草 垛、方 垛、三 角 垛 等 现 有 1 0 0 根 相 同 的圆 柱 形 铅 笔，某 同 学 要 将 它 们 堆 放 成 横 截 面 为 正 三 角 形 的 垛，要 求 第 一 层 为 1 根，且 从 第 二层 起 每 一 层 比 上 一 层 多 1 根，并 使 得 剩 余 的 圆 柱 形 铅 笔 根 数
3、最 少，则 剩 余 的 铅 笔 的 根 数 是()A 9 B 1 0C 1 2 D 1 3解 析：A 设 只 能 堆 放 n 层，则 从 最 上 层 往 下，每 层 铅 笔 数 组 成 以 首 项 为 1、公 差 为 1的 等 差 数 列，且 余 下 的 铅 笔 数 小 于 n 1，于 是n（n 1）2 1 0 0，且 1 0 0 n（n 1）2 n 1，解 得 n 1 3，剩 余 的 根 数 为 1 0 0 1 3 1 42 9.故 选 A 3 若 两 个 正 实 数 x，y 满 足1x4y 1，且 不 等 式 x y4 m2 3 m 有 解，则 实 数 m 的 取 值 范围 为()A(1，
4、4)B(，1)(4，)C(4，1)D(，0)(3，)解 析：B 正 实 数 x，y 满 足1x4y 1，则 x y41x4yx y4 2 4 xyy4 x 2 24 xyy4 x 4，当 且 仅 当 y 4 x 8，x y4取 得 最 小 值 4，由 x y4 4，解 得 m 4 或 m 1.故 选 B 4(2 0 2 1 本 溪 高 级 中 学 高 三 模 拟)函 数 f(x)e|x|12s i n 2 x 的 部 分 图 象 大 致 是()解 析：A 因 为 f(x)e|x|12s i n(2 x)e|x|12s i n 2 x f(x)，所 以 函 数 f(x)是奇 函 数，故 排 除
5、D 选 项；又 f2 e|4|12s i n2 2 0，故 排 除 B 选 项；又 f4 e|4|12s i n2 4 e|4|12 1，故 排 除 C 选 项，所 以 A 符 合 条 件 故 选 A 5 已 知 抛 物 线 C：y2 2 p x(p 0)的 焦 点 为 F，点 A，B 为 抛 物 线 上 的 两 个 动 点，且 A F B 6 0，过 弦 A B 的 中 点 M 作 抛 物 线 准 线 的 垂 线 M N，垂 足 为 N，则|A B|M N|的 最 小 值 为()A 33B 12C 2 D 1解 析：D 如 图，过 A，B 作 准 线 的 垂 线，垂 足 分 别 为 C，D，
6、设|A F|m，|B F|n，则|A C|m，|B D|n，M 是 A B 中 点，且 A C，M N，B D 都 与 准 线 l 垂 直，则 它 们 平 行，因 此|M N|12(|A C|B D|)m n2，|A B|m2 n2 2 m n c o s 6 0 m2 n2 m n（m n）2 3 m n（m n）2 3 m n22m n2，当 且 仅 当 m n 时 等 号 成 立，所以|A B|M N|12（m n）12（m n）1，即|A B|M N|的 最 小 值 为 1.故 选 D 6 冰 雹 猜 想 又 称 考 拉 兹 猜 想、角 谷 猜 想、3 x 1 猜 想 等，其 描 述
7、为：任 一 正 整 数 x，如果 是 奇 数 就 乘 以 3 再 加 1，如 果 是 偶 数 就 除 以 2，反 复 计 算，最 终 都 将 会 得 到 数 字 1.如 给 出正 整 数 5，则 进 行 这 种 反 复 运 算 的 过 程 为 5 1 6 8 4 2 1，即 按 照 这 种 运 算 规 律 进 行 5次 运 算 后 得 到 1.若 从 正 整 数 6，7，8，9 中 任 取 2 个 数 按 照 上 述 运 算 规 律 进 行 运 算，则 至 少有 1 个 数 的 运 算 次 数 为 奇 数 的 概 率 为()A 16B 14C 12D 56解 析：D 正 整 数 6 的 运 算
8、 过 程 为 6 3 1 0 5 1 6 8 4 2 1，运 算 次 数 为 8；正整 数 7 的 部 分 运 算 过 程 为 7 2 2 1 1 3 4 1 7 5 2 2 6 1 3 4 0 2 0 1 0，至 此 运 算 次 数 为1 0，结 合 正 整 数 6 的 运 算 过 程 知，正 整 数 7 总 的 运 算 次 数 为 1 0 6 1 6；正 整 数 8 的 运 算 次数 为 3；正 整 数 9 的 部 分 运 算 过 程 为 9 2 8 1 4 7，至 此 运 算 次 数 为 3，结 合 正 整 数 7 的 运算 过 程 知，正 整 数 9 总 的 运 算 次 数 为 3 1
