1、微专题1计数问题的常用方法有关计数问题在考试中经常直接和间接的考查，其命题常以实际问题为背景，考查排列组合的综合应用，如均分或不均分问题，特殊元素或位置问题、相邻或不相邻问题等求解的策略是先组合后排列，同时按元素的性质分类或按事情的发生过程分步，必要时可构造模型，或画树形图求解一、“多面手”问题例1某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语方法一分两类第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有213(种)选法此时共有
2、6318(种)选法第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有122(种)选法所以由分类加法计数原理知，共有18220(种)选法方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语第一类：甲入选(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有122(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有166(种)选法故甲入选的不同选法共有268(种)第二类：甲不入选可分两步第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选
3、法由分步乘法计数原理，有6212(种)不同的选法综上，共有81220(种)不同的选法反思感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示所以，完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“”号连接，“步”用“”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可二、“相邻”与“不相邻”问题例2把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种答案36解析记其余两件产品为D，E
4、.将A，B视为一个元素，先与D，E进行排列，有AA种方法，再将C插入，每种排列均只有3个空位可选，故不同的摆法共有AA326336(种)反思感悟解排列组合问题时常以元素(或位置)为主体，即先考虑特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素进行排列三、含“至多”“至少”的问题例3某校举办诗歌朗诵比赛，该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为()A720 B768 C810 D
5、816答案B解析根据题意，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，有A840(种)情况，其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A24(种)，则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有84024816(种)；其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻的情况有CAA48(种)，则满足题意的朗诵顺序有81648768(种)故选B.反思感悟求解含有附加条件的计数问题的两种方法通常选用直接法或间接法，解题时应注意对“至少”“至多”“恰好”等词的含义的理解对于涉及“至少”“至多”等词的计数问题，既可以从反面情形考虑，即间接求解，也可以通过分类讨论直接求解四、组数问题例4有五张卡片，它们的正、反
6、面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解方法一(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC22个(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C22A个(3)0和1都不取，有不同的三位数C23A个综上所述，共有不同的三位数CCC22C22AC23A432(个)方法二(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C23A
7、个，其中0在百位的有C22A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数C23AC22A432(个)五、分组分配问题例5将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有_种(用数字作答)答案1 560解析把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2类第一类，采用“3,1,1,1”的分法，即有1组3本，其余3组每组1本不同的分法共有20(种)第二类，采用“2,2,1,1”的分法，即有2组每组2本，其余2组每组1本不同的分法共有45(种)所以不同的分组方法共有204565(种)然后把分好的4组书分给4个人，共有A种分法，所以不同的分法共有65A1 560(种)反思感悟本题属于局部均分
8、问题，解题时需注意，若有m组元素个数相等，则分组时应除以A，分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数例66个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C10(种)方法(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种方法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000|00|，有C
9、种方法，故共有CC40(种)方法(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C种方法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒这两块板与前面三块板形成不相邻的两个空盒子，如|00|0000|，有C种方法将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有C种方法故共有C(CC)30(种)方法反思感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法，隔
10、板法专门解决相同元素的分配问题(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm)，有C种方法，可描述为(n1)个空中插入(m1)块板六、涂色问题例7如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_种(用数字作答)答案72解析方法一(以位置为主考虑)第一步涂，有4种着色方法第二步涂，有3种着色方法第三步涂，有2种着色方法第四步涂时分两类，第一类用余下的颜色，有1种着色方法，第五步涂，有1种着色方法；第二类与同色，有1种着色方法，第五步涂，有2种着色方法所以不同的着色方法共有432(1112)72(种)方法二(以颜色为主考虑)分两类(1)取4色：着色方法有2A48(种)(2)取3色：着色方法有A24(种)所以共有着色方法482472(种)
