1、第 1 节 变 化 率 与 导 数、导 数 的 计 算考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与 思 想；2.体 会 极 限 思 想；3.通 过 函 数 图 象 直 观 理 解 导 数 的 几 何 意 义；4.能 根 据导数定义求函数 y c，y x，y x2，y x3，y 1x，y x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如 f(ax b)的导数；6.会使用导数公式表.知 识 梳 理1.函数 y f(x)在 x x
2、0 处的导数(1)定义：称函数 y f(x)在 x x 0 处的瞬时变化率f（x 0 x）f（x 0）x y x为 函 数 y f(x)在 x x 0 处 的 导 数，记 作 f(x 0)或 y|x x 0，即 f(x 0)y xf（x 0 x）f（x 0）x.(2)几何意义：函数 f(x)在点 x 0 处的导数 f(x 0)的几何意义是在曲线 y f(x)上点(x 0，f(x 0)处的切线的 斜率.相应地，切线方程为 y y 0 f(x 0)(x x 0).2.函数 y f(x)的导函数如 果 函 数 y f(x)在 开 区 间(a，b)内 的 每 一 点 处 都 有导 数，当 x x 0
3、时，f(x 0)是 一个确 定的 数，当 x 变化 时，f(x)便是 x 的一 个函 数，称它为 f(x)的导 函数(简称 导数)，y f(x)的导函数有时也记作 y，即 f(x)y f（x x）f（x）x.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数f(x)c(c 为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)s i n x f(x)c os _xf(x)c os x f(x)s i n _xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axl n _af(x)l n x f(x)1xf(x)l og a x(a0，a1)f(x)1x l n a4.导数的运算法则若
4、f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0).5.复合函数的导数复合函数 y f(g(x)的导数和函数 y f(u)，ug(x)的导数间的关系为 y x y u u x.常用结论与微点提醒1.f(x 0)代 表 函 数 f(x)在 x x 0 处 的 导 数 值；(f(x 0)是 函 数 值 f(x 0)的 导 数，且(f(x 0)0.2.1f（x）f（x）f（x）2(f(x)0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直
5、线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函 数 y f(x)的 导 数 f(x)反 映 了 函 数 f(x)的 瞬 时 变 化趋 势，其 正 负 号 反 映了 变 化的 方 向，其 大 小|f(x)|反 映 了 变 化 的 快 慢，|f(x)|越 大，曲 线 在 这 点 处 的 切 线 越“陡”.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x 0)是函数 y f(x)在 x x 0 附近的平均变化率.()(2)函数 f(x)s i n(x)的导数 f(x)c os x.()(3)求 f(x 0)时，可先求 f(x 0)，再求 f(x 0).()(4)曲线 y f(x)在某点
6、处的切线与曲线 y f(x)过某点的切线意义是相同的.()解析(1)f(x 0)表示 y f(x)在 x x 0 处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)s i n(x)s i n x，则 f(x)c os x，(2)错.(3)求 f(x 0)时，应先求 f(x)，再代入求值，(3)错.(4)“在 某 点”的 切 线 是 指 以 该 点 为 切 点 的 切 线，因 此 此 点 横 坐 标 处 的 导 数 值 为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.答案(1)(2)(3)(4)2
7、.(老教材选修 22P 19B 2 改编)已知函数 f(x)xx 2，则函数在 x 1 处的切线方程是()A.2 x y 1 0 B.x 2y 2 0C.2 x y 10 D.x 2y 20解析 由 f(x)xx 2，得 f(x)2（x 2）2，又 f(1)1，f(1)2.因此函数在 x 1 处的切线方程为 y 1 2(x 1)，即 2x y 1 0.答案 A3.(多填题)(老教材选修 22P 3 问题 2 改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是 h(t)4.9t2 6.5t 10，则运动员的速度 v _m/s，加速度 a _ m/s2.解析 v h(t)9.8
