1、课时作业(五十三)椭圆及其简单几何性质基础过关组一、单项选择题1椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰是边长为2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析由条件可知bc，则a2，所以椭圆的标准方程为1。故选C。答案C2(2021八省联考)椭圆1(m0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若F1AF2，则m()A1 B.C. D2解析在椭圆1(m0)中，a，bm，c1，如图所示。因为椭圆1(m0)的上顶点为A，焦点为F1，F2，所以a，又因为F1AF2，所以F1AF2为等边三角形，则，即a2c2，因此，m。故选C。答案C3已知椭圆1(ab0)的焦点分
2、别为F1，F2，b4，离心率为。过F1的直线交椭圆于A，B两点，则ABF2的周长为()A10 B12C16 D20解析如图，由椭圆的定义知ABF2的周长为4a，又e，即ca，所以a2c2a2b216。所以a5，ABF2的周长为20。答案D4已知椭圆C：1(ab0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由题意知2a6,2c6，所以a3，c1，则b2，所以此椭圆的标准方程为1。答案B5(2021湖北宜昌一中模拟)设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交，其中一个交点为M，若直线MF1恰与圆F
3、2相切，则该椭圆的离心率为()A.1 B2C. D.解析由题意知F1MF2，|MF2|c，|F1M|2ac，则c2(2ac)24c2，e22e20，解得e1。答案A6已知F是椭圆C：1的左焦点，P为椭圆C上的一点，A，则|PA|PF|的最小值为()A. B. C4 D.解析设椭圆C：1的右焦点为F，则F(2,0)，F(2,0)。由A，得|AF|。根据椭圆的定义可得|PF|PF|2a6，所以|PA|PF|PA|6|PF|6|AF|6。答案D二、多项选择题7(2021山东淄博模拟)已知椭圆：1(ab0)，则下列结论正确的是()A若a2b，则的离心率为B若的离心率为，则C若F1，F2分别为的两个焦点
4、，直线l过点F1且与交于点A，B，则ABF2的周长为4aD若A1，A2分别为的左、右顶点，P为上异于点A1，A2的任意一点，则PA1，PA2的斜率之积为解析若a2b，则cb，e，A不正确；若e，则a2c，bc，B正确；根据椭圆的定义易知C正确；设P(x0，y0)，则1，易知A1(a,0)，A2(a,0)，所以PA1，PA2的斜率之积为，D正确。故选BCD。答案BCD8设椭圆C：y21的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是()A|PF1|PF2|2B离心率eCPF1F2面积的最大值为D以线段F1F2为直径的圆与直线xy0相切解析对于A，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|
5、2a2，所以A正确；对于B，依题意a，b1，c1，所以e，所以B错误；对于C，|F1F2|2c2，当P为椭圆短轴顶点时，PF1F2的面积取得最大值，为2cb1，所以C错误；对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为c1，圆心到直线xy0的距离为1，所以以线段F1F2为直径的圆与直线xy0相切，所以D正确。故选AD。答案AD三、填空题9已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(2，0)，且长轴长是短轴长的2倍。则该椭圆的长轴长为_，其标准方程是_。解析设椭圆方程为1(ab0)，由已知可得解得则该椭圆的长轴长为8，其标准方程是1。答案8110已知F1，F2分别是椭圆E：1(a0)的左、右焦
6、点，点M在椭圆E上，且F1MF2，则F1MF2的面积为_。解析解法一：因为F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，所以椭圆的焦点在x轴上，由椭圆的定义可得|MF1|MF2|2a，在F1MF2中，由余弦定理得4c2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos ，即4c2|MF1|2|MF2|2|MF1|MF2|(|MF1|MF2|)2|MF1|MF2|4a2|MF1|MF2|，即|MF1|MF2|4b2，又b23，所以SF1MF2|MF1|MF2|sin b23。解法二：因为F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M在椭圆上，b23，所以根据结论知，SF1MF2b2tan b2tan 3。答案311设
7、A1，A2分别为椭圆1(ab0)的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得kPA1kPA2，则该椭圆的离心率的取值范围是_。解析由题意知，椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A1(a,0)，A2(a,0)，设P(x0，y0)，则kPA1kPA2。因为1，所以a2x，所以，即，1e2，又e1，故eb0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B。(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程。解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形。所以有|OA|OF2|，即bc。所以ac，e。(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，
8、设B(x，y)，由2，解得x，y。代入1，得1。即1，解得a23，b22。所以椭圆方程为1。13已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点。(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围。解(1)连接PF1(图略)，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率e1。(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在，当且仅当|y|2c16，1，1，即16，x2y2c2，1，由及a2b2c2得y2
9、，又由知y2，故b4。由得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4。当b4，a4时，存在满足条件的点P。所以b4，a的取值范围为4，)。素养提升组14(多选)已知椭圆C1：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若F1PF2，则正确的是()A.2 Be1e2Cee Dee1解析因为0且|，故MF1F2为等腰直角三角形，设椭圆的半焦距为c，则cba，所以e1。在焦点三角形PF1F2中，F1PF2，设|PF1|x，|PF2|y，双曲线
10、C2的实半轴长为a，则故xyc2，从而(xy)2x2y2xyxy，所以(a)2，即e2，故，e2e1，ee2，ee1。故选BD。答案BD15(新情境题)某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为()A.rR B.rRC.rR D.rR解析设该卫星远地点离地面的距离为r，则由题意分析可知所以所以离心率e，解得rrR。故选A。答案A16(2020天津高考)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0，3)，右焦点为F，且|OA|OF|，其中O为原点。(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3，点B在椭圆上
11、(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程。解(1)由已知可得b3。记半焦距为c，由|OF|OA|，可得cb3。又由a2b2c2，可得a218。所以，椭圆的方程为1。(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以ABCP。依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在。设直线AB的方程为ykx3。由方程组消去y，可得(2k21)x212kx0，解得x0或x。依题意，可得点B的坐标为。因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，3)，所以点P的坐标为。由3，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为，即。又因为ABCP，所以k1，整理得2k23k10，解得k或k1。所以，直线AB的方程为yx3或yx3。
