1、专题突破练2函数与方程思想、数形结合思想一、单项选择题1.(2020河南开封三模,理3)如图,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C在复平面内分别表示复数0,3+2i,-2+4i,则点B在复平面内对应的复数为()A.1+6iB.5-2iC.1+5iD.-5+6i2.(2020山东聊城二模,2)在复数范围内,实系数一元二次方程一定有根,已知方程x2+ax+b=0(aR,bR)的一个根为1+i(i为虚数单位),则a1+i=()A.1-iB.-1+iC.2iD.2+i3.(2020河北武邑中学三模,5)已知f(x)是定义在区间2b,1-b上的偶函数,且在区间2b,0上为增函数,f(x-1)f(2x)
2、的解集为()A.-1,23B.-1,13C.-1,1D.13,14.(2020广东江门4月模拟,理6)周髀算经中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为()A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺5.(2020安徽合肥二模,文5)在平行四边形ABCD中,若DE=EC,AE交BD于点F,则AF=()A.23AB+13ADB.23AB-13ADC.13AB-23ADD.13AB+23AD6.(2020安徽合肥二
3、模,文7)若函数F(x)=f(x)-2x4是奇函数,G(x)=f(x)+12x为偶函数,则f(-1)=()A.-52B.-54C.54D.527.(2020河北衡水中学月考,文12)已知关于x的方程f(x)2-kf(x)+1=0恰有四个不同的实数根,则当函数f(x)=x2ex时,实数k的取值范围是()A.(-,-2)(2,+)B.4e2+e24,+C.8e2,2D.2,4e2+e248.(2020福建福州模拟,理10)已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点,则PC(PB+PD)的最小值为()A.-1B.-3C.-12D.-32二、多项选择题9.已知实数a,b满足等式a12=b13,则下
4、列五个关系式中可能成立的是()A.0ba1B.a=bC.1abD.-1ba0).给出下列四个命题,其中是真命题的为()A.若x01,2,使得f(x0)-1B.若xR,使得g(x)0恒成立,则0ag(x2)恒成立,则a6D.若x11,2,x20,1,使得f(x1)=g(x2)成立,则3a4三、填空题13.(2020河南开封三模,理14)若平面向量a,b满足|a+b|=2,|a-b|=3,则ab=.14.(2020广东江门4月模拟,理16)已知函数y=|sin x|的图象与直线y=m(x+2)(m0)恰有四个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),其中x1x2
5、x3x4,则2+x4tanx4=.15.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=3,a=6,1b4,则sin A的取值范围为.16.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件.已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的78,若这堆货物总价是64-11278n万元,则n的值为.专题突破练2函数与方程思想、数形结合思想1.A解析 由已知,得OA=(
6、3,2),OC=(-2,4),则OB=OA+OC=(3,2)+(-2,4)=(1,6),点B对应的复数为1+6i.故选A.2.B解析 将1+i代入方程,得a+b+(a+2)i=0,所以a+b=0,a+2=0,解得a=-2,所以-21+i=-2(1-i)2=-1+i.3.B解析 f(x)是定义在区间2b,1-b上的偶函数,2b+1-b=0,b=-1.f(x)在区间-2,0上为增函数,f(x)在区间0,2上为减函数,距离对称轴越远,函数值越小.由f(x-1)f(2x)可得|x-1|2x|,即(x-1)24x2,且-2x-12,-22x2,求得-1x13,且-1x3,-1x1,可得-1x13.故选B
7、.4.C解析 从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成等差数列an,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,a1+(a1+3d)+(a1+6d)=31.5,S9=9a1+982d=85.5,解得a1=13.5,d=-1.小满日影长为a11=13.5+10(-1)=3.5(尺).故选C.5.D解析 如图,DE=EC,E为CD的中点.设AF=AE=AB+BC+12CD=AB+AD-12AB=2AB+AD.又B,F,D三点共线,2+=1,解得=23,AF=13AB+23AD.故选D.6.C解析 函数
