1、81 基本立体图形第一课时棱柱、棱锥、棱台新课程标准新学法解读利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构1.与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，初步学会运用类比的思想分析和解决问题2.结合身边的实物模型，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，培养数学抽象核心素养.1下列棱锥有6个面的是()A三棱锥B四棱锥C五棱锥 D六棱锥解析：选C由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面故选C.2下面多面体中，是棱柱的共有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选D根据棱柱的结构特征进行判定知，这4个图都满足故选D.3下面四个几何体中，是棱台的是
2、()解析：选C由棱台的结构特征知，两个底面平行且相似，侧面都是梯形侧棱延长应交于一点故选C.4下面属于多面体的是_(将正确答案的序号填在横线上)建筑用的方砖；埃及的金字塔；茶杯；球解析：由多面体的结构特征可知，是多面体，而是旋转体答案：5一个棱柱至少有_个面，顶点最少的一个棱台有_条侧棱解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的棱台是三棱台，它有3条侧棱答案：531可以从以下几个方面理解棱柱(1)棱柱的两个主要结构特征：有两个面互相平行；各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”(2)有两个面互相平行，并不表明只有两个面互相平行，如长方体，有三组对面
3、互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面(3)从运动的观点来看，棱柱也可以看成是一个平面多边形从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，其运动轨迹所形成的几何体(4)棱柱可按底面多边形的边数进行分类，如底面是三角形的棱柱叫做三棱柱注意：棱柱概念的推广斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱，即平行六面体的六个面都是平行四边形长方体：底面是矩形的直棱柱正方体：棱长都相等的长方体2棱锥的两个本质特征(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形注意：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线
4、垂直于底面的棱锥叫做正棱锥，棱锥还可按底面多边形边数进行分类3正确认识棱台的结构特征(1)上底面与下底面是互相平行的相似多边形；(2)侧面都是梯形；(3)侧棱延长线必交于一点注意：各侧面是全等的等腰梯形的是棱台称为正棱台棱台还可按底面多边形的边数进行分类棱柱的结构特征例1下列说法中，正确的是()A棱柱中所有的侧棱都相交于一点B棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 解析A选项不符合棱柱的结构特征；B选项中，如图，构造四棱柱ABCDA1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1平面DCC1D1，但这两个
5、面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的结构特征故选D.答案D棱柱结构特征问题的解题策略(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：两个面互相平行；其余各面是平行四边形；相邻两个四边形的公共边互相平行求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除 变式训练多选下列关于棱柱的说法正确的是()A所有的棱柱两个底面都平行B所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行C有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D棱柱至少有五个面解析：选ABD对于A、B、D，显
6、然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误故选A、B、D.棱锥、棱台的结构特征例2下列关于棱锥、棱台的说法：棱台的侧面一定不会是平行四边形；由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥其中说法正确的序号是_解析正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；错误，如图所示四棱锥被平面截成
7、的两部分都是棱锥答案判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点 变式训练下列说法中，正确的是()棱锥的各个侧面都是三角形；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；棱锥的各侧棱长相等ABC D解析：选B由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱
8、锥，故错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故错故选B.多面体的平面展开图问题例3(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？ 解析(1)由选项验证可知选A.(2)图中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的
9、特点把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以为五棱柱，为五棱锥，为三棱台答案(1)A(2)为五棱柱，为五棱锥，为三棱台多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图 变式训练1变条件，变设问将本例(1)中改为：水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”
10、表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A1 B9C快 D乐解析：选B将图形折成正方体知选B.2变条件，变设问将本例(2)的条件改为：一个几何体的平面展开图如图所示(1)该几何体是哪种几何体？(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？“你”字面相对的是哪个面？解：(1)该几何体是四棱台(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”A级学考合格性考试达标练1四棱柱有几条侧棱，几个顶点()A四条侧棱、四个顶点 B八条侧棱、四个顶点C四条侧棱、八个顶点D六条侧棱、八个顶点解析：选C四棱柱有四条侧棱
11、、八个顶点(可以结合正方体观察求得)故选C.2下面图形中，为棱锥的是()ABC D解析：选C根据棱锥的定义和结构特征可以判断，是棱锥，不是棱锥，是棱锥故选C.3多选下列关于棱柱的说法中不正确的是()A棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形B棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高C棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面D棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行解析：选ABC由棱柱的定义，知A不正确，例如长方体；只有直棱柱才满足选项B的条件，故B不正确；C不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然正确故选A、B、C.4.如图所示，在三棱台ABCABC中，截去三棱锥AABC，则剩余部分是()A三棱锥 B