9、 6 1 9.6，7，8，9 的 运 算 次 数 分 别 为 偶 数、偶数、奇 数、奇 数，从 6，7，8，9 中 任 取 2 个 数，所 有 的 情 况 有 C24 6 种，其 中 至 少 有 1 个数 的 运 算 次 数 为 奇 数 的 情 况 有 C12 C12 C22 5 种，故 所 求 概 率 P 56.故 选 D 7(2 0 2 1 天 津 耀 华 中 学 模 拟)已 知 函 数 f(x)是 R 上 的 奇 函 数，且 满 足 f(x 1)f(x 1)，当 x(0，1 时，f(x)l n x，则 下 列 关 于 函 数 f(x)叙 述 正 确 的 是()A 函 数 f(x)的 最
10、小 正 周 期 为 1B 函 数 f(x)在(0，2 0 2 1)内 单 调 递 增C 函 数 f(x)相 邻 两 个 对 称 中 心 的 距 离 为 2D 函 数 y f(x)l n x 在 区 间(0，2 0 2 1)内 有 1 0 1 1 个 零 点解 析：D 由 f(x 1)f(x 1)得，f(x 2)f(x)，f(x)最 小 正 周 期 为 2，A 错 误；当 x(0，1 时，f(x)l n x，又 f(x)为 R 上 的 奇 函 数，则 f(0)0，可 得 f(x)大 致 图 象 如 图 所 示，由 图 象 可 知，f(x)在(0，2 0 2 1)上 没 有 单 调 性，B 错 误
11、；f(x)的 对 称 中 心 为(k，0)(k Z)，则 相 邻 的 对 称 中 心 之 间 距 离 为 1，C 错 误；y f(x)l n x 在 区 间(0，2 0 2 1)内 的 零 点 个 数 等 价于 f(x)与 y l n x 在(0，2 0 2 1)内 的 交 点 个 数，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 f(x)与 y l n x 的大 致 图 象 如 图 所 示，由 图 象 可 知，f(x)与 y l n x 在 每 个(2 k，2 k 2)(k Z)内 都 有 1 个 交 点，且 在 区 间 内 的交 点 横 坐 标 等 于 或 小 于 2 k 1，两 个 函 数
12、 在(0，2 0 2 1)内 有 1 0 1 1 个 交 点，即 y f(x)l n x在 区 间(0，2 0 2 1)内 有 1 0 1 1 个 零 点，D 正 确 故 选 D 8 过 点 P(1，0)的 直 线 与 圆 E：(x 3)2 y2 4 相 切 于 M，N 两 点，且 这 两 点 恰 好 在椭 圆 C：x2a2y2b2 1(a b 0)上，设 椭 圆 的 右 顶 点 为 A，若 四 边 形 P M A N 为 平 行 四 边 形，则 椭圆 的 离 心 率 为()A 2 17B 22C 35D 4 27解 析：D 如 图 所 示，设 切 线 方 程 为 l：y k(x 1)，所 以
13、 圆 心 到 直 线 的 距 离 d|4 k|k2 1 2，所 以 k 33，所 以 l P M：y 33(x 1)，l P N：y 33(x 1)，联 立y 33（x 1），（x 3）2 y2 4得x 2，y 3，所 以 M(2，3)，所 以 N(2，3)，又 因为 四 边 形 P M A N 为 平 行 四 边 形，且 P M P N，所 以 四 边 形 P M A N 为 菱 形，因 为 P(1，0)，M N 中 点 为(2，0)，所 以 A(5，0)，所 以a2 2 5，42 53b2 1，所 以 b22 57，所 以 e2 1 b2a267，所 以e 4 27.故 选 D 二、多 项
14、 选 择 题(本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有多 个 选 项 符 合 题 目 要 求 全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分)9 已 知 a b 0，且1a1b，则 下 列 不 等 式 一 定 成 立 的 有()A a b B ab 2 D 2a a 2b b解 析：A C 因 为 a b 0，且1a1b，所 以 a，b 同 号，且 a b，故 A 正 确；因 为 a b，则 当a b b2，同 时 除 以 a b，因 为 a b 0，所 以 有a2a bb2a b，即
