1、第3讲不等式及线性规划本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享考情研析1.对不等式的性质及不等式解法的考查一般不单独命题，常与集合、函数图象与性质等相结合命题，也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中2.基本不等式主要渗透在其他知识点中求最值3.简单的线性规划常以选填题形式呈现，一般难度不大.核心知识回顾1不等式的一些常用性质(1)ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd.(3)ab0，cd0acbd.(4)ab0，nN*anbn.(5)ab0(nN，n2)(6)ab，ab0；a0bb0，dc0.2不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式a
2、x2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)简单分式不等式的解法0(0(0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号4几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)5利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)6二元一次不等式表示的平面区域一般地，在平面直
3、角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线对于直线AxByC0同一侧的所有点，把坐标(x，y)代入AxByC中，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0By0C的正负即可判断AxByC0表示直线哪一侧的平面区域说明：直线同侧同号，异侧异号.热点考向探究考向1不等式的性质及解法例1(1)(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈
4、利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若a，b，cR，则下列命题正确的是()A若ab0且aB若0a1，则a3b0，则D若cba且ac0，则cb2不成立；B项，若0a1，则a3aa(a21)0，a3b0，则a(b1)b(a1)ab0，a(b1)b(a1)，正确；D项，若cba且ac0，c0，而b可能为0，因此cb21恒成立，则实数t的取值范围是()A(，)(，)BC(，)D答案B解析|a|1，|b|2，|ab|，(ab)2a2b22ab7，ab1，又|katb|1，(katb)21，即k2a2t2b22ktabk24t22kt1对于任意实数k恒成立，k22
5、kt4t210对于任意实数k恒成立，(2t)24(4t21)0，t，故选B(3)(2020四川省成都模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_.答案(3,0)(3，)解析设x0，由题意可得f(x)f(x)(x)22(x)x22x，f(x)x22x，故当xx，可得或求得x3或3xx的解集为(3,0)(3，)(1)利用不等式的性质解决问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件(2)一元二次不等式的常见解法是利用“三个二次”之间的关系，借助二次函
6、数图象得到其解集1(多选)(2020海南省高三三模)设a，b，c为实数且ab，则下列不等式一定成立的是()A B2020ab1Cln aln b Da(c21)b(c21)答案BD解析对于A，若ab0，则0，所以2020ab1，故B正确；对于C，函数yln x的定义域为(0，)，而a，b不一定是正数，所以C错误；对于D，因为c210，所以a(c21)b(c21)，所以D正确故选BD2(多选)(2020山东省淄博模拟)设x表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式x2x120的解可以为()A B3 C4.5 D5答案BC解析不等式x2x120可化为(x4)(x3)0，解得4x3，又x表示不
7、小于实数x的最小整数，且4，33，4.54，55，所以满足不等式x2x120的解可以为B，C故选BC3定义：区间a，b，(a，b，(a，b)，a，b)的长度均为ba，若不等式m(m0)的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则()A当m0时，lB当m0时，lC当m0时，lD当m0时，l答案B解析当m0时，m0，令f(x)mx2(33m)x2m40的两根为x1，x2，且x1x2，则0，且x1x23.f(1)m33m2m410，f(2)4m66m2m420，1x12x2，不等式的解集为(1，x1(2，x2，lx11x22x1x2333.当m0，f(2)0，可得x11x
