1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。7.4.2超几何分布新版课程标准学业水平要求1.结合生活中的实例,了解超几何分布2.了解超几何分布的均值及其意义1.结合教材实例,了解超几何分布的概念.(数学抽象)2.会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值.(数学运算)3.了解超几何分布与二项分布的关系,能利用超几何分布概率模型解决实际问题.(数学建模)必备知识素养奠基超几何分布(1)定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品的次品数,则X的分
2、布列为PX=k=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,r.其中n,N,MN*,MN,nN,m=max0,n-N+M,r=minn,M.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.(2)均值:EX=np,其中p=MN是N件产品的次品率.不放回抽取和有放回抽取有何不同?提示:抽取次数不同,不放回抽取只抽取一次,一次抽取n个,有放回抽取要抽取n次,每次抽取一个;概率模型不同,不放回抽取服从超几何分布,有放回抽取服从二项分布.1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数X服从超几何分布.()(2)盒中有4个白球和3个黑球,有放回
3、地摸取3个球,黑球的个数X服从超几何分布.()(3)某射手的命中率为0.8,现对目标射击3次,命中目标的次数X服从超几何分布.()提示:(1).正面向上的次数X服从二项分布.(2).由超几何分布的定义,黑球的个数X服从超几何分布.(3).命中目标的次数X服从二项分布.2.在10个村庄中,有4个村庄交通不方便,若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数,则X服从超几何分布,其参数为()A.N=10,M=4,n=6B.N=10,M=6,n=4C.N=14,M=10,n=4D.N=14,M=4,n=10【解析】选A.根据超几何分布概率模型知N=10,M=4,n=6.3.设袋中有80个红球
4、,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为()A.C804C106C10010B.C806C104C10010C.C804C206C10010D.C806C204C10010【解析】选D.若随机变量X表示任取10个球中红球的个数,则X服从参数为N=100,M=80,n=10的超几何分布.取到10个球中恰有6个红球,即X=6,P(X=6)=C806C204C10010(注意袋中球的个数为80+20=100).关键能力素养形成类型一超几何分布模型的概率【典例】1.一批产品共50件,其中5件次品,45件正品,从这批产品中任意抽2件,则出现2件次品的概率为()A.2245B.949
5、C.47245D.以上都不对2.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困,现从中任意选3个村,下列事件中概率等于67的是()A.至少有1个深度贫困村B.有1个或2个深度贫困村C.有2个或3个深度贫困村D.恰有2个深度贫困村【思维引】1.从这批产品中任意抽2件,出现的次品数服从超几何分布,直接利用公式计算;2.分别利用超几何分布的概率公式计算验证.【解析】1.选A.出现2件次品的概率为C52C450C502=2245.2.选B.用X表示这3个村庄中深度贫困村数,则X服从超几何分布,所以P(X=k)=C3kC43-kC73,P(X=0)=C43C30C73=435,P(X=1)=C42C31C73=18
6、35,P(X=2)=C41C32C73=1235,P(X=3)=C40C33C73=135,所以P(X=1)+P(X=2)=67,即有1个或2个深度贫困村的概率为67.【内化悟】本例2中对于含有“至少”、“或”的事件,求概率时要注意什么?提示:含有“至少”的事件可以考虑求其对立事件的概率;含有“或”的事件应该考虑其中的两个事件是否互斥,利用互斥事件和的概率求值.【类题通】关于超几何分布的概率求法首先明确随机变量是否服从超几何分布,把握等可能、不放回两个特点;其次是明确公式中的参数,即N,M,n的值各是什么;最后代入公式计算概率.【习练破】在20件产品中,有15件一级品,5件二级品,从中任取3件