12、四棱锥C三棱柱 D组合体解析：选B余下部分是四棱锥ABCCB.故选B.5下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选DA、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱故选D.6一个棱台至少有_个面，面数最少的棱台有_个顶点，有_条棱解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱答案：5697一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_cm.解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，每条侧棱长为12 cm.答案：128下列说法正确的是_一个棱锥至少有四个面；如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；五棱锥只有五条棱；
13、用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似解析：正确不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等也可以不等不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱正确答案：9.如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成，有几个面、几个顶点、几条棱？解：这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱10根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下
14、两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱(2)这是一个六棱锥(3)这是一个三棱台B级面向全国卷高考高分练1下列说法中正确的是()A所有的棱柱都有一个底面B棱柱的顶点至少有6个C棱柱的侧棱至少有4条D棱柱的棱至少有4条解析：选B棱柱有两个底面，所以A项不正确；棱柱底面的边数至少是3，则在棱柱中，三棱柱的顶点数是6，三棱柱的侧棱数是3，三棱柱的棱数是9，所以C、D项不正确，B项正确故选B.2一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是()A三棱锥 B四棱锥C五棱锥 D六棱锥解析：选D由题意可知
15、，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60，如果是六棱锥，因为660360，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥故选D.3下列说法正确的是()A多面体至少有3个面B有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形解析：选D一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项A错误；选项B错误，反例如图1；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确故选D.4如图，模块均由4个棱长为1的小正方体构成，模块由15个棱长为1的小
16、正方体构成现从模块中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为()A模块 B模块C模块 D模块解析：选A先补齐中间一层，只能用模块或，且如果补则后续两块无法补齐，所以只能先用补齐中间一层，然后用补齐故选A.5用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是_(填序号)三角形；四边形；五边形；不可能为四边形解析：按如图所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形答案：6.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是_cm.解析：由题意，若以BC为折叠线
17、展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.答案：7.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥(2)SPEFa2，SDPFSDPE2aaa2，SDEFa2.C
18、级拓展探索性题目应用练长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC3，BB15，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线解：沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1 4 .(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1 3.(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1 .相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.第二课时圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体新课程标准新学法解读利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的
19、结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.1.与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，初步学会运用类比的思想分析和解决问题2.结合身边已有的实物模型，认识圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征，发现圆柱、圆锥、圆台的联系，理解共性和个性，培养数学抽象核心素养.1下列几何体中不是旋转体的是()解析：选D由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体故选D.2圆锥的侧面展开图是()A三角形B长方形C正方形 D扇形解析：选D利用圆锥的形成过程可得，圆锥的侧面展开图是扇形故选D.3下列命题：通过圆台侧面上一点，有无数条母线；圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；在圆台上、下两底面的圆周上各
20、取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线相互平行其中正确的是()A BC D解析：选D错误，正确故选D.4日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A一个棱柱中挖去一个棱柱B一个棱柱中挖去一个圆柱C一个圆柱中挖去一个棱锥D一个棱台中挖去一个圆柱解析：选B如图，螺母是一个棱柱中挖去一个圆柱故选B.1圆柱的结构特征(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形(4)过任意两条母线的截面是矩形2圆锥的结构特征(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等(2)平行于底面的截面都是圆
21、(3)过轴的截面是全等的等腰三角形(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形3圆台的结构特征(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点(2)平行于底面的截面是圆(3)过轴的截面是全等的等腰梯形(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形4球的结构特征(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体(2)根据球的定义，铅球是一个球，而足球、乒乓球、篮球、排球等，虽然它们的名字中有“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义，因而都不是球. 5简单组合体由简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体，构成简单组合体的两种基本形式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体裁去或挖去一部
