1、专题突破练11专题二函数与导数过关检测一、单项选择题1.(2020广东江门4月模拟,理2)若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=3,则f12的值为()A.-3B.-13C.3D.132.(2019全国,理5)函数f(x)=sinx+xcosx+x2在-,的图像大致为()3.(2020山东青岛二模,4)已知函数f(x)=sinx,x0,log2(a+x),x0,且ff-76=1,则a=()A.32B.2C.3D.ln 24.(2020山西太原二模,理8)设奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x0的解集是()A.(-1,0)(1,+)B.(-
2、1,0)(0,1)C.(-,-1)(1,+)D.(-,-1)(0,1)5.(2020山东青岛二模,7)已知非零实数a,x,y满足loga2+1xloga2+1y0,则下列关系式恒成立的是()A.1x2+1yx+xyC.1|a|+1xxy6.(2020山东潍坊一模,7)定义在R上的偶函数f(x)=2|x-m|-1,记a=f(-ln 3),b=f(-log25),c=f(2m),则()A.abcB.acbC.cabD.cb0,则函数y=f(f(x)的零点所在区间为()A.3,72B.(-1,0)C.72,4D.(4,5)二、多项选择题9.(2020山东烟台模拟,9)下列函数中,既是偶函数,又在(0
3、,+)上单调递增的是()A.y=ln(1+9x2-3x)B.y=ex+e-xC.y=x2+1D.y=cos x+310.(2020山东潍坊一模,11)已知函数f(x)对xR,满足f(x)=-f(6-x),f(x+1)=f(-x+1),若f(a)=-f(2 020),a5,9且f(x)在5,9上为单调函数,则下列结论正确的是()A.f(3)=0B.a=8C.f(x)是周期为4的周期函数D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称11.下列四个命题中,不正确的是()A.函数f(x)在(0,+)上单调递增,在(-,0上单调递增,则f(x)在R上是增函数B.若函数f(x)=ax2+bx+2与x轴没有交点
4、,则b2-8a0C.当abc时,则有abac成立D.y=1+x和y=(1+x)2表示同一个函数12.(2020山东烟台一模,12)关于函数f(x)=ex+asin x,x(-,+),下列说法正确的是()A.当a=1时,f(x)在(0,f(0)处的切线方程为2x-y+1=0B.当a=1时,f(x)存在唯一极小值点x0且-1f(x0)0,f(x)在(-,+)上均存在零点D.存在a0时,f(x)=lnxx,则曲线y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程是.15.(2020广东茂名一模,理15)点P为曲线y=2x2+ln(4x+1)x-14图象上的一个动点,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则当取最小值时
5、x的值为.16.(2020山西太原三模,文16)对任意正整数n,函数f(n)=2n3-7n2cos n-n-1,若f(2)0,则的取值范围是;若不等式f(n)0恒成立,则的最大值为.四、解答题17.(2020河南郑州质量预测二,理21)已知函数f(x)=lnxa,g(x)=x+1x(x0).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)g(x)在x=1处的切线方程;(2)讨论函数F(x)=f(x)-1g(x)在(0,+)上的单调性.18.已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设ax2+m对任意x(0,+)恒成立,求实数m的取值范围;(3)若对任意实数a,
6、函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+)上总有零点,求实数b的取值范围.20.(2019山东济宁二模,理21)已知函数f(x)=x-a(ln x)2,aR.(1)当a=1,x1时,试比较f(x)与1的大小,并说明理由;(2)若f(x)有极大值,求实数a的取值范围;(3)若f(x)在x=x0处有极大值,证明1f(x0)e2.21.(2020山西太原二模,理21)已知函数f(x)=ln x+ax+1.(1)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围;(2)f(x)xex恒成立,求a的取值范围.22.(2020浙江,22)已知11,f()=-1+20,排除B,C.故选D.3.A解析 因f-76=s