8、20，0)，则的最小值为()A B2 C3 D答案B解析如图，连接AP，P为BC的中点，且0，0，且M，P，N三点共线，1，()122，当且仅当，即1时取等号，的最小值为2.故选B(2)若曲线yx32x22在点A处的切线方程为y4x6，且点A在直线mxny10(其中m0，n0)上，则的最小值为()A4 B32C64 D8答案C解析设A(x0，y0)，则y3x24x3x4x04，x02或x0，分别将x0的值代入方程yx32x22，得或因为A(x0，y0)在y4x6上，所以即2m2n10，mn，从而2(mn)2264，当且仅当nm，即m，n时取等号，即的最小值为64，故选C(3)(2020江苏省七
9、市高三第三次调研)已知x1，y1，xy10，则的最小值是_.答案9解析因为x1，y1，xy10，所以lg xlg y1，则(lg xlg y)5529，当且仅当，即lg y2lg x且xy10，即x，y时取等号利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值(2)有些题目并不满足直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式，常用方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等1设x0，y0，且2xy6，则9x3y有()A最大值27 B最小值27C最大值54 D最小值54答案D解析因为x0，y0，且2xy6，所
10、以9x3y22254，当且仅当x，y3时，9x3y有最小值54.2(2020湖南省郴州市高三一模)已知函数f(x)xsinx，若正实数a，b满足ff0，则的最小值为()A7 B74C54 D72答案B解析f(x)xsinx，f(x)xsinxf(x)，即f(x)f(x)0，正实数a，b满足ff0，1，b0，a1，则7774(a1)74，当且仅当4(a1)，即a1时取等号，所以的最小值为74.故选B3(2020山东威海模拟)若x(0，)，m，则实数m的取值范围为_.答案(，4解析因为x0，则4x24，当且仅当4x，即x时取等号，因为m，所以4m，即实数m的取值范围为(，4考向3线性规划问题例3(
11、1)(2020安徽六安一中3月模拟)已知实数x，y满足则z的取值范围为()A B(，2C D(，0答案D解析原不等式组可以等价转化为或画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中点A(1,0)，点B(3,2)，而z2的几何意义为区域内的点(x，y)与点M(0，2)连线的斜率k加上2，结合图形可知k或k2，因此z2或z220.即z的取值范围为(，0，故选D(2)设x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_.答案5解析解法一：(图解法)由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示平移直线3x2y0可知，目标函数z3x2y在A点处取最小值，由解得即A(1,1)，所以zmin3(1)215.解法
12、二：(界点定值法)由题意知，约束条件所表示的平面区域为三角形及其内部，三角形的顶点分别为(1,1)，.将三点的坐标分别代入z3x2y，得zmin5.(3)(2020广州市综合检测)已知关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，则m的取值范围是_.答案解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可得故A，所以m，解得m.作出直线x2y2，由可得即B，因为存在点P(x0，y0)，使得x02y020，即直线x2y20与平面区域有交点，则需满足m，所以m，所以m的取值范围是.二元一次不等式表示的平面区域的判断方法方法一：特殊点法只需在直线的某一侧任取一点(x
13、0，y0)，根据Ax0By0C的正负即可判断AxByC0(或0)，大为右，小为左当A0时，AxByC0表示直线右方区域；AxByC0表示直线左方区域方法三：一般式，“同”为上，“异”为下观察B的符号与不等式的符号，若B的符号与不等式的符号“相同”，则表示直线上方的区域；若B的符号与不等式的符号“相异”，则表示直线下方的区域1(2020湖南长郡中学第二次适应性考试)已知实数x，y满足不等式组则点(x，y)构成平面区域的面积是()A3 B C2 D答案A解析根据题意作出不等式组所表示的平面区域，分别求得A(2,2)，B(4，2)，C(1,1)，求出点B到直线yx的距离d3，AC，SABCACd33
14、.故选A2若变量x，y满足且zaxy的最小值为1，则实数a的值为_.答案2解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若a3，则直线zaxy经过点B(1,2)时，z取得最小值，由a21，得a1，与a3矛盾；若0a0，b0，且ab1，则()Aa2b2 B2abClog2alog2b2 D 答案ABD解析对于A，a2b2a2(1a)22a22a122，当且仅当ab时，等号成立，故A正确；对于B，ab2a11，所以2ab21，故B正确；对于C，log2alog2blog2ablog22log22，当且仅当ab时，等号成立，故C不正确；对于D，因为()2121ab2，所以 ，当且仅当a
