1、限 时 练(三)一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合 A a，a2，0，B 1，2，若 A B 1，则实数 a 的值为()A.1 B.0C.1 D.1答案 A解析 由于 AB 1，所以 1A.又 aa2，所以 a0 且 a1，从而 a2 1，故 a 1(a 1 舍去).2.如图，在平行四边形 O A B C 中，顶点 O，A，C 在复平面内分别表示 0，32i，2 4i，则点 B 对应的复数为()A.1 6i B.5 2iC.1 5i D.56i答案 A解析 因为O BO AO C，所以O B对应的
2、复数为(3 2i)(24i)16i.故点B 对应的复数为 16i.3.(2021 青岛模拟)在平面直角坐标系中，直线 l 为双曲线 x2 y2 1 的一条渐近线，则()A.直线 l 与圆(x 2)2 y2 1 相交B.直线 l 与圆(x 2)2y21 相切C.直线 l 与圆(x 2)2 y2 2 相离D.直线 l 与圆(x 2)2y22 相切答案 D解析 双曲线 x2y21 的渐近线方程为 x y 0，圆(x 2)2y21 的圆心为(2，0)，半径 r 1，圆心到直线 l：x y 0 的距离 d 1|2 0|12（1）2 2 1，直线l 与 圆(x 2)2 y2 1 相 离.故 选项 A，B
3、不 正确；圆(x 2)2 y2 2 的 圆心 为(2，0)，半径 R 2，圆心到直线 l：x y 0 的距离 d 2|2 0|12（1）2 2，直线l 与圆(x 2)2y22 的位置关系为相切.故选 D.4.(2021 青 岛 模 拟)已 知 正 方 体 A B C D-A 1 B 1 C 1 D 1 的 棱 长 为 2，点 P 在 矩 形 A C C 1 A 1内(包含边界)运动，且P B D 45，则动点 P 的轨迹长度为()A.B.2 C.2 D.2 2 答案 B解析 取 A C 的中点 O，连接 O P，由题意知 B D 平面 A C C 1 A 1，所以要使 P B D45，则只需要
4、使 O P O B 2，所以点 P 的轨迹为如图所示的以 O 为圆心，2 为半径的半圆弧，所以动点 P 的轨迹长度为 2 2，故选 B.5.(2021 湖南四校联考)已知函数 f(x)2s i n(x)0，|2 的部分图象如图所示，则函数 f(x)的单调递减区间为()A.2k 8，2k 38(k Z)B.k 8，k 38(k Z)C.2k 38，2k 78(k Z)D.k 38，k 78(k Z)答案 D解 析 由 题 中 图 象，得2s i n2 1，2s i n8 0，即s i n2 22，s i n8 0.由“五 点 作 图法”知 点8，0为 第 一 个 零 点，所 以2 34，8 0，
5、解 得 2，4，所 以 f(x)2 s i n2x 4.由22k 2x 432 2k(k Z)，得38k x 78k(k Z)，即函数 f(x)的单调递减区间为38k，78k(k Z)，故选 D.6.若 s i n2 c os4 1112，则 t a n2 4 1t a n2 4()A.6 B.6C.3 D.3答案 A解 析 因 为 s i n2 c os4 1 c os2 c os4 1 c os2(1 c os2)1 s i n2 c os2114s i n22 11 c os 481112，所以 c os 4 13，所以 t a n2 4 1t a n2 4s i n2 4c os2 4
6、c os2 4s i n2 41c os2 4 s i n2 42s i n4 22c os 4 6.故 选A.7.(2021 石家庄质检二)算盘是一种手动操作计算辅助工具，它起源于中国，迄今已有 2 600 多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类.现 有一 种算 盘(如 图 1)，共两 档，自右 向 左分 别表 示个 位和 十 位，档中 横以 梁，梁上一珠拨下，记作数字 5，梁下四珠，上拨每珠记作数字 1(例如图 2 中算盘表示 整 数 51).如 果 拨 动 图 1 算 盘 中 的 三 枚 算 珠，则 可 以 表 示 不 同 整 数 的 个 数 为()A.16 B.15C.1
7、2 D.10答案 C解 析 如 果 三 枚 算 珠 都 是 在 个 位，则 可 能 表 示 整 数 为 3，7；如 果 三 枚 算 珠 一 枚在 十 位，两 枚 在 个 位，则 可 能 表 示 整 数 12，16，52，56；如 果 三 枚 算 珠 两 枚 都在 十 位，一 枚 在 个 位，则 可 能 表 示 整 数 21，25，61，65；如 果 三 枚 算 珠 都 在 十位上，则可能表示整数 30，70.所以可以表示的整数有 12 个.8.(2021 江苏调研)定义在 R 上的偶函数 f(x)的导函数为 f(x)，若对任意 x R，都有 2f(x)x f(x)2，则使 x2f(x)f(1)