15、abba，故 B 错 误；因 为 a b 0，所 以 a，b 同 号，所 以ab 0，ba 0，所 以abba 2，又 a 2，故C 正 确；因 为 函 数 y 2x x 是 单 调 增 函 数，且 a b，所 以 2a a 0，0，(0，2)的 图 象 如 图，则()A 2B 3C A 2D x 5 6时，f(x)取 最 小 值解 析：A B 对 于 A 选 项，由 图 可 知T236 2 T，所 以 2 2，故A 正 确；对 于 B 选 项，由 A 选 项 知 2，由 于 函 数 图 象 过 点3，0，所 以 0 A s i n2 3，所 以 2 3 2 k，k Z，解 得 3 2 k，k
16、 Z，由 于(0，2)，所 以 3，故 B 选 项 正 确；对 于 C 选 项，由 于 函 数 图 象 过 点(0，1)，故 f(0)A s i n3 1 A 23，故 C 选 项 错 误；对 于 D 选 项，由 于 f(x)23s i n2 x 3，所 以 x 5 6时，2 x 3 2，f(x)不 取 最 小 值，故 D 选 项 错 误 故 选 A、B 1 1 如 图 是 函 数 y f(x)的 导 函 数 的 图 象，下 列 结 论 中 正 确 的 是()A f(x)在 2，1 上 是 增 函 数B 当 x 3 时，f(x)取 得 最 小 值C 当 x 1 时，f(x)取 得 极 小 值D
17、 f(x)在 1，2 上 是 增 函 数，在 2，4 上 是 减 函 数解 析：C D 根 据 图 象 知 当 x(2，1)，x(2，4)时，f(x)0，函 数 单 调 递 增，故 A 错 误，D 正 确；当 x 1 时，f(x)取 得 极 小 值，C 正 确；当 x 3 时，f(x)不 是 最 小 值，B 错 误 故选 C、D 1 2.如 图，在 正 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，A A 1 3，点 M，N 分别 在 棱 A B 和 B B 1 上 运 动(不 含 端 点)，若 D 1 M M N，下 列 命 题 正确 的 是()A M N A 1 MB M N
18、 平 面 D 1 M CC 线 段 B N 长 度 的 最 大 值 为34D 三 棱 锥 C 1 A 1 D 1 M 体 积 不 变解 析：A C D 在 正 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，以 点 D 为 原 点，射 线 D A，D C，D D 1 分 别 为 x 轴，y 轴，z 轴 非 负 半 轴 建 立 空 间 直角 坐 标 系，如 图 A 1(3，0，3)，D 1(0，0，3)，C(0，3，0)，B(3，3，0)，设M(3，y，0)，N(3，3，z)，y，z(0，3)，D 1 M(3，y，3)，M N(0，3 y，z)，而 D 1 M M N，则 D 1 M
19、 M N y(3 y)3 z 0 z 13y(3 y)，对 于 A 选 项，A 1 M(0，y，3)，则 A 1 M M N y(3 y)3 z 0 A 1 M M N，M N A 1 M，A 正 确；对 于 B 选 项，C M(3，y 3，0)，C M M N(y 3)(3 y)(3 y)2 0，即 C M 与M N 不 垂 直，从 而 M N 与 平 面 D 1 M C 不 垂 直，B 不 正 确；对 于 C 选 项，B N(0，0，z)，则 线 段 B N 长 度|B N|z 13y 3229434，当 且 仅当 y 32时 取“”，C 正 确；对 于 D 选 项，不 论 点 M 如 何
20、 移 动，点 M 到 平 面 A 1 D 1 C 1 的 距 离 均 为 3，而 V C 1 A 1 D 1 M V M A 1 D 1 C 1 13 3 S A 1 D 1 C 1 92，三 棱 锥 C 1 A 1 D 1 M 体 积 为 定 值，D 正 确 故 选 A、C、D 三、填 空 题(本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分，把 答 案 填 在 题中 横 线 上)1 3.如 图 是 5 号 篮 球 在 太 阳 光 照 射 下 的 影 子，已 知 篮 球 的 直 径 为 2 2 c m，现 太 阳 光 与 地 面 的 夹 角 为 6 0，则 此 椭 圆 形 影