22、分组成旋转体的结构特征例1判断下列各命题是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球解(1)错由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴(2)错直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示(3)正确(4)错应为球面简单旋转体结构特征问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的
23、关键(2)解题时要注意明确两点：明确由哪个平面图形旋转而成；明确旋转轴是哪条直线 变式训练1下列叙述中，正确的个数是()以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球A0B1C2 D3解析：选B应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故错；以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故错；用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故错；正确故选B.2下列命题中正确的是()过球面上任意两点
24、只能作一个经过球心的圆；以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；球面上任意三点可能在一条直线上；球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段A BC D解析：选C任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故错，正确，正确；球面上任意三点一定不共线，故错误；根据球的半径的定义可知正确故选C.简单组合体的结构特征例2如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？ 解旋转后的图形如图所示其中图是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图是由一个圆锥O5O4，
25、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的简单组合体的识别1明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数2会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力 变式训练描述下列几何体的结构特征解：图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.圆柱、圆锥、圆台侧面展开图问题例3如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底
26、面半径为10 cm，轴截面上有P，Q两点，且PA40 cm，B1Q30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形A1B12rr10(cm)过点Q作QSAA1于点S，在RtPQS中，PS80403010(cm)，QSA1B110(cm)PQ 10(cm)即蚂蚁爬过的最短路径长是10 cm.求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得结果 变式训练如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6 m
27、的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程(结果不取近似值)解：ABC为正三角形，BC6，l236，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：6，故n180，则BAC90，BP3(m)，小猫所经过的最短路程是3 m.A级学考合格性考试达标练1如图所示的图形中有()A圆柱、圆锥、圆台和球B圆柱、球和圆锥C球、圆柱和圆台 D棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台故选B.2圆柱的母线长为10，则其高等于()A5 B10C20 D不确定解析：选B
28、圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.故选B.3用平面截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是()A圆柱 B圆锥C球 D圆台解析：选C由球的定义知选C.故选C.4有下列四个说法，其中正确的是()A圆柱的母线与轴垂直B圆锥的母线长等于底面圆直径C圆台的母线与轴平行D球的直径必过球心解析：选DA：圆柱的母线与轴平行；B：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C：圆台的母线延长线与轴相交故选D.5若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是()解析：选D结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误故选D
29、.6正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是_解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体答案：两个同底的圆锥组合体7观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是_(填序号)解析：可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，可看作由两个四棱柱组合而成答案：8一个圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为60，则圆锥的高为_解析：h20cos 6010.答案：109指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体10
30、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长解：设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm.根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm.根据相似三角形的性质，得.解得l9.所以圆台的母线长为9 cm.B级面向全国卷高考高分练1.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A一个球体B一个球体中间挖出一个圆柱C一个圆柱D一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱故选B.2多选下列说法正确的是()A由若干个平面多边形围成的几何体，称做多面体B一
31、条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面C旋转体的截面图形都是圆D圆锥的侧面展开图是一个扇形解析：选ABDA、B为定义，均正确；C错误，因为轴截面截圆柱、圆锥、圆台所得截图形分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；D沿母线剪开后，侧面在平面上的展开图是一个扇形，此说法正确故选A、B、D.3用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A2 B2C.或 D.或解析：选C如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2r8，所以r；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2r4，所以r.故选C.4已知球的两个平行截面的面积分别为5
32、和8，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是()A4 B3C2 D0.5解析：选B如图所示，两个平行截面的面积分别为5，8，两个截面圆的半径分别为r1，r22.球心到两个截面的距离d1 ，d2 ，d1d2 1，R29，R3.故选B.5用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：_(填序号)棱柱；棱锥；棱台；圆柱；圆锥；圆台；球解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥答案：6一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则在图中，可能是截面的是_解析：在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面上，如：当截面过对角面时，得(2)；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得(