8、F(x)=f(x)-2x4是奇函数,F(1)+F(-1)=0,即f(1)-2+f(-1)-2=0,则f(1)+f(-1)=4,G(x)=f(x)+12x为偶函数,G(1)=G(-1),即f(1)+12=f(-1)+2,则f(1)-f(-1)=32,由解得f(-1)=54.故选C.7.B解析 f(x)=2xex+x2ex=x(x+2)ex,令f(x)=0,解得x=0或x=-2,当x0时,f(x)0;当-2x0时,f(x)4e2时,关于x的方程f(x)=t只有一个解;当t=4e2时,关于x的方程f(x)=t有两个解;当0t4e2时,关于x的方程f(x)=t有三个解.g(x)=f(x)2-kf(x)
9、+1恰有四个零点,关于t的方程h(t)=t2-kt+1=0在0,4e2上有一个解,在4e2,+0上有一个解,显然t=0不是方程t2-kt+1=0的解,关于t的方程t2-kt+1=0在0,4e2和4e2,+上各有一个解,h4e2=16e4-4ke2+14e2+e24,即实数k的取值范围是4e2+e24,+.故选B.8.A解析 建立如图所示平面直角坐标系,设P(x,y),则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以PC=(2-x,2-y),PB+PD=(2-x,-y)+(-x,2-y)=(2-2x,2-2y),故PC(PB+PD)=(2-x)(2-2x)+(2-y)(2-2y)=
10、2x-322-12+2y-322-12=2x-322+2y-322-1.所以当x=y=32时,PC(PB+PD)的最小值为-1.故选A.9.ABC解析 画出y=x12与y=x13的图象(如图),设a12=b13=m,作直线y=m.从图象知,若m=0或1,则a=b;若0m1,则0ba1,则1a2时,直线y=1a与函数y=|x|+1|x|的图象有四个不同的交点,即原方程有四个解,满足1a2的有BCD.故选BCD.11.AB解析 f(x)=mn+32=sinxcosx-3cos2x+32=12sin2x-32cos2x=sin2x-3,其最小正周期是T=22=,故A正确;sin26-3=0,因此f(
11、x)图象关于点6,0对称,故B正确;由2x-3=k+2得x=k2+512(kZ),因此x=-12是f(x)图象的一条对称轴,故C错误;由2k-22x-32k+2,得k-12xk+512,即单调递增区间为k-12,k+512(kZ),故D错误.故选AB.12.ACD解析 对于选项A,只需f(x)在1,2上的最小值小于a,因为f(x)在1,2上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1-2=-1,所以a-1,故A正确;对于选项B,只需g(x)的最小值大于0,因为acosx2-a,a,所以g(x)min=-a+5-2a=5-3a0,所以0a5-a,a6,故C正确;对于选项D,需g(x)在0,1上的最
12、小值小于f(x)在1,2上的最小值,且g(x)在0,1上的最大值大于f(x)在1,2上的最大值,f(x)max=f(2)=2-22=1,所以x11,2,f(x1)-1,1,当x0,1时,x20,2,所以g(x)在0,1上单调递减,g(x)min=g(1)=5-2a,g(x)max=g(0)=5-a,所以g(x)5-2a,5-a,由题意得5-2a-1,5-a1,解得3a4,故D正确.故选ACD.13.-14解析 由|a+b|=2,得a2+2ab+b2=2,由|a-b|=3,得a2-2ab+b2=3,-,得4ab=-1,所以ab=-14.14.1解析 由题意画出图象如下,很明显,在点D处直线与函数
13、y=|sinx|的图象相切,点D即为切点.则有,在点D处,y=-sinx,y=-cosx.而-cosx4=m,且y4=m(x4+2)=-sinx4,x4+2=-sinx4m=-sinx4-cosx4=tanx4.x4+2tanx4=tanx4tanx4=1.15.39331,1解析 C=3,a=6,1b4,由余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=36+b2-6b=(b-3)2+27,c2=(b-3)2+2727,31.c33,31.由正弦定理可得,asinA=csinC,即sinA=asinCc=632c=33c39331,1.故答案为39331,1.16.6解析 由题意可得第n层的货物的价格为an=n78n-1.这堆货物总价是Sn=1780+2781+3782+n78n-1,则78Sn=1781+2782+3783+n78n,由-可得18Sn=1+781+782+783+78n-1-n78n=1-78n1-78-n78n=8-(8+n)78n,Sn=64-8(8+n)78n.这堆货物总价是64-11278n万元,8(8+n)=112,n=6.
