1、第2课时双曲线的标准方程及性质的应用学习目标1.了解双曲线在实际生活中的应用.2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用知识点一直线与双曲线的位置关系设直线l：ykxm(m0)，双曲线C：1(a0，b0)，把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当b2a2k20，即k时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(2)当b2a2k20，即k时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直线与双曲线有两个公共点；0直线与双曲线有一个公共点；0直线与双曲线有0个公共点思考直线与双曲线只有一个交点，是不是直线与双曲线相切？答案不是当直线与双曲线的渐近线
2、平行时，直线与双曲线只有一个交点知识点二弦长公式若斜率为k(k0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|.1已知双曲线的两个焦点为F1(，0)，F2(，0)，P是其上的一点，且PF1PF2，|PF1|PF2|2，则该双曲线的方程是()A.1 B.1C.y21 Dx21答案C2过双曲线1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为_答案3过双曲线x21的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|_.答案3解析易得双曲线的左焦点F1(2,0)，直线AB的方程为y(x2)，与双曲线方程联立，得8x24x130.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|3.一
3、、直线与双曲线的位置关系例1已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解(1)由消去y整理，得(1k2)x22kx20.由题意，知解得k且k1.所以实数k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)，得x1x2，x1x2.又直线l恒过点D(0，1)，则当x1x20时，SOAB|SOADSOBD|x1x2|.所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2)2，即28，解得k0或k.由(1)，知上述k的值符
4、合题意，所以k0或k.反思感悟直线与双曲线(1)位置关系的判定方法：代数法(注意二次项系数为0的情况)(2)弦长公式设直线ykxb与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|.跟踪训练1已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)(1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长解(1)设双曲线方程为1(a，b0)，由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(2,0)，(2,0)，则|PF1|PF2|22a，所以a1，又c2，所以b，所以双曲线方程为x21.(2)由题意可知直线m的方程为yx2，联立双曲线及直线方
5、程消去y得2x24x70，设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x22，x1x2，由弦长公式得|AB|x1x2|6.二、与双曲线有关的轨迹问题例2某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4 s已知各观测点到该中心的距离是1 020 m则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)()A北偏西45方向，距离680 mB南偏东45方向，距离680 mC北偏西45方向，距离680 mD南偏东45方向，距离680 m答案A解析如图，以接报中心为原点O，正东、
6、正北方向为x轴，y轴正向，建立直角坐标系设A，B，C分别是西、东、北观测点，则A(1 020，0)，B(1 020,0)，C(0,1 020). 设P(x，y)为巨响发生点由已知|PA|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为yx，又B点比A点晚4 s听到爆炸声，故|PB|PA|34041 360，可知P点在以A，B为焦点的双曲线1上，依题意得a680，c1 020，b2c2a21 0202680253402,故双曲线方程为1，将yx 代入上式，得x680，|PB|PA|，x680，y680 ，即P(680，680), 故PO680 .故巨响发生在接报中心的北偏西45距中心680 m
7、处反思感悟和双曲线有关的轨迹(1)定义法解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线(2)直接法根据点满足条件直接代入计算跟踪训练2若动圆P经过定点A(3,0)，且与定圆B：(x3)2y216外切，试求动圆圆心P的轨迹解设动圆圆心P(x，y)，半径为r.则依题意有|PA|r，|PB|r4，故|PB|PA|4.即动圆圆心P到两个定点B(3,0)，A(3,0)的距离之差等于常数4，且40，b0)，则c3,2a4，b25，所以动圆圆心P的轨迹方程为1(x2)所以动圆圆心P的轨迹是双曲线1的右支1已知双曲线方程为x21，过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有()A4条 B
8、3条 C2条 D1条答案B解析因为双曲线方程为x21，则P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条2若直线ykx与双曲线4x2y216相交，则实数k的取值范围为()A(2,2) B2,2)C(2,2 D2,2答案A解析易知k2，将ykx代入4x2y216得关于x的一元二次方程(4k2)x2160，由0可得2k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22m，y1y2x1x22m4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)又点(m，2m)在x2y2