21、子 的 离 心 率 为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 解 析：由 图 可 得，椭 圆 的 短 轴 长 2 b 2 2 b 1 1，长 轴 长 2 a 2 2s i n 6 0 2 232 a 2 23，e ca2 232 1 122 23 1 3412.答 案：121 4(2 0 2 1 衡 水 中 学 模 拟)某 种 冰 淇 淋 是 用 球 形 塑 料 壳 包 装 的，有 8 0 g 装 和 2 0 0 g 装 的 两种 规 格，假 设 冰 淇 淋 售 价(冰 淇 淋 成 本 包 装 成 本)(1 利 润 率)，并 且 包 装 成 本 与 球 形 外壳 表 面 积 成 正 比
22、 已 知 8 0 g 装 冰 淇 淋 售 价 是 1.5 0 元，其 中 冰 淇 淋 成 本 为 每 g 1 分，利 润 率为 2 5%，则 在 利 润 率 不 变 的 情 况 下，2 0 0 g 装 冰 淇 淋 售 价 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 元(参 考 数 据：35 0 3.6 8)解 析：设 8 0 g 装 冰 淇 淋 的 包 装 成 本 为 t 元，则(0.8 t)1.2 5 1.5，t 0.4，设 8 0 g 装 和2 0 0 g 装 的 两 种 冰 淇 淋 的 半 径 分 别 为 R 1，R 2，比 重 为，则43 R31 8 0，43 R32 2 0 0，所以
23、R31R3282 0，即R 1R 2232 0，设 2 0 0 g 装 冰 淇 淋 的 包 装 成 本 为 s 元，0.4s4 R214 R22432 02，解 得 s 0.7 3 6，所 以 2 0 0 g 装 冰 淇 淋 的 售 价 为(2 0.7 3 6)1.2 5 3.4 2.答 案：3.4 21 5 已 知 圆 C 1：(x 1)2 y2 1 与 圆 C 2 交 于 A，B 两 点，若 直 线 A B 过 原 点 且 与 直 线 l：3 x y 2 0 相 互 垂 直，圆 心 C 2 的 坐 标 为(0，m)，则 直 线 A B 的 斜 率 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
24、，圆 C 2的 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 解 析：依 题 意 得 直 线 A B 的 斜 率 为33，因 为 两 圆 圆 心 的 连 线 与 公 共 弦 垂 直，所 以m 00 1 3，解 得 m 3，即 C 2(0，3)又 因 为 直 线 A B 过 原 点，且 圆 C 1：(x 1)2 y2 1 也 过原 点，所 以 原 点 是 一 个 交 点，所 以 圆 C 2 也 过 原 点，所 以 圆 C 2 的 半 径 为 3，故 圆 C 2 的 方 程为 x2(y 3)2 3.答 案：33x2(y 3)2 31 6 我 们 把 F n 2 2n 1(n 0，1，2，
25、)叫“费 马 数”(费 马 是 十 七 世 纪 法 国 数 学 家)，设 a n l o g 2(F n 1)(n 1，2，3)，S n 表 示 数 列 a n 的 前 n 项 之 和，则 使 不 等 式22S 1 S 223S 2 S 3 2n1S n S n 16 31 2 7成 立 的 最 大 正 整 数 n 的 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ 解 析：由 题 意 得，a n l o g 2(F n 1)l o g 2 2 2n 2n，所 以 S n 2（1 2n）1 2 2n1 2，则2n1S n S n 12n1（2n1 2）（2n2 2）12n1 212n2 2，所 以22S 1 S 223S 2 S 3 2n1S n S n 112161611 4 12n1 212n2 21212n2 2，由1212n2 212 1 2 7，解 得 n 6，所 以 最 大 正 整 数 n 的 值 为 5.答 案：5