8、t 6.5，av(t)9.8.答案 9.8t 6.5 9.84.(2019 全国卷)曲线 y 2s i n x c os x 在点(，1)处的切线方程为()A.x y 1 0 B.2 x y 2 1 0C.2 x y 2 10 D.x y 10解析 设 y f(x)2s i n x c os x，则 f(x)2c os x s i n x，曲线在点(，1)处的切线斜率 k f()2，故切线方程为 y 12(x)，即 2x y 2 10.答案 C5.(2019 重庆一中月考)设 f(x)l n(3 2x)c os 2x，则 f(0)_.解析 f(x)232x2s i n 2x，所以 f(0)23
9、.答案 236.(2019 全国卷)曲线 y 3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_.解析 y 3(2 x 1)ex3(x2x)ex3ex(x23x 1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率 k e0 3 3，所以所求切线方程为 y 3x.答案 y 3x考点一 导数的运算 多维探究角度 1 根据求导法则求函数的导数【例 1 1】求下列函数的导数：(1)f(x)x2 xex；(2)f(x)x32x x2l n x 1x2；(3)y x s i n2x 2 c os2x 2.解(1)f(x)（2x 1）ex（x2 x）ex（ex）21 x x2ex.(2)由已知 f(x)x l n x
10、2x1x2.f(x)1 1x2x22x3x3x22x 2x3.(3)y x s i n2x 2 c os2x 2 12x s i n(4 x)12x s i n 4x，y 12s i n 4x 12x 4c os 4x 12s i n 4x 2x c os 4x.角度 2 抽象函数的导数【例 12】已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足关系式 f(x)x23x f(2)l n x，则 f(1)_.解析 因为 f(x)x23x f(2)l n x，f(x)2x 3f(2)1x.令 x 2，得 f(2)4 3f(2)12，则 f(2)94.f(1)13194 0234.答案 234规律方法
11、 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.【训练 1】(1)(角度 1)已知 f(x)l n2x 12x 1，则 f(x)_.(2)(角度 2)(2020 雅礼中学月考)已知函 数 f(x)的导函数是 f(x)，且满足 f(x)2x f(1)l n1x，则 f(1)()A.e B.2 C.2 D.e(3)(角 度 1)(2020 天 津 重 点 学 校 联 考)已 知 函 数 f(x)(x2 a)l n x，f(x)是 函 数 f(x)的
12、导函数，若 f(1)2，则 a_.解析(1)f(x)l n2x 12x 1 12x 12x 12x 12x 1 2x 12x 1（2x 1）（2x 1）（2x 1）（2x 1）（2x 1）244x21.(2)由 已 知 得 f(x)2f(1)1x，令 x 1 得 f(1)2f(1)1，解 得 f(1)1，则 f(1)2f(1)2.(3)由 f(x)(x2a)l n x，得 f(x)2x l n x x2ax.f(1)1 a 2，解得 a 3.答案(1)44x21(2)B(3)3考点二 导数的几何意义【例 2】(1)(2020 安徽江南十校联考)曲线 f(x)1 2l n xx在点 P(1，f(
13、1)处的切 线l 的方程为()A.x y 2 0 B.2 x y 3 0C.3 x y 2 0 D.3 x y 4 0(2)(2019 江苏卷)在平面直角坐标系 x O y 中，点 A 在曲线 y l n x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是 _.解析(1)因为 f(x)12l n xx，所以 f(x)32l n xx2.又 f(1)1，且 f(1)3.故所求切线方程为 y 1 3(x 1)，即 3x y 4 0.(2)设 A(m，n)，则曲线 y l n x 在点 A 处的切线方程为 y n1m(x m).又切线过点(e，1)，所以有