9、5上，所以m2(2m)25，得m1.1知识清单：(1)判断直线与双曲线交点个数(2)弦长公式2方法归纳：定义法，直接法3常见误区：直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用来判断直线与双曲线的位置关系代数计算中的运算失误1若直线xa与双曲线y21有两个交点，则a的值可以是()A4 B2 C1 D2答案A解析因为在双曲线y21中，x2或x2，所以若xa与双曲线有两个交点，则a2或a0)没有公共点，则a的取值范围是()Aa1 B0a1 Da1答案D解析等轴双曲线x2y2a2的渐近线方程为yx，若直线yax(a0)与等轴双曲线x
10、2y2a2没有公共点，则a1.4直线l：ykx与双曲线C：x2y22交于不同的两点，则斜率k的取值范围是()A(0,1) B(，)C(1,1) D1,1答案C解析由双曲线C：x2y22与直线l：ykx联立，得(1k2)x220.因为直线l：ykx与双曲线C：x2y22交于不同的两点，所以解得1k0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点若ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为()Ayx Byx Cyx Dyx答案D解析设F1(c，0)，A(c，y0)，则1，1，y，|AB|2|y0|.又2，2c |AB|2c2，.该双曲线的渐近线方程为yx.6若直线ykx2与
11、双曲线x2y26的左支交于不同的两点，则k的取值范围为_答案解析联立方程得(1k2)x24kx100，若直线ykx2与双曲线x2y26的左支交于不同的两点，则方程有两个不等的负根所以解得1k.7直线yx1与双曲线1相交于A，B两点，则|AB|_.答案4解析由得x24x80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|4.8已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e_.答案1解析以线段F1F2为边作正MF1F2，则M在y轴上，可设|F1F2|2c，M在y轴正半轴，则M(0，c)，又F1(c，0)，则边MF
12、1的中点为，代入双曲线方程，可得1，由于b2c2a2，e，则有e24，即有e48e240，解得e242，由于e1，即有e1.9已知双曲线的方程为x21，直线l过点P(1,1)，斜率为k. 当k为何值时，直线l与双曲线有一个公共点？解设直线l：y1k(x1)，即ykx(1k)由得 (k22)x22k(k1)xk22k30.当k220，即k时，方程只有一个解；当k220，且2416k0，即k时，方程只有一个解综上所述，当k或k时，直线l与双曲线只有一个公共点10斜率为2的直线l在双曲线1上截得的弦长为，求直线l的方程解设直线l的方程为y2xm，由得10x212mx3(m22)0.(*)设直线l与双
13、曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x1x2m，x1x2(m22)于是|AB|2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x25.因为|AB|，所以m26(m22)6.则m215，m.由(*)式得24m2240，把m代入上式，得0，所以m的值为，故所求l的方程为y2x.11已知直线yax1与双曲线3x2y21交于A，B两点，则a的取值范围是_答案a且a解析由得(3a2)x22ax20.直线与双曲线相交于两点，a且a.a的取值范围是a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取
14、值范围是_答案2，)解析由题意，知，则3，所以e2.13双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_答案解析双曲线1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为yx.不妨设直线FB的方程为y(x5)，代入双曲线方程整理，得x2(x5)29，解得x，y，所以B.所以SAFB|AF|yB|(ca)|yB|(53).14双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，左、右顶点为A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线斜率为_答案1解析由题意知F(c，0)，A1(a，0)，A2(a，0)，其
15、中c.联立解得B，C，所以，.因为A1BA2C，所以(ca)(ca)0，解得ab，所以渐近线的斜率为1.15设双曲线x21上有两点A，B，AB中点M(1,2)，则直线AB的方程为_答案yx1解析方法一(用根与系数的关系解决)显然直线AB的斜率存在设直线AB的方程为y2k(x1)，即ykx2k，由得(2k2)x22k(2k)xk24k60，当0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，所以k1，满足0，所以直线AB的方程为yx1.方法二(用点差法解决)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)因为x1x2，所以，所以kAB1，所以直线AB的方程为yx1，代入x21满足0.所以直线AB的方程为yx1.16已知直线l：xy1与双曲线C：y21(a0)(1)若a，求l与C相交所得的弦长；(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围解(1)当a时，双曲线C的方程为4x2y21，联立消去y，得3x22x20.设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，则|AB|.(2)将yx1代入双曲线y21，得(1a2)x22a2x2a20，解得0a且e.即离心率e的取值范围是(，)