15、b时，等号成立，故D正确故选ABD2(2020全国卷)已知5584,13485.设alog53，blog85，clog138，则()Aabc BbacCbca Dcab答案A解析a，b，c(0,1)，2221，ab.由blog85，得8b5，由5584，得85b84，5b4，可得b.由clog138，得13c8，由13485，得134135c，5c4，可得c.综上所述，abc.故选A3(2020浙江高考)已知a，bR且ab0，若(xa)(xb)(x2ab)0在x0上恒成立，则()Aa0 Cb0答案C解析因为ab0，所以a0且b0，设f(x)(xa)(xb)(x2ab)，则f(x)的零点为x1a
16、，x2b，x32ab.当a0时，x2x3，x10，要使f(x)0，必有2aba，且b0，即ba，且b0，所以b0；当a0时，x2x3，x10，要使f(x)0，必有b0.综上可得b0.故选C4(2020全国卷)若x，y满足约束条件则zx7y的最大值为_.答案1解析画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由zx7y，得yxz，平移直线yx，由图可得当直线yxz过点A时，目标函数zx7y取得最大值联立直线方程，得得A(1,0)，所以zmax1701.5(2020江苏高考)已知5x2y2y41(x，yR)，则x2y2的最小值是_.答案解析5x2y2y41，y0且x2.x2y2y22，当且仅当，即x
17、2，y2时取等号x2y2的最小值为.6(2020天津高考)已知a0，b0，且ab1，则的最小值为_.答案4解析a0，b0，ab0，又ab1，24，当且仅当ab4，即a2，b2，或a2，b2时，等号成立故的最小值为4.金版押题7已知函数f(x)|lg (x1)|，若1ab且f(a)f(b)，则实数2ab的取值范围是()A32，) B(32，)C6，) D(6，)答案A解析作出函数f(x)|lg (x1)|的图象如图所示1ab且f(a)f(b)，则b2,1a2，lg (a1)lg (b1)，即b1，可得abab0，则a.2abbb11(b1)323，当且仅当b1时取等号满足b2，故选A8定义域为a
18、，b的函数yf(x)图象的两个端点为A，B，向量(1)，M(x，y)是f(x)图象上任意一点，其中xa(1)b，若不等式|MN|k恒成立，则称函数f(x)在a，b上满足“k范围线性近似”，其中最小正实数k称为该函数的线性近似阈值若函数y定义在1,2上，则该函数的线性近似阈值是()A2 B32C32 D2答案B解析作出函数y的图象，它的图象在1,2上的两个端点分别为A(1,2)，B(2,1)所以直线AB的方程为xy30，设M(x，y)是曲线y上的一点，x1,2，其中x1(1)22，故M点的坐标为.由(1)，可知A，B，N三点共线，所以N点的坐标满足直线AB的方程xy30，又(1,2)，(2,1)
19、，则(2(1)，2(1)，故N点的坐标为(2，1)M，N两点的横坐标相等，故|MN|(1)|，结合图象，知|MN|1.因为122，所以01.故|MN|1(2)3323.故当且仅当2，即2时等号成立故|MN|32恒成立所以该函数的线性近似阈值是32.故选B专题作业一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，则ab等于()A3 B1 C1 D3答案A解析由题意，得Ax|1x3，Bx|3x2，所以ABx|1x0”是“2ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充
20、分也不必要条件答案A解析若ab0，则2ab0，即2ab；若2ab，即2ab0，则ab0或ab0”是“2ab”的充分不必要条件故选A3若正实数x，y满足x2y2xy80，则x2y的最小值为()A4 B C5 D答案A解析正实数x，y满足x2y2xy80，x2y280，当且仅当x2y时取等号设x2yt0，tt280，t24t320，即(t8)(t4)0，t4，故x2y的最小值为4.故选A4(2020陕西省汉中二模)已知直线2axby20(a0，b0)平分圆C：x2y22x4y10的圆周长，则的最小值为()A4 B32 C4 D6答案B解析由题意，得圆的圆心(1,2)在直线2axby20(a0，b0
21、)上，2a2b20(a0，b0)，ab1，(ab)33232，当且仅当，即a1，b2时，的最小值为32.故选B5已知二次函数f(x)ax2(a2)x1(aZ)，且函数f(x)在(2，1)上恰有一个零点，则不等式f(x)1的解集为()A(，1)(0，) B(，0)(1，)C(1,0) D(0,1)答案C解析f(x)ax2(a2)x1，(a2)24aa240，函数f(x)ax2(a2)x1必有两个不同的零点，又f(x)在(2，1)上有一个零点，则f(2)f(1)0，(6a5)(2a3)0，解得a.又aZ，a1.不等式f(x)1，即x2x0，解得1x0.6若实数x，y满足不等式组且目标函数zax2y