7、,其中至少有一件为二级品的概率是_.【解析】设随机变量X表示取出二级品的件数,则P(X=1)=C51C152C203=3576,P(X=2)=C52C151C203=538,P(X=3)=C53C150C203=1114.所以P(X1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=3576+538+1114=137228.答案:137228类型二超几何分布模型的分布列【典例】为了解学生的身体素质情况,现从我校学生中随机抽取10人进行体能测试,测试的分数(百分制)依次为:52,65,72,78,86,86,86,87,87,88.根据有关国家标准,成绩不低于79分的为优秀,从这10人中随机选取3人
8、,记X表示测试成绩为“优秀”的学生人数,求X的分布列.【思维引】先确定X的取值,再按照超几何分布概率公式分别计算概率,列出分布列.【解析】由题意可得,X的取值可能为0,1,2,3,P(X=0)=C43C103=130,P(X=1)=C42C61C103=310,P(X=2)=C41C62C103=12,P(X=3)=C63C103=16,所以X的分布列为:X0123P1303101216【内化悟】利用超几何分布公式计算概率时有什么规律?提示:因为公式中都是组合数,用组合数公式展开后,要先约分再进行运算,这样可以简化运算的过程.【类题通】关于超几何分布的分布列(1)先确定随机变量的取值,再分别利
9、用公式计算相应的概率,最后列出分布列;(2)当超几何分布用表格表示较繁杂时,可用解析式法表示.【习练破】袋中有4个红球、3个黑球,从袋中随机取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球.求得分X的分布列.【解析】从袋中随机摸4个球的情况为:1红3黑,2红2黑,3红1黑,4红四种情况,分别得分为5分、6分、7分、8分,故X的可能取值为5,6,7,8.P(X=5)=C41C33C74=435,P(X=6)=C42C32C74=1835,P(X=7)=C43C31C74=1235,P(X=8)=C44C30C74=135.故所求概率分布列为X5678P43518351235135
10、【加练固】10件产品中有3件次品,7件正品,现从中抽取5件,求抽取次品件数的分布列.【解析】可能取值为0,1,2,3.=0表示取出5件全是正品.P(=0)=C30C75C105=21252=112.=1表示取出5件产品中有1件次品,4件正品.P(=1)=C31C74C105=105252=512.=2表示取出5件产品中有2件次品,3件正品.P(=2)=C32C73C105=105252=512.=3表示取出5件产品中有3件次品,2件正品.P(=3)=C33C72C105=21252=112.所以的分布列为0123P112512512112类型三超几何分布的实际应用角度1求随机变量的均值【典例】
11、若有一大宗商品,二等品率为4%,从中任取100件,预计二等品数是_件.【思维引】预计的二等品数即为均值.【解析】预计二等品数为1004%=4(件).答案:4【素养探】本例考查利用超几何分布的均值解决问题,考查了数学运算和数学建模的核心素养.本例的条件变为一批产品有50件,其中一等品30件,二等品15件,三等品5件,若从中任取20件,预计二等品有_件.【解析】这批产品中,二等品率为310,因此预计二等品为6件.答案:6角度2超几何分布的实际应用【典例】某商场庆“五一”举行促销活动,活动期间凡在商场购物满88元的顾客,凭发票都有一次摸奖机会,摸奖规则如下:准备了10个相同的球,其中有5个球上印有“
12、奖”字,另外5个球上无任何标志,摸奖前在盒子里摇匀,然后由摸奖者随机地从中摸出5个球,奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如表:摸出的5个球中带“奖”字球的个数奖品0无1无2肥皂一块3洗衣粉一袋4雨伞一把5自行车一辆(1)若某人凭发票摸奖一次,求中奖的概率;(2)若某人凭发票摸奖一次,求奖品为自行车的概率.【思维引】(1)可利用对立事件求获奖的概率;(2)首先明确奖品为自行车时带“奖”字球的个数,再用公式计算概率.【解析】(1)设X为摸取5个球中印有“奖”字的球的个数,则X服从参数为N=10,M=5,n=5的超几何分布.X的可能取值为0,1,2,3,4,5,则X的分布列为:P(X=k)=C5kC55-kC105(k=0,1,2,3,4,5).若要获得奖品,只需X2,则P(X2)=1-P(X0.5.解得n15.答案:15关闭Word文档返回原板块