8、0 时，g(x)x 2 f(x)x f(x)2 0，则函数 g(x)在(0，)上单调递减.因为f(x)是偶函数，所以 g(x)是偶函数，则函数 g(x)在(，0)上单调递增.不等式 x2f(x)f(1)x2 1 可 化为 x2f(x)x2 f(1)1，即 g(x)1，解得 x 1 或 x 1，故选 D.二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的 得0 分.)9.(2021 福州质检)“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有 2 000 多 亿 元 的 餐 桌
9、浪 费，被 倒 掉 的 食 物 相 当 于 2 亿 多 人 一 年 的 口 粮.为 营 造“节约 光荣，浪费可 耻”的氛 围，某 市发起 了“光盘 行动”.某机 构为调 研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了 90 位来店就餐的客人，制 成 如 下 所 示 的 列 联 表，通 过 计 算 得 到 K2的 观 测 值 为 9.已 知 P(K26.635)0.010，P(K210.828)0.001.则下列判断正确的是()认可 不认可40 岁以下 20 2040 岁以上(含 40 岁)40 10A.在该餐厅用餐的客人中大约有 66.7%的客人认可“光盘行动”B.在该餐厅用餐的客人
10、中大约有 99%的客人认可“光盘行动”C.有 99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关答案 A C解析 对于选项 A，随机调查的 90 人中认可“光盘行动”的有 60 人，所以大约有 66.7%的 客 人 认 可“光 盘 行 动”，故 A 正 确，从 而 易 知 选 项 B 错 误；因 为6.635 9 10.828，所以有 99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，所以选项 C 正确，从而选项 D 错误.故选 A C.10.(2021 厦门一检)已知向量 a(m，2)，b(4，3)，下列说法正
11、确的是()A.若 a b，则 m 38B.若 m 0，则 a 与 b 夹角的正弦值为45C.若 ab，则 m 32D.若|ab|13，则 m 8 或 m 16答案 B D解 析 因 为 ab，所 以 3m 8，解 得 m 83，故 A 错 误；因 为 ab，所 以 4m 6 0，解得 m 32，故 C 错误；若 m 0，则 a(0，2)，b(4，3)，c osa，b 62535，所以 s i n a，b 45，故 B 正确；因为 ab(m 4，5)，所以（m 4）252 13，解得 m 8 或 m 16，故 D 正确.故选 B D.11.(2021 湖北一联)已知 F 是椭圆x225y216
12、1 的右焦点，M 为左焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有 21 个不同的点 P i(i 1，2，3，)，使|F P 1|，|F P 2|，|F P 3|，组成公差为 d 的等差数列，则()A.F P M 的面积最大时，t a n F P M 247B.|F P 1|的最大值为 8C.d 的值可以为310D.椭圆上存在点 P，使F P M 2答案 A B C解析 当点 P 为椭圆的短轴端点时，F P M 的面积最大.因为 a 5，b 4，c 3，所以此时 t a n F P M234，所以 t a n F P M 2341342247，所以选项 A 正确；|F P 1|的最大值为 ac 5
13、38，所以选项 B 正确；椭 圆上 的点 到焦 点 的距 离 最 大为 a c 5 3 8，最小 为 a c 5 3 2，假设椭 圆 上 有 n 个 点 符 合 题 意，则 d 82n16n 1(n 21)，所 以 d 310，d 310符 合题意，所以选项 C 正确；当点 P 为椭圆的短轴端点时，F P M 最大，又此时 t a n F P M 247，所以 F P M是锐角，故椭圆上不存在点 P，使F P M 2，所以选项 D 错误.故选 A B C.12.(2021 山东中学联盟联考)棱长为 1 的正方体 A B C D-A 1 B 1 C 1 D 1 中，P 是正方形A D D 1 A
14、 1 内(含边界)的动点，若 P B 1 与 A 1 C 垂直，则下列结论成立的是()A.P B 1 平面 B C 1 DB.动点 P 一定在线段 A D 1 上C.P B 1 1，2D.直线 P B 1 与平面 B B 1 C 1 C 所成角的正弦值可以是32答案 A B解析 如图，分别以 D A，D C，D D 1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系.因为正方体 A B C D-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1，所以 A 1(1，0，1)，C(0，1，0)，B 1(1，1，1)，A 1 C(1，1，1).设 P(x，0，z)(0 x 1，0z 1)，则 P B 1(1