22、的最大值为1，则实数a的值是()A1 B1 C1 D3答案B解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A(0,1)，B(a,1a)，C(a,1a)对zax2y变形，得yx，由图知a0，当直线yx经过点B时，z取得最大值，所以a22(1a)1，解得a3(舍去)或a1，故选B7(2020山东济南模拟)一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为()A1 B2 C3 D答案D解析由题意，可得PAPBAB4，故圆锥的高PO2，APO30，设圆柱的高为h，底面半径为r，则PD2h，
23、故，所以h2r，圆柱侧面积S2rh2r(2r)2r(2r)222，当且仅当r2r，即r1时取得最大值，此时h.故选D8(2020杭州期末)已知不等式2ax2ax30对任意的a1,3恒成立的x的取值集合为A，不等式mx2(m1)xm0对任意的x1,3恒成立的m的取值集合为B，则有()AARB BABCBRA DBA答案D解析令f(a)(2x2x)a3，则关于a的一次函数必单调，则解得x1，即A(1，)m(x2x1)x对任意的x1,3恒成立m对任意的x1,3恒成立，又y(1x3)单调递减，故ymax1，故m1，即B(1，)综上BA，故选D二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9若0，
24、则下列不等式正确的是()A0Cab Dln a2ln b2答案AC解析由0，可知ba0.A中，因为ab0，所以，故A正确；B中，因为baa0，故b|a|，即|a|b0，故B错误；C中，因为ba0，又0，所以ab，故C正确；D中，因为baa20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故D错误故选AC10九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱
25、、青)将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为ab，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AFBC于点F，则下列推理正确的是()A由图1和图2面积相等可得dB由AEAF可得 C由ADAE可得 D由ADAF可得a2b22ab答案BCD解析由题图1和题图2面积相等，得ab(ab)d，则d，A错误；由题意知题图3面积为ab AF，AF，ADBC ，设题图3中正方形的边长为x，由三角形相似，得，解得x，则AE，可以化简判断B，C，D正确故选BCD11(2020武汉部分学校联考)若
26、0ab4 Blg alg b2 Da2c2答案BC解析解法一：因为0abc，abc1，所以0a1，ab0,0ab212，所以A错误；对于B，lg alg blg ab22，所以C正确；对于D，因为0abc，abc1，所以01，c，所以a2c22，因为22，所以D错误故选BC解法二：(特殊值法)因为0abc，abc1，令a，b1，c2，则22124，A错误；令a，b1，c，则22，D错误故选BC12(2020山东部分重点中学联考)若ab0，则下列不等式一定成立的是()Aab Ba0 Dcc答案BD解析解法一：对于A，设函数g(x)x，x(，1)，则g(x)10，所以函数g(x)在(，1)上为增函
27、数，所以当ab1时，a0，所以函数f(x)在(，1)上为增函数，所以当ab1时，ab，即ab，故B正确；对于C，因为a0，但不能确定ba与1的大小关系，故ln (ba)与0的大小关系不能确定，故C错误；对于D，由ab1,00，所以c1c0，故D正确故选BD解法二：(利用取特殊值法)令a3，b2，代入各选项，验证可得正确的选项为B，D三、填空题13若13，42，则|的取值范围是_.答案(3,3)解析42，0|4，4|0，3|1)的最小值是_.答案22解析x1，x10，yx1x1222(当且仅当x1时取“”)，即函数y(x1)的最小值是22.15设a0，若不等式cos2x(a1)cosxa20对于
28、任意的xR恒成立，则a的取值范围是_.答案a2解析令tcosx1,1，则不等式f(t)t2(a1)ta20对t1,1恒成立，因此a0，a2.16已知A(2,1)，B(2,2)，C(1,4)若点P(x，y)在ABC区域(包含边界)内运动，则x2y22x的取值范围为_.答案解析点P所在平面区域如图中阴影部分所示x2y22x(x1)2y21，其中(x1)2y2x(1)2(y0)2，表示点P(x，y)到点Q(1,0)的距离的平方令tx2y22x，则t|PQ|21.由图可知|PQ|max|QC|2.由A(2,1)，B(2,2)知直线AB的方程为x4y60，所以|PQ|mind，其中d表示点Q到直线AB的距离，所以tmax(2)2119，tmin21，所以x2y22x的取值范围为.
