1、强化训练5平面向量中的综合问题1(2021甘肃诊断)已知平面向量a，b满足a(1，2)，b(3，t)，且a(ab)，则|b|等于()A3B.C2D5答案B解析ab(1，2)(3，t)(2，t2)，由于a(ab)，所以a(ab)0，即1(2)(2)(t2)0，解得t1，所以b(3,1)，|b|.2(2021常德模拟)如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，E为BC的中点，则等于()A.B.C.D.答案C解析设F为AB的中点，连接DF，如图，ABCD，AB2CD，BFCD，且BFCD，四边形BFDC为平行四边形，().3已知向量a，b满足|a|2，|b|，且a(a2b)，则b在a方向上的投影
2、为()AB1C.D1答案B解析因为a(a2b)，所以a(a2b)a22ab42ab0，ab2，所以b在a方向上的投影为1.4(2020河北“五个一”名校联考)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则向量ab与ab的夹角是()A.B.C.D.答案C解析将|ab|ab|2|a|平方得a22abb2a22abb24a2，解得cosab，ab，所以向量ab与ab的夹角是.5(多选)已知在边长为2的等边ABC中，向量a，b满足a，ab，则下列式子正确的是()A|2ab|2B|b|2Ca(ab)2Dab6答案ABD解析2ab，则|2ab|2，A正确；a(ab)2，C错误；a(ab)|a|2ab2
3、，则ab6，D正确；又|ab|2，两边平方得|a|22ab|b|24，则|b|2，B正确6(多选)若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的值可能为()A.1B1C.D2答案AB解析因为a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，所以abc(ab)c20，所以c(ab)1，而|abc|1，所以选项C，D不正确，故选AB.7(2020泰安模拟)已知向量(3，4)，(6，3)，(2m，m1)若，则实数m的值为_答案3解析因为，(3,1)，所以3(m1)2m，所以m3.8已知a(2，1)，b(3，)，若a与b的夹角为钝角，则实数的取值范围是_答案且3解析由题意得
4、，ab0且a与b不共线，即3(2)0且(2)3，解得0，1，且D，G，E共线，则_.答案3解析ABC的重心为G，AG()，D，G，E共线，则存在实数m，使得m(1m)，m(1m)m(1m)，解得m1，3.11已知向量a，b的夹角为60，且a(1,0)(1)若|b|2，求b的坐标；(2)若(ab)(ab)，求|a2b|的值解(1)设b(x，y)，因为向量a，b的夹角为60，且a(1,0)，|b|2.所以cosa，bcos60，解得x1，所以|b|2，解得y，所以b(1，)(2)因为(ab)(ab)，所以(ab)(ab)a2b2|a|2|b|20，由于a(1,0)，所以|a|b|1，所以|a2b|
5、.12.如图，在四边形ABCD中，B60，AB3，BC6，且，.(1)求实数的值；(2)若M，N是线段BC上的动点，且|1，求的最小值解(1)，ADBC，B60，DAB120，63cos120，.(2)如图，过点A作AOBC，垂足为O，则OBAB，OC，AO，以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则D，设M(x,0)，N(x1,0)，x，x2x2，当x时，取得最小值.13已知非零向量与满足0，且，则ABC的形状为()A等边三角形B三边均不相等的三角形C等腰非等边三角形D直角三角形答案C解析注意到表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，所以表示以与同向的单位向量和与同向
6、的单位向量为邻边的平行四边形的对角线，因为0，所以|，由可以得出与的夹角为120，所以ABC为等腰非等边三角形14已知O是正三角形ABC内部的一点，230，则OAC的面积与OAB的面积之比是()A.B.C2D1答案B解析如图所示，D，E分别是BC，AC的中点，由230得2()，即2，所以OE2OD，设正三角形的边长为2a，则OAC底边AC上的高为hACBEa，OAB底边AB上的高为hABBEa，所以.15已知三个向量a，b，c共面，且均为单位向量，ab0，则|abc|的取值范围是()A1，1 B1，C， D1,1答案A解析因为ab0，所以|ab|2a22abb22，所以|ab|，所以|abc|
7、2a2b2c22ab2(ab)c32(ab)c，则当c与(ab)同向时，(ab)c最大，|abc|2最小，此时(ab)c|ab|c|cos0，|abc|232，所以|abc|min1；当c与(ab)反向时，(ab)c最小，|abc|2最大，此时(ab)c|ab|c|cos，|abc|232，所以|abc|max1，所以|abc|的取值范围为1，116在ABC中，设.(1)求证：ABC为等腰三角形；(2)若|2且B，求的取值范围(1)证明因为，所以()0，因为0，所以()，所以()()0，所以220，所以|，故ABC为等腰三角形(2)解因为B，所以cosB，设|a，因为|2，所以|24，所以a2a22a2cosB4，所以a2，所以|cosBa2cosB2，又cosB，所以22，即.