7、in-76=-sin+6=sin6=12,所以ff-76=f12=log2a+12=1,所以a+12=2,a=32.4.B解析 f(x)为奇函数,f(1)=0,f(1)=-f(-1)=0,即f(-1)=0.f(x)-f(-x)x=2f(x)x0,f(x)0,或x0,根据在(-,0)和(0,+)内都是增函数,解得x(-1,0)(0,1).5.D解析 因为a2+11且loga2+1xloga2+1y0,所以0xy1,令x=14,y=12,将x=14,y=12代入选项,得A,B,C不成立,D成立,故选D.6.C解析 根据题意,定义在R上的偶函数f(x)=2|x-m|-1,则有f(-x)=f(x),即
8、2|x-m|-1=2|-x-m|-1,可得m=0,则f(x)=2|x|-1=2x-1,x0,2-x-1,x0,则f(x)在(0,+)上为增函数,a=f(-ln3)=f(ln3),b=f(log25),c=f(20)=f(1),又由01ln32log25,则有cab,故选C.7.C解析 由题意知,当x112,3时,由f(x)=x+4x2x4x=4,当且仅当x=4x时,即x=2时等号成立,所以函数f(x)的最小值为4,当x22,3时,g(x)为单调递增函数,所以g(x)min=g(2)=a+4,由x112,3,x22,3,使得f(x1)g(x2),即f(x)在12,3的最小值不小于g(x)在2,3
9、上的最小值,即a+44,解得a0,故选C.8.A解析 当x0时,30时,f(x)为增函数,且f(3)=0,所以x=3是f(x)在R上的唯一零点.所以令f(f(x)=0,得f(x)=2x+log9x2-9=2x+log3x-9=3,因为f(3)=081.414+log33-9=3.3123,所以函数y=f(f(x)的零点所在区间为3,72.故选A.9.BC解析 由题,易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为R,对于A,f(-x)+f(x)=ln(1+9x2+3x)+ln(1+9x2-3x)=0,则f(x)为奇函数,故选项A不符合题意;对于选项B,f(-x)=e-x+ex=f(x),即f(x
10、)为偶函数,当x(0,+)时,设t=ex(t1),则y=t+1t,由对勾函数性质可得,当t(1,+)时是增函数,又t=ex单调递增,所以f(x)=ex+e-x在(0,+)上单调递增,故选项B符合题意;对于C,易知f(x)=x2+1为偶函数,由其图象知f(x)在(0,+)上单调递增,故选项C符合题意;对于D,易知y=cosx+3是偶函数,但在(0,+)不单调,故选项D不符合题意.故选BC.10.AB解析 f(x)对xR,满足f(x)=-f(6-x),f(x+1)=f(-x+1),f(x)=-f(6-x)=-f(-(x-5)+1)=-f(x-5+1)=-f(x-4),f(x-4)=-f(x),f(
11、x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x+4+4)=-f(x+4)=f(x),故f(x)的周期为T=8,故C错;f(a)=-f(2020)=-f(2528+4)=-f(4)=-f(3+1)=-f(-2)=-f(6-(-2)=f(8),又a5,9且f(x)在5,9上单调,易得a=8.故B对;f(x)=-f(6-x),f(3)=-f(6-3)=-f(3),f(3)=0,故A对.f(x+1)=f(-x+1),x=1为对称轴,故D错.故选AB.11.ABCD解析 f(x)=x,x0,lnx,x0,满足在(0,+)上单调递增,在(-,0上单调递增,但f(x)在R上不是增函数,A错;a=b=0时,f(x
12、)=2,它的图象与x轴无交点,不满足b2-8a0,B错;当abc,但c=0时,ac=bc,不等式abac不成立,C错;y=(1+x)2=|x+1|,与y=x+1的对应法则不相同,值域也不相同,不是同一函数,D错.故选ABCD.12.ABD解析 选项A,当a=1时,f(x)=ex+sinx,x(-,+),f(0)=1,f(x)=ex+cosx,k=f(0)=2,故直线方程为y-1=2(x-0),即切线方程为2x-y+1=0,选项A正确.选项B,当a=1时,f(x)=ex+cosx,f(x)=ex-sinx0恒成立,f(x)为(-,+)上的增函数,又f-34=e-34+cos-340,故f(x)存
