1、专题限时集训(十七)导数与函数的单调性、极值、最值1函数f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x1Bf(1)121，切点坐标为(1，1)，f (x)4x36x2，所以切线的斜率为kf (1)4136122，切线方程为y12(x1)，即y2x1.2已知函数f(x)的导函数为f (x)，且满足关系式f(x)x23xf (2)ln x，则f (2)的值为()ABCDBf(x)x23xf (2)ln x，f (x)2x3f (2)，令x2，得f (2)43f (2)，解得f (2).3若函数f(x)x2ax在上是增函数，则a的取值范围是()A1
2、,0B1，)C0,3D3，)D由条件知f (x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立，函数y2x在上为减函数，yf(x)cos x，且f(x)f(x)0，设a2f ，bf ，cf ，则()AabcBbcaCacbDcb0，所以函数g(x)在区间(0，)上是增函数，因为f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，g(x)，所以函数g(x)是偶函数，所以gggg，代入解析式得到2f f f ，故ab0恒成立，当a0不恒成立，函数不单调，正确；a，f (x)2x，所以f 1，f1b，所以切线方程为y，即yxb2，设切点横坐标为x0，则ex01，故x00，切点，代入yxb2得b3，错误9已知函数f(x)
3、，若函数f(x)在区间上存在极值，则正实数a的取值范围为_函数f(x)的定义域为(0，)，f (x).令f (x)0，得x1，当x(0,1)时，f (x)0，f(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，f (x)0，f(x)在(1，)上单调递减所以x1为f(x)的极大值点，所以a1a，故a1，即正实数a的取值范围为.10已知f(x)x33x3，g(x)(x1)2a，x10,2，x20,2，使得f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是_x10,2，x20,2，使得f(x1)g(x2)成立，等价于f(x)ming(x)min，f (x)3x23(x1)，故当x0,1)时，f (x)0，故
4、f(x)minf(1)1；当x2时，g(x)取得最小值g(2)a9，所以1a9，即实数a的取值范围是a10.11(2021龙岩三模)若直线ykxb是曲线yex2的切线，也是曲线yex1的切线，则kb()ABCDD设曲线yex2上的点P(x1，y1)，yex2，k1e2；曲线yex1上的点Q(x2，y2)，yex，k2e; l1：ye2xex1e，l2：yexe1x2e，x2ln 2，kbee1x2e1(ln 2).故选D12(2021东莞模拟)已知函数f(x)exax有两个零点x1，x2，有下列判断：ae；x1x21；函数f(x)有极小值点x0，且x1x20在xR上恒成立，f(x)在R上单调递
5、增，不符合题意当a0时，f (x)0，即exa0，解得xln a；f (x)0，即exa0，解得xln a，f(x)在上单调递减，在上单调递增所以当xln a时，f(x)取得极小值也是最小值函数f(x)exax有两个零点x1，x2，f0，eln aaln ae，故中判断不正确函数f(x)的极小值点为x0ln a，要证x1x22x0，只要证x12x0x2f.构造函数gf(x)fexe2ax2ax0(xx0)，求导得到gexe2a22a0，函数g单调递增，g0，g0恒成立，f(x)f，即ff，fff，进而得证x12x0x2x0，x1x22x0，故中判断正确，判断错误 ea2x1x2x1x22ln
6、aln x1x2，根据x1x22x02ln a，可得到ln x1x200x1x20)，令f(t)|CN|2，则f(t)t2(1ln t)2(t0)，所以f (t)2t2(1ln t).令(t)t2ln t1(t0)，易知函数(t)在(0，)上单调递增，且(1)0，所以当0t1时，f (t)1时，f (t)0，所以f(t)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(t)minf(1)2.因为|MN|CN|11，所以线段MN的长度的最小值为1.14已知函数f(x)ax(a2)ln xln a(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求f(x1)f(x2
7、)的最小值解(1)函数f(x)ax(a2)ln xln a(a0)，定义域为(0，)，f (x)a，由f (x)0得：x1或x，若0a1，由f (x)0得，1x0得，0x，函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减；若a2，则1，此时f (x)0恒成立，函数f (x)在(0，)上单调递增；若a2，则01，由f (x)0得，x0得，0x1，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减(2)由(1)可知，f(x)有两个极值点时，a0且a2，不妨设x11，x2，f(x1)f(1)a2ln a，f(x2)f 2a(a2)ln ln a，f(x1)f(x2)(a2)ln 2ln a，设h(x
8、)(x2)ln 2ln x，x(0，)，则h(x)(x2)(ln xln 2)2ln x，h(x)ln xln 21，由h(x)0得0x0得x，函数h(x)在上单调递增，x0时，h(x)minh2ln 2，当a0且a2时，f(x1)f(x2)的最小值为2ln 2.15已知函数f(x)x3ax2，其中参数aR.(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)f(x)(xa)cos xsin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值解(1)由题意得f (x)x2ax，所以当a2时，f(3)0，f (x)x22x，所以f (3)3，因此曲线yf(x
9、)在点(3，f(3)处的切线方程是y3(x3)，即3xy90.(2)因为g(x)f(x)(xa)cos xsin x，所以g(x)f (x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)令h(x)xsin x，则h(x)1cos x0，所以h(x)在R上单调递增因为h(0)0，所以当x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，a)时，xa0，g(x)单调递增；当x(a,0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增所以当xa时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)a3sin a；当x0时，g
10、(x)取到极小值，极小值是g(0)a.当a0时，g(x)x(xsin x)，当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增所以当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sin a.综上所述，当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sin a.10/10