15、 x，1，1 z).因 为 P B 1 A 1 C，所 以 P B 1 A 1 C 0，即(1 x)1(1)(1 z)0，即 xz 1(0 x 1，0z 1)，即点 P 在线段 A D 1 上，所以选项 B 正确；连接 A B 1，B 1 D 1，则 B D B 1 D 1，A D 1 B C 1，又 B 1 D 1平面 B C 1 D，B D 平面 B C 1 D，A D 1 平 面 B C 1 D，B C 1 平 面 B C 1 D，所 以 B 1 D 1 平 面 B C 1 D，A D 1 平 面 B C 1 D.因为 A D 1 B 1 D 1 D 1，所以平面 A B 1 D 1 平
16、面 B C 1 D，又 P B 1 平面 A B 1 D 1，所以P B 1 平面 B C 1 D，所以选项 A 正确；因 为 A B 1 D 1 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，且 点 P 在 线 段 A D 1 上，所 以 当 点 P 为 线段 A D 1 的 中点 时，P B 1 取 得最 小值，且最 小值 为 2 3262，当点 P 在 点 A 或点 D 1 时，P B 1 取 得 最 大 值，且 最 大 值 为 2，所 以 P B 1 62，2，所 以 选 项 C错误；因为 x z 1(0 x 1，0 z 1)，所以 P B 1(1 x，1，1 z)(1 x，1，x)(0 x
17、 1).平 面 B B 1 C 1 C 的 一 个 法 向 量 为 n(0，1，0)，设 直 线 P B 1 与 平 面 B B 1 C 1 C 所 成 的角为，则 s i n|c os P B 1，n|1（1 x）2 1 x212x2 2x 2.若 s i n 32，则12x22x 232，化简得 3x23x 10，因为(3)243 13 0，则 x 0，所以 f(x)l n(x)1 l n(x 1)，所以 f(x)f(x)l n(x 1)，所以 f(1)l n(1 1)l n 2.法二 因为函数 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(x)f(x)，所以 f(1)f(1)l n(1)1 l
18、n 2.14.(2021 广东冲刺)设椭圆 C：x2a2y2b21(a b 0)的右焦点为 F，椭圆 C 上的两 点P，Q 关 于 原 点 对 称，焦 距 为 2 5，|P F|Q F|a，且 P F Q F，则 椭 圆 C 的 方程为 _.答案x28y231解 析 设 椭圆 C 的 左焦 点 为 F，连接 Q F，则由 椭 圆的 对 称性 可 知，|P F|Q F|Q F|Q F|a.又|Q F|Q F|2a，解 得|Q F|3a2，|Q F|a2.由 P F Q F，得F Q F 90.由 勾 股 定 理，得|Q F|2|Q F|2|F F|2，即9a24a24 20，解 得 a 2 2.
19、2 c 2 5，则 c 5，b a2c2 3，因此，椭圆 C 的标准方程为x28y231.15.已 知 函 数 f(x)ax312x2 x x l n x 存 在 两 个 极 值 点，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是_.答案0，13解析 由题意得 f(x)的定义域为(0，)，f(x)3ax2x l n x，因为函数 f(x)有两个极值点，所以 f(x)有两个变号零点.由 f(x)0 得 3ax2 x l n x，即 3a x l n xx2.令 g(x)x l n xx2，则 g(x)x 12l n xx3，易知函数 y x 1 2l n x 是减函数，且当 x 1 时，y 0，所以当
20、0 x 0，g(x)单调递增；当 x 1 时，g(x)0，g(x)单 调 递 减.故 g(x)m a x g(1)1，又 当 0 x 1e时，g(x)1 时，g(x)0，所以要使 f(x)有两个零点，需 0 3 a 1，即 0 a13.16.(2021 大 连 二 模)英 国 著 名 物 理 学 家 牛 顿 用“作 切 线”的 方 法 求 函 数 零 点 时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列 x n 满足 x n 1 x n f（x n）f（x n），则称数列 x n 为牛顿数列.如果函数 f(x)x24，数列 x n 为牛顿数列，设 a n l nx n 2x n 2，且 a
21、1 1，x n 2，则 a 2 0 2 1 _；数 列 a n 的 前 n 项 和 为 S n，则S 2 0 2 1 _.(本题第一空 2 分，第二空 3 分)答案 22 0 2 022 0 2 11解析 数列 x n 是牛顿数列，且 f(x)x2 4，x n 1 x n x2n 42x nx2n 42x n.又a n l nx n 2x n 2，a n 1 l nx n 1 2x n 1 2l nx2n 42x n 2x2n 42x n22l nx n 2x n 2，a n 1 2a n，即数列 a n 是首项为 1，公比为 2 的等比数列.a n 2n1，a 2 0 2 1 22 0 2 0，S 2 0 2 1 1 22 0 2 11222 0 2 11.