13、在唯一极值点,不妨设x0-34,-2,则f(x0)=0,即ex0+cos x0=0.f(x0)=ex0+sin x0=sin x0-cos x0=2sinx0-4(-1,0),选项B正确.对于选项C,D,f(x)=ex+asinx,x(-,+),令f(x)=0,即ex+asinx=0.x=k,k-1且kZ显然不是零点,故xk,k-1且kZ,所以a=-exsinx,令F(x)=-exsinx,F(x)=ex(cosx-sinx)sin2x,令F(x)=0,解得x=k+4,k-1,kZ,当2k+54x2k+2,kZ,k-1时,F(x)单调递增,当2k+x2k+54,kZ,k-1时,F(x)单调递减
14、,所以当x=2k+54,kZ,k-1时,F(x)有极小值,为F2k+54=-e2k+54sin2k+54=2e2k+542e-34.当2kx2k+4,kZ,k0时,F(x)单调递增,当2k+4x0均有零点,不符合题意,选项D,存在a0,有且只有唯一零点,此时a=-2e4.故选ABD.13.-4解析 本题考查奇函数的定义和性质.y=f(x)是奇函数,f(-8)=-f(8)=-823=-4.14.x-y+1=0解析 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),当x0,所以f(x)=-f(-x)=-ln(-x)-x=ln(-x)x,所以f(x)=1-x(-1)x-ln(-x)x2=1-ln(-
15、x)x2,所以曲线y=f(x)在点(-1,0)处的切线的斜率k=f(-1)=1,所以切线方程是y-0=x+1,即x-y+1=0.15.14解析 设切点P(x0,y0)x0-14.y=4x+44x+1,x0-14,4x0+10,则tan=4x0+44x0+1=4x0+1+44x0+1-12(4x0+1)44x0+1-1=4-1=3.当且仅当4x0+1=44x0+1,即x0=14时,等号成立.即x0=14时,tan最小,取最小值.16.-,-132-132解析 由函数f(n)=2n3-7n2cosn-n-1,若f(2)0,则16-28cos2-2-10,即15-28-20,解得-132.不等式f(
16、n)0恒成立,即2n3-7n2cosn-n-10恒成立,当n为奇数时,2n3+7n2-n-10,即2n2+7n-1n恒成立,等价于2n2+7n-1nmin,设g(n)=2n2+7n-1n,g(n)=4n+7+1n20,可得g(n)在正奇数集上递增,可得g(n)的最小值为g(1)=8,可得8.当n为偶数时,2n3-7n2-n-10,即2n2-7n-1n恒成立,等价于2n2-7n-1nmin,设h(n)=2n2-7n-1n,h(n)=4n-7+1n20,可得h(n)在正偶数集上递增,可得h(n)的最小值为h(2)=-132.可得-132.由可得不等式f(n)0恒成立,可得-132,即的最大值为-1
17、32.17.解 (1)当a=1时,y=f(x)g(x)=xlnxx+1,y=(1+lnx)(x+1)-xlnx(x+1)2=lnx+x+1(x+1)2,所以y|x=1=ln1+1+1(1+1)2=12,即x=1时,切线的斜率为12,又切线过点(1,0),所以切线方程为x-2y-1=0.(2)f(x)=1ax,1g(x)=1(x+1)2,F(x)=f(x)-1g(x)=1ax-1(x+1)2=(x+1)2-axax(x+1)2,当a0时,F(x)0时,令h(x)=1ax2+2a-1x+1a,=1-4a,当0,即00时,即a4,方程1ax2+2a-1x+1a=0有两个不等实根x1,x2,设x1x2
18、,则x1=a-2-a2-4a2,x2=a-2+a2-4a2,所以0x11x2,此时,函数F(x)在(0,x1),(x2,+)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减.综上所述,当a4时,F(x)的单调递减区间是a-2-a2-4a2,a-2+a2-4a2,单调递增区间是0,a-2-a2-4a2,a-2+a2-4a2,+.当00,所以f(x)在(0,+)上单调递增;当a-1时,f(x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递减;当-1a0可得0x-a+12a,由f(x)-a+12a,所以f(x)在0,-a+12a上单调递增,在-a+12a,+上单调递减.(2)不妨设x1x2,因为a0可得x12,由h(x
19、)0可得0x12.所以h(x)在0,12上单调递减,在12,+上单调递增,所以当x=12时,h(x)有最小值h12=-2,于是a的取值范围是(-,-2.19.解 (1)由g(-1)=0,知g(x)的图象直线过点(-1,0),设切点坐标为T(x0,y0).由f(x)=ex,则切线方程是y-ex0=ex0(x-x0),此直线过点(-1,0),故0-ex0=ex0(-1-x0),解得x0=0,所以a=f(0)=1.(2)由题意得mex-x2,x(0,+)恒成立,令m(x)=ex-x2,x(0,+),则m(x)=ex-2x,再令n(x)=m(x)=ex-2x,则n(x)=ex-2,所以当x(0,ln2