33、3)；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得(1)，只要是过球心就不可能截出(4)答案：(1)(2)(3)7一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长解：如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线为x cm，由条件可得圆台上底半径r2 cm，下底半径r5 cm.(1)由勾股定理得h 3(cm)(2)由三角形相似得：，解得x20(cm)答：(1)圆台的高为3 cm；(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.C级拓展探索性题目应用练如右图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下
34、底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值解析：如右图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥连接MB，在圆台的轴截面中，RtOPARtOQB，.OA20(cm)设BOB，由扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，得2102OB，即202(2020)，90.在RtBOM中，BM 50(cm)即所求绳长的最小值为50 cm.82 立体图形的直观图新课程标准新学法解读能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.1.用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，这是画空间几何体的直观图
35、的基础2.充分利用直观图的作图规则，理解好“斜”“二测”的含义.1用斜二测画法画水平放置的ABC时，若A的两边分别平行于x轴，y轴，且A90，则在直观图中A()A45B135C45或135 D90解析：选C在画直观图时，A的两边依然分别平行于x轴，y轴，而xOy45或135.故选C.2用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A原来相交的仍相交 B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行 D原来共点的仍共点解析：选B由斜二测画法规则知，B选项错误故选B.3.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()解析：选A由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为
36、梯形，且梯形两腰不能与底垂直故选A.4.已知ABC的直观图如图所示，则原ABC的面积为_解析：由题意，易知在ABC中，ACAB，且AC6，AB3，SABC639.答案：91对斜二测画法中“斜”“二测”的解读“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x轴成45或135；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴或z轴的线段长度不变；平行于y轴的线段长度变为原来的一半斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出2在直观图中“变”的量与“不变”量(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；(2)点的共线性不变，线的共点性不变，
37、但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；(3)有些线段的度量关系也发生变化. 因此图形的形状发生变化斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.水平放置的平面图形的直观图例1画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系画相应的x轴和y轴，使xOy45，如图所示(2)在x轴上截取OBOB，在y轴上截取ODOD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC.连接BC，如图.(3)所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图如图.画平面图形的直观图的
38、技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段 变式训练用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图解：(1)如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴(2)画对应的x轴、y轴，使xOy45.在x轴上截取OBOCOBOC2 cm，在y轴上取OAOA，连接AB，AC，则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图，如图所示空间图形直观图的
39、画法例2画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图解画法：(1)画轴画Ox轴，Oy轴，Oz轴，xOy45(或135)，xOz90，如图(2)画底面以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高(4)成图顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图画空间图形的直观图的原则(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面，再作z轴与平面xOy垂直(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成
40、平行于x轴的线段并且长度不变(3)平行于y轴的线段画成平行于y轴的线段，且线段长度画成原来的一半(4)平行于z轴的线段画成平行于z轴的线段并且长度不变 变式训练用斜二测画法画出正五棱柱的直观图解：(1)画轴画x轴、y轴和z轴，使xOy45(或135)，xOz90，如图所示(2)画底面按x轴、y轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱过点A，B，C，D，E分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE都相等(4)成图顺次连接A，B，C，D，E，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图所示直观图的还原与计算例3(1)如图，RtOAB是一个平面图形的直观图，若OB，则这个平面
41、图形的面积是()A1B.C2 D4(2)如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11. 试画出原四边形，并求原图形的面积. 解析(1)由题图知，OAB为直角三角形OB，AB，OA2.在原OAB中，OB，OA4，SOAB42.故选C.答案C(2)如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11；OCOC12. 在过点D与y轴平行的直线上截取DA2D1A12.在过点A与x轴平行的直线上截取ABA1B12.连接BC，便得到了原图形(如图)由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰长度为AD2.所以面积为S25.1直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x轴，y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可2直观图与原图
