1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。8.3列联表与独立性检验必备知识素养奠基1.分类变量:用来区别不同的现象或性质的随机变量,其取值可以用实数表示.2.22列联表及随机事件的概率(1)22列联表:如果随机事件X与Y的样本数据如下表格形式Y=0Y=1合计X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+da+b+c+d在这个表格中,核心的数据是中间的4个格子,所以这样的表格通常称为22列联表.(2)22列联表中随机事件的概率:如上表,记n=a+b+c+d,则事件Y=0发生的概率可估计为_P(Y=0)=a+cn_;
2、事件X=1发生的概率可估计为_PX=1=c+dn_;事件X=1,Y=0发生的概率可估计为_PX=1,Y=0=cn_.事件X=1Y=0发生的概率可估计为_PX=1Y=0=ca+c_.3.独立性检验(1)零假设:设X和Y为定义在上,取值于0,1的成对分类变量.由于X=0和X=1,Y=0和Y=1都是互为对立事件,故要判断事件X=1和Y=1之间是否有关联,需要判断假定关系_H0:P(Y=1|X=0)=PY=1X=1_是否成立.通常称H0为零假设.(2)独立性检验:利用随机变量2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.(3)公式:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
3、其中n=a+b+c+d为样本容量.(4)对照表及检验规则:0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828当2x时就推断“X与Y不独立”,这种推断犯错误的概率不超过;当26.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.【素养探】本题考查独立性检验的应用,同时考查了数据分析与数学建模的核心素养.本例若把22列联表中的数据调整如下:0,150(150,4750,757010(75,115812判断是否有99.9%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?【解析】2=100(7012-810)27822802
4、021.03710.828=x0.001,所以有99.9%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.【类题通】独立性检验的关注点(1)步骤:列表,计算,判断;(2)注意:2计算公式较复杂,一是公式要清楚;二是代入数值时不能张冠李戴;三是计算时要细心;判断时把计算结果与临界值比较,其值越大,有关的可信度越高.【习练破】某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价,得到下面列联表:满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估算男、女顾客对该商场服务满意的概率?(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有
5、差异?附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(2x)0.0500.0100.001x3.8416.63510.828【解析】(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为4050=0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3050=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)2=100(4020-3010)2505070304.762.由于4.7623.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【加练固】调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据:出生
6、时间在晚上的男婴为24人,女婴为8人;出生时间在白天的男婴为31人,女婴为26人.(1)将下面的22列联表补充完整;晚上白天合计男婴女婴合计(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿性别与出生时间有关系?【解析】(1)晚上白天合计男婴243155女婴82634合计325789(2)由所给数据计算2=89(2426-318)2553432573.6892.706=x0.1.因此在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关系.类型三独立性检验的综合应用【典例】手机厂商推出一款6寸大屏手机,现对500名该手机使用者(200名女性、300名男性)进行调查,对手机进行评分,
7、评分的频数分布表如下:女性用户分值区间50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2040805010男性用户分值区间50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数4575906030(1)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不计算具体值,给出结论即可);(2)把评分不低于70分的用户称为“认可用户”,依据小概率值=0.1的2独立性检验,能否认为“是否是认可用户”与性别有关?参考公式及数据:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(2x)0.10.050.01x2.7063.84
8、16.635【思维引】(1)利用频数分布表中所给数据求出各组的频率,利用频率除以组距得到纵坐标,从而可得频率分布直方图,由频率分布直方图观察女性用户和男性用户评分的集中与分散情况即可比较波动的大小;(2)利用公式求出2的值,与临界值比较,即可得出结论.【解析】(1)女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如图所示:由图可得女性用户的波动小,男性用户的波动大.(2)由题可得22列联表如下:女性用户男性用户合计认可用户140180320不认可用户60120180合计200300500则2=500(140120-18060)22003003201805.2082.706=x0.1,故根据小概率值=0.
9、1的2独立性检验,可以认为“是否是认可用户”与性别有关.【类题通】独立性检验综合问题的命题方向独立性检验的考查,往往与概率和抽样统计图等一起考查,这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序,一步步进行下去,是比较容易解答的,考查单纯的独立性检验往往用小题的形式,而且2的公式一般会在原题中给出.【习练破】某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A,B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如图.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.(1)在乙班样本的20
10、个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2个,求抽出的两个均“成绩优秀”的概率;(2)由以上统计数据作出列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩优秀”与教学方式有关?【解析】(1)从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是:(86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共有15种结果,符合条件的事件为(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,9
11、7),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共有10种结果,根据等可能事件的概率得到P=1015=23.(2)由已知数据得甲班乙班合计成绩优秀156成绩不优秀191534合计202040根据列联表中的数据,计算得2=40(115-519)263420203.137,由于3.1372.706,所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为:“成绩优秀”与教学方式有关.课堂检测素养达标1.在一项中学生近视情况的调查中,某校男生150名中有80名近视,女生140名中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力()A.平均数与方差B.
12、回归分析C.独立性检验D.概率【解析】选C.判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验.2.分类变量X和Y的列表如下,则下列说法判断正确的是()y1y2合计x1aba+bx2cdc+d合计a+cb+da+b+c+dA.ad-bc越小,说明X和Y关系越弱B.ad-bc越大,说明X和Y关系越强C.(ad-bc)2越大,说明X与Y关系越强D.(ad-bc)2越接近于0,说明X与Y关系越强【解析】选C.列联表可以较为准确地判断两个变量之间的相关关系程度,由2=(a+b+c+d)(ad-bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d),当(ad-bc)2越大,2越大,表明X与Y的关系越强.(ad-bc)2越接近0,说明两个分类变量X和Y无关的可能性越大.3.下面22列联表的2的值为_.BB合计A8412A21618合计102030【解析】2=30(816-24)210201218=10.答案:104.若由一个22列联表中的数据计算得2=8.013,那么是否有99.5%的把握认为两个随机事件之间有关系:_.(填“是”或“否”)【解析】因为2=8.0137.879=x0.005,查阅2表知有99.5%的把握认为两个随机事件之间有关系.答案:是关闭Word文档返回原板块