20、)时,n(x)0,所以n(x)在(ln2,+)上单调递增,所以n(x)在(0,+)上有最小值n(ln2)=2-2ln20,即在(0,+)上,m(x)0.所以m(x)在(0,+)上单调递增,所以mm(0),即m1,所以实数m的取值范围为(-,1.(3)由题意,知F(x)=ex-ax-b,所以F(x)=ex-a(x0),由(2)知exx2+1在(0,+)上恒成立,所以当x0时,F(x)x2-ax+1-b.当a1,F(x)0在(0,+)上恒成立,所以F(x)在(0,+)上单调递增,且当x+时F(x)+,故F(x)的值域为(1-b,+).所以F(x)在(0,+)上有零点的充要条件为1-b1.当a1时,
21、令F(x)0,得xlna,令F(x)0得0xx2-ax+1-b,故当x+时,F(x)+,所以F(x)的值域为a-alna-b,+).故F(x)在(0,+)上有零点的充要条件为a-alna-b0.令h(a)=a-alna-b(a1),则h(a)=-lna0.故h(a)在(1,+)上单调递减,所以h(a)1时,f(x)=x-(lnx)2,x1.f(x)=1-2(lnx)1x=x-2lnxx.令g(x)=x-2lnx,x1,则g(x)=1-2x=x-2x.当x(1,2)时,g(x)0,g(x)单调递增,g(x)g(2)=2-2ln20,即f(x)0.f(x)在(1,+)上单调递增.f(x)f(1)=
22、1.故当a=1,x1时f(x)1.(2)解 f(x)=1-2alnxx=x-2alnxx(x0),令h(x)=x-2alnx(x0),则h(x)=1-2ax=x-2ax.当a=0时,f(x)=x无极大值.当a0,h(x)在(0,+)上单调递增,h(1)=10,h(e12a)=e12a-10,x1(e12a,1),使得h(x1)=0.当x(0,x1)时,f(x)0,f(x)单调递增.f(x)在x=x1处有极小值,f(x)无极大值.当a0时,h(x)在(0,2a)上单调递减,h(x)在(2a,+)上单调递增,f(x)有极大值,h(2a)=2a-2aln(2a)=2a(1-ln2a)e2.又h(1)
23、=10,h(e)=e-2a0,f(x)单调递增,当x(x0,e)时,f(x)e2.(3)证明 由(2)可知,alnx0=x02,f(x0)=x0-a(lnx0)2=x0-x0lnx02(1x0e).设p(x)=x-xlnx2(1x0.p(x)在(1,e)上单调递增,p(1)p(x)p(e),即1p(x)e2,故1f(x0)0,f(x)在定义域上单调递增,不可能有两个零点;当a0,当x0,-1a时,f(x)0,f(x)在定义域上单调递增,当x-1a,+时,f(x)0,解得-1a0.f1e=ae-1a,则f(x0)=1+2ln-1a+ea+12+2-1a-1+ea=e-2a0,h(x)在(0,+)
24、上单调递增,而h(1)=e0,h1e=e1ee2-10,(x)在(0,+)上单调递增,x0=ln1x0,而在(0,x0)上,h(x)0,即g(x)0,即g(x)0,g(x)在(x0,+)上单调递增,g(x)min=g(x0)=ex0-lnx0x0-1x0=eln1x0-x0x0-1x0=1,a1.a的取值范围是(-,1.22.证明 (1)因为f(0)=1-a0,所以y=f(x)在(0,+)上存在零点.因为f(x)=ex-1,所以当x0时,f(x)0,故函数f(x)在0,+)上单调递增,所以函数y=f(x)在(0,+)上有唯一零点.(2)令g(x)=ex-12x2-x-1(x0),g(x)=ex
25、-x-1=f(x)+a-1,由知函数g(x)在0,+)上单调递增,故当x0时,g(x)g(0)=0,所以函数g(x)在0,+)上单调递增,故g(x)g(0)=0.由g(2(a-1)0,得f(2(a-1)=e2(a-1)-2(a-1)-a0=f(x0),因为f(x)在0,+)单调递增,故2(a-1)x0.令h(x)=ex-x2-x-1(0x1),h(x)=ex-2x-1,令h1(x)=ex-2x-1(0x1),h1(x)=ex-2,所以x0(0,ln2)ln2(ln2,1)1h1(x)-1-0+e-2h1(x)0e-3故当0x1时,h1(x)0,即h(x)1时,u(x)0,故函数u(x)在区间1,+)上单调递增,因此u(x)u(1)=0.由ex0=x0+a可得x0f(ex0)=x0f(x0+a)=(ea-1)x02+a(ea-2)x0(e-1)ax02,由x0a-1,得x0f(ex0)(e-1)(a-1)a.
