1、6.2排列与组合6.2.1排列学习目标1.理解并掌握排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列知识点二排列相同的条件两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素完全相同(2)元素的排列顺序也相同1123与321是相同的排列( )2同一个排列中，同一个元素不能重复出现()3在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化()4从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列()一、排列的概念例1判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、
2、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互打电话解(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题所以在上述各题中(2
3、)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题反思感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题：(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M1,2，9中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题(2)第一问不是排列
4、问题，第二问是排列问题若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有ab，a，b的大小关系一定；在双曲线1中，不管ab还是ab，方程1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题二、画树形图写排列例2将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法解树形图(如图)：由树形图知，所有排法有BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.反思感悟树形图的画法(1)确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位
5、(2)确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类(3)重复以上步骤，直到写完一个排列为止跟踪训练2(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列解(1)由题意作树形图，如图故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个(2)由题意作树形图，如图故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，da
6、c，dba，dbc，dca，dcb，共有24个三、简单的排列问题例3(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有765210(种)不同的送法(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有777343(种)不同的送法反思感悟对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解跟踪训练3(1)沪宁高铁线上有六个大站：上
7、海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为()A15 B30 C12 D36答案B解析对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6530(种)(2)3盆不同品种的花排成一排，共有_种不同的排法答案6解析共有3216(种)不同的排法1(多选)下面问题中，不是排列问题的是()A由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B从40人中选5人组成篮球队C从100人中选2人抽样调查
8、D从1,2,3,4,5中选2个数组成集合答案BCD解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关2从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A甲乙、乙甲、甲丙、丙甲B甲乙丙、乙丙甲C甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙D甲乙、甲丙、乙丙答案C解析从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙3从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为()A5 B10 C20 D60答案C解析不同的送书种数为5420.4从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位
9、数有_个答案245有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有_种不同的种法答案1 680解析将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有87651 680(种)1知识清单：(1)排列的定义：顺序性(2)“树形图”法列举排列(3)排列的简单应用2方法归纳：数形结合3常见误区：排列的定义不明确1(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有()A加法 B减法 C乘法 D除法答案BD解析因为加法和乘法满
10、足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD.2某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为()A20 B15 C10 D5答案A解析由题意得共需发起的聊天次数为5420.3从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为()A2 B4 C12 D24答案C4甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为()A6 B4 C8 D10答案B解析列树形图如下：故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种5将字母a，a，b，b，c，c
11、排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A12种 B18种 C24种 D36种答案A解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3216(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有62112(种)不同的排法6从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成_个以b为首的不同的排列，它们分别是_答案12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed解析画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，b
12、cd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.7车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为_答案60解析由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有54360(种)8一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有_种答案20解析从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5420(种)添加方法9写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左
13、端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？解(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种10用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的三位数？解(
14、1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一第一步，得首位数字，有6种不同结果；第二步，得十位数字，有5种不同结果；第三步，得个位数字，有4种不同结果故可得各位数字互不相同的三位数有654120(个)(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数有666216(个)11由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为()A9 B12 C15 D18答案B解析本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个符合题意的四位数12将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且
15、票必须分完，那么不同的分法的种数为()A54B45C5432 D5答案D解析由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种13三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有()A4种 B5种 C6种 D12种答案C解析若甲先传给乙，则有甲乙甲乙甲，甲乙甲丙甲，甲乙丙乙甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法14现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”
16、和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是_答案336解析从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为876336，故共有336种不同的选派方案15用0,1,2,3，9十个数字可组成不同的：(1)三位数_个；(2)无重复数字的三位数_个；(3)小于500且无重复数字的三位奇数_个答案(1)900(2)648(3)144解析(1)由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有91010900(个)(2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有998648(个)无重复数
17、字的三位数(3)小于500的无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：首位只能从1,2,3,4中选，个位必须为奇数，按首位分两类：第一类，首位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，所以共有48264(种)；第二类，首位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，所以共有58280(种)由分类加法计数原理知，共有6480144(种)16某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法解如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种