14、 n 1 1m(m e).再由 n l n m，解得 m e，n 1.故点 A 的坐标为(e，1).答案(1)D(2)(e，1)规律方法 1.求曲线在点 P(x 0，y 0)处的切线，则表明 P 点是切点，只需求出函数在 P 处 的 导 数，然 后 利 用 点 斜 式 写 出 切 线 方 程，若 在 该 点 P 处 的 导 数 不 存 在，则切线垂直于 x 轴，切线方程为 x x 0.2.求 曲 线 的 切 线 方 程 要 分 清“在 点 处”与“过 点 处”的 切 线 方 程 的 不 同.切 点 不知道，要设出切点，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.【训 练 2】(1
15、)(多 填 题)(2020 潍 坊 调 研)已 知 函 数 y f(x)对 任 意 的 x R 都 有 f(1 x)2f(x)x2 1，则 f(1)_，曲 线 y f(x)在 点(1，f(1)处 的 切线方程为 _.(2)设曲线 y ex在点(0，1)处的切线与曲线 y 1x(x 0)上点 P 处的切线垂直，则 P的坐标为 _.解析(1)由题可得f（1x）2f（x）x21，f（x）2f（1x）（1x）21，解得 f(x)x223x 23.所以 f(1)1，f(x)2x 23，所以 f(1)83，所以曲线 y f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y 1 83(x 1)，即 8x 3y 5
16、0.(2)函数 y ex的导函数为 y ex，曲线 y ex在点(0，1)处的切线的斜率 k 1 e0 1.设 P(x 0，y 0)(x 0 0)，函数 y 1x的导函数为 y 1x2，曲线 y 1x(x 0)在点 P 处的切线的斜率 k 2 1x20，由题意知 k 1 k 2 1，即 11x201，解得 x20 1，又 x 0 0，x 0 1.又点 P 在曲线 y 1x(x 0)上，y 0 1，故点 P 的坐标为(1，1).答案(1)1 8x 3y 50(2)(1，1)考点三 导数几何意义的应用【例 3】(1)(2019 全国卷)已知曲线 y aex x l n x 在点(1，ae)处的切线
17、方程 为y 2x b，则()A.ae，b1 B.ae，b1C.a e1，b 1 D.a e1，b 1(2)(2019 泉 州 质 检)若 曲 线 y x2与 y al n x(a0)存 在 公 共 切 线，则 实 数 a 的 取值范围是()A.(0，2e B.(0，e C.(，0)(0，2e D.(，0)(0，e 解析(1)y aex l n x 1，k y|x 1 ae 1，切线方程为 y ae(ae 1)(x 1)，即 y(ae 1)x 1.又已知切线方程为 y 2x b，ae 1 2，b 1，即a e1，b 1.(2)设切线在曲线 y x2上的切点坐标为(x 0，x20)，则切线方程为
18、y 2x 0 x x20，切线在 y al n x 上的切点为(x 1，al n x 1)，该切线方程为 y ax 1x a al n x 1由于两曲线有相同的公切线，因此ax 1 2x 0，x20 al n x 1 a，消去 x 0，得 a 4x21 4x21 l n x 1，设 g(x)4x24x2l n x，g(x)4x 8x l n x，得到 g(x)在(0，e12)递增，在(e12，)递减，故 g(x)最大值为 2e.又 x 时，g(x)；当 x 0 时，g(x)0.所以 a 的取值范围为(，0)(0，2e.答案(1)D(2)C规律方法 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切
19、线、切点的三个关系 列 出参 数 的 方 程 并解 出 参 数：(1)切 点 处的 导 数 是 切 线的 斜 率；(2)切 点 在切 线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.【训练 3】(1)(2020 重庆调研)已知直线 y 1m是曲线 y x ex的一条切线，则实数m 的值为()A.1eB.e C.1eD.e(2)(2020 淄 博 联 考)若 函 数 f(x)l n x 2x2 ax 的 图 象 上 存 在 与 直 线 2x y 0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是()A.(，6 B.(，6 2，)C.2，)D.(，6)(2，)解析(1
20、)设切点坐标为n，1m，由 y x ex，得 y(x ex)exx ex.若直线 y 1m是曲线 y x ex的一条切线，y|x n ennen0，解得 n1，因此1m nen1e，故 m e.(2)直线 2x y 0 的斜率 k 2，又曲线 f(x)上存在与直线 2x y 0 平行的切线，f(x)1x4x a2 在(0，)内有解，则 a4x 1x2，x 0.又 4x 1x2 4x 1x4，当仅当 x 12时取“”.a 4 2 2.答案(1)B(2)CA 级 基础巩固一、选择题1.(多选题)下列求导数的运算中正确的是()A.(3x)3xl n 3 B.(x2l n x)2x l n x xC.
