高三数学1-第6讲　对数与对数函数.doc

1、第6讲对数与对数函数1对数的定义如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaMlogaN，(2)logalogaMlogaN，(3)logaMnnlogaM(nR)3对数函数的定义函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量4对数函数的图象与性质a10a0，a1，函数yax与yloga(x)的图象可能是()答案B解析若a1，则yax是增函数，yloga(x)是减函数；若0a0，得x4或x2.设tx22x8，yln t为增函数，要求函数f

2、(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间当x(4，)时，函数tx22x8为增函数，函数f(x)的单调递增区间为(4，)故选D6计算：log23log34()log34_.答案4解析log23log34()log343log3423log32224.考向一对数的化简与求值例1(1)(2020海口模拟)千字文是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然已知将1000个不同汉字任意排列，大约有4.02102567种方法，设这个数为N，则lg N的整数部分为()A2566

3、B2567 C2568 D2569答案B解析由题可知，lg Nlg (4.02102567)2567lg 4.02.因为14.0210，所以0lg 4.020，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102.所以m210，所以m.对数运算的一般思路(1)拆：把底数或真数进行变形，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算(2)合：逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的，不能出现log212log2(3)(4)log2(3)log2(4)的错误1(2020青岛质检)已知函数f(x)则f(

4、f(log23)()A9 B1 C D答案B解析f(log23)log232log2311时不满足条件，当0a1时，画出两个函数的大致图象，如图所示可知，只需两图象在上有交点即可，则fg，即2loga，则0a，所以实数a的取值范围为.利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解4函数f(x)loga|x|1(0a1)的图象大致是()答案A解析由于函数f(x)loga|x|1(0a0时，f(x)lo

5、ga|x|1(0a1)是减函数；当x0时，f(x)loga|x|1(0acb BbacCcab Dabc答案D解析因为a01，bln ln ()ln ，cloglog(e)loge，又log1logelog，即c，ln eln bc，故选D(2)(多选)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中可能成立的是()Aabc BbacCcba Dacb答案BCD解析由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cba1.作出函数的图象(如图所示)由图象可知选项B，C，D可能成立(3)(2020全国卷)已知5584,

6、13485.设alog53，blog85，clog138，则()Aabc Bbac Cbca Dcaf(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)答案C解析由题意可得或解得a1或1alogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式8.设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2 B0,2C1，) D0，)答案D解析当x1时，由21x2得1x1，0x1.当x1时，由1log2x2得x，x1.综上，x的取值范围为0，)故选D9(20

7、20北京模拟)已知定义域为R的偶函数f(x)在0，)上是增函数，且f0，则“不等式f(log4x)0的解集”是“”的()A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案C解析定义域为R的偶函数f(x)在0，)上是增函数，且f0，f(log4x)0，即f(log4x)f，即f(|log4x|)f，即|log4x|，即log4x或log4x，解得x2或0x.是的必要不充分条件故选C考向四与对数有关的复合函数问题例5(1)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是_.答案解析当a1时，f(x)loga(8ax)在

8、1,2上是减函数，由f(x)1在区间1,2上恒成立，得f(x)minloga(82a)1，解得1a.当0a1在区间1,2上恒成立，得f(x)minloga(8a)1，得82a4.a不存在综上可知，实数a的取值范围是.(2)(2020海南省高三第一次联考)已知函数f(x)3log2x，x1,16，若函数g(x)f(x)22f(x2)求函数g(x)的定义域；求函数g(x)的最值解函数g(x)f(x)22f(x2)满足解得1x4，即函数g(x)f(x)22f(x2)的定义域为1,4因为x1,4，所以log2x0,2g(x)f(x)22f(x2)(3log2x)262log2x2(log2x)210l

9、og2x15(log2x5)210，当log2x0时，g(x)min15，当log2x2时，g(x)max39，即函数g(x)的最大值为39，最小值为15.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用10.若f(x)lg (x22ax1a)在区间(，1上单调递减，则a的取值范围为()A1,2) B1,2C1，) D2，)答案A解析令函数g(x)x22ax1a(xa)21a

10、a2，对称轴为直线xa，要使函数在(，1上单调递减，则有即解得1a0且a1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在区间0,3上的最小值为2，求实数a的值解(1)依题意得解得2x1，则loga5logatloga9，f(x)minloga52，则a21(舍去)，若0a1，则loga9logatloga5，f(x)minloga92，则a2，又0a1，a.综上，a.一、单项选择题1函数f(x)的定义域是()A(3,0) B(3,0C(，3)(0，) D(，3)(3,0)答案A解析因为f(x)，所以要使函数f(x)有意义，需使即3x0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Al

11、og2x B Clogx D2x2答案A解析由题意知f(x)logax(x0)f(2)1，loga21.a2.f(x)log2x.3(2020北京市平谷区二模)溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pHlg H，其中H表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5102摩尔/升，则胃酸的pH是(参考数据：lg 20.3010)()A1.398 B1.204 C1.602 D2.602答案C解析由题意可得，pHlg (2.5102)(lg 2.5lg 102)(12lg 22)12lg 21.6020.故选C4(2020滨州二模)设a0.30.1，blog，clo

12、g526，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCbac Dcba答案D解析00.30.10.301，0a1，bloglog35，log33log35log39，1blog5252，c2，cba.故选D5在同一直角坐标系中，函数f(x)2ax，g(x)loga(x2)(a0，且a1)的图象大致为()答案A解析由题意，知函数f(x)2ax(a0，且a1)为单调递减函数，当0a1时，函数f(x)2ax的零点x2，且函数g(x)loga(x2)在(2，)上为单调递减函数；当a1时，函数f(x)2ax的零点x2，且x0，又g(x)loga(x2)在(2，)上是增函数综上只有A满足6若loga0

13、且a1)，则实数a的取值范围是()A BC(1，) D(1，)答案D解析因为loga1，所以loga1，则上式显然成立；若0a8(lg 2)2 Dbalg 6答案ACD解析由10a4,10b25，得alg 4，blg 25，ablg 4lg 25lg 1002，balg 25lg 4lg ，balg lg 6，balg 6，ab4lg 2lg 54lg 2lg 48(lg 2)2.故选ACD12(2020泰安三模)已知直线yx2分别与函数yex和yln x的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是()Ax1x22 Bex1ex22eCx1ln x2x2ln x1答案AB

14、C解析函数yex与yln x互为反函数，则yex与yln x的图象关于yx对称，将yx2与yx联立，得x1，y1，由直线yx2分别与函数yex和yln x的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，作出函数图象如图：则A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为(1,1)，对于A，由1，解得x1x22，故A正确；对于B，ex1ex22222e，因为x1x2，即等号不成立，所以ex1ex22e，故B正确；对于C，将yx2与yex联立可得x2ex，即exx20，设f(x)exx2，则函数为单调递增函数，因为f(0)10210，故函数的零点在上，即0x1，由x1x22，则x22，x1ln x2

15、x2ln x1x1ln x2x2ln x1ln x2x2ln x2(x1x2)ln x20，则0x22x1.函数ylog0.6x为(0，)上的减函数，则ylog0.6(x22x)log0.610，所以所求函数的值域为0，)16如图，已知过原点O的直线与函数ylog8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数ylog2x图象交于C，D两点，若BCx轴，则四边形ABDC的面积为_.答案log23解析设点A，B的横坐标分别为x1，x2，由题设知，x11，x21.则点A，B的纵坐标分别为log8x1，log8x2.因为A，B在过点O的直线上，所以，点C，D的坐标分别为(x1，log2x1

16、)，(x2，log2x2)由BC平行于x轴，知log2x1log8x2，即log2x1log2x2，x2x.代入x2log8x1x1log8x2得xlog8x13x1log8x1.由x11知log8x10，x3x1.考虑x11，解得x1.于是点A的坐标为(，log8)，即A，B，C，D.梯形ABDC的面积为S(ACBD)BC2log23.四、解答题17已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)loga(x1)(a0，且a1)(1)求函数f(x)的解析式；(2)若1f(1)1，求实数a的取值范围解(1)当x0时，x0，由题意知f(x)loga(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，

17、f(x)f(x)当x0时，f(x)loga(x1)，函数f(x)的解析式为f(x)(2)1f(1)1，1loga21，logaloga2logaa.当a1时，原不等式等价于解得a2；当0a1时，原不等式等价于解得0a.综上，实数a的取值范围为(2，)18已知函数f(x)log2.(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；(3)若函数f(x)在区间0,1上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围解(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)0，log2(1a)0，a0.当a0时，f(x)x是R上的奇函数所以a0.(2)若函数f

18、(x)的定义域是一切实数，则a0恒成立即a恒成立，由于(，0)，故只要a0，则a的取值范围是0，)(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间0,1上的最大值是f(0)log2(1a)，最小值是f(1)log2.由题设得log2(1a)log22，则log2(1a)log2(4a2)解得a.故实数a的取值范围是.19(2021荆州月考)已知函数f(x)log(x22mx5)(1)若f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；(2)若f(x)在(，2内为增函数，求实数m的取值范围解(1)由f(x)的值域为R，可得ux22mx5能取得(0，)内的一切值，故函数ux22mx5的图象与x轴有公共点，所以4m2200，解得m或m.故实数m的取值范围为(，)(2)因为f(x)在(，2内为增函数，所以ux22mx5在(，2内单调递减且恒正，所以解得2m0得1x3，即函数f(x)的定义域为(1,3)令tx22x3，则tx22x3在(1,1上单调递增，在(1,3)上单调递减又ylog4t在(0，)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1，单调递减区间是(1,3)(2)存在令h(x)ax22x3，则h(x)有最小值1，因此应有解得a.