21、c os xx x s i n x c os xx2D.(s i n x c os x)c os 2x解析 因为c os xx x s i n x c os xx2，C 项错误，其余都正确.答案 A B D2.(2020 唐 山 模 拟)已 知 函 数 f(x)x2 2x，x 0，x2ax，x 0为 奇 函 数，则 曲 线 f(x)在 x 2处的切线斜率等于()A.6 B.2 C.6 D.8解析 f(x)为奇函数，则 f(x)f(x).取 x 0，得 x2 2x(x2 ax)，则 a 2.当 x 0 时，f(x)2x 2.f(2)2.答案 B3.函数 y ex x 1 在点(0，2)处的切线方
22、程是()A.y 2x 2 B.y 2x 2C.y x 2 D.y x 2解析 函数 y exx 1 的导数为 y ex1，可得在点(0，2)处的切线的斜率为 k 2，所求切线方程为 y 2x 2.答案 B4.(2020 济南调研)若函数 f(x)在 R 上可导，且 f(x)x22f(1)x 3，则()A.f(0)f(4)D.以上都不对解析 函数 f(x)的导数 f(x)2x 2f(1)，令 x 1，得 f(1)2 2f(1)，即 f(1)2，故 f(x)x24x 3(x 2)21，所以 f(0)f(4)3.答案 B5.(2020 安 徽江 南 十校 联 考)若 曲线 y al n x x2(a
23、 0)的 切线 的 倾斜 角 的取 值 范围是3，2，则 a()A.124B.38C.34D.32解析 因为 y al n x x2(a 0，x 0)，所以 y ax 2x 2 2a，当且仅当 x 2a2时取等号.因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是3，2，则斜率 k 3，因此 3 2 2a，所以 a 38.答案 B6.已 知 函 数 f(x)在 R 上 可 导，其 部 分 图 象 如 图 所 示，设f（4）f（2）42a，则下列不等式正确的是()A.a f(2)f(4)B.f(2)a f(4)C.f(4)f(2)aD.f(2)f(4)a解析 由函数 f(x)的图象可知，在 0，)上，函数值的增
24、长越来越快，故该函数图象在 0，)上的切线斜率也越来越大.因为f（4）f（2）42a，所以 f(2)a f(4).答案 B7.(2020 东莞检测)已知直线 y k x 1 与曲线 f(x)l n x 相切，则 k()A.1e2B.1eC.e D.e2解析 由 f(x)l n x，得 f(x)1x，设切点为(x 0，l n x 0)，则l n x 0 k x 0 1，k 1x 0，解得 x 0e2，则 k 1x 01e2.答案 A8.(2020 西安调研)已知函数 f(x)exax 1 的图象与 x 轴相切，则 a()A.1 B.0 C.12D.1解析 设切点坐标为 T(m，0)，由 f(x)
25、ex a，得 f(m)em a 0，则 a em，又 f(m)emam 10，emem m 10，则 em11m，从而可得 m 0，aem 1.答案 A二、填空题9.(2019 天津卷)曲线 y c os x x2在点(0，1)处的切线方程为 _.解析 y s i n x 12，将 x 0 代入，可得切线斜率为12.所以切线方程为 y 112x，即 x 2y 20.答案 x 2y 2010.(2020 珠海六校联考)已知 f(x)2s i n22x 3，则 f 3 _.解析 因为 f(x)2s i n22x 3 1 c os4x 23，所以 f(x)4s i n4x 23，故 f 3 2 3.
26、答案 2 311.(2019 江西八校联考)已知曲线 y 1xl n xa在 x 1 处的切线 l 与直线 2x 3y 0垂直，则实数 a 的值为_.解析 y 1x21ax，当 x 1 时，y 1 1a.由于切线 l 与直线 2x 3y 0 垂直.所以 1 1a 23 1，解得 a 25.答案2512.已 知 函 数 y f(x)的 图 象 在 点(2，f(2)处 的 切 线 方 程 为 y 2x 1，则 曲 线 g(x)x2 f(x)在点(2，g(2)处的切线方程为 _.解析 由题意，知 f(2)2213，g(2)437，g(x)2x f(x)，f(2)2，g(2)2 2 2 6，曲 线 g
27、(x)x2 f(x)在 点(2，g(2)处 的 切 线 方 程 为 y 7 6(x 2)，即 6x y 5 0.答案 6x y 50B 级 能力提升13.(2020 兰 州 检 测)若 曲 线 y ex在 x 0 处 的 切 线 也 是 曲 线 y l n x b 的 切 线，则 b()A.1 B.1 C.2 D.e解析 y ex的导数为 y ex，则曲线 y ex在 x 0 处的切线斜率 k 1，则曲线 y ex在 x 0 处的切线方程为 y 1 x，即 y x 1.设 y x 1 与 y l n x b 相切的切点为(m，m 1).又 y 1x，则1m1，解得 m 1.所以切点坐标为(1，
28、2)，则 2bl n 1，得 b2.答案 C14.给出定义：设 f(x)是函数 y f(x)的导函数，f(x)是函数 f(x)的导函数.若方程 f(x)0 有 实 数 解 x 0，则 称 点(x 0，f(x 0)为 函 数 y f(x)的“拐 点”.已 知 函 数 f(x)5x 4s i n x c os x 的“拐点”是 M(x 0，f(x 0)，则点 M()A.在直线 y 5x 上 B.在直线 y 5x 上C.在直线 y 4x 上 D.在直线 y 4x 上解析 由题意，知 f(x)54c os x s i n x，f(x)4s i n x c os x，由 f(x 0)0，知 4s i n
29、 x 0 c os x 0 0，所以 f(x 0)5x 0，故点 M(x 0，f(x 0)在直线 y 5x 上.答案 B15.(2020 衡水中学调研)已知 f(x)是函数 f(x)的导函数，且对任意的实数 x 都有 f(x)ex(2 x 2)f(x)(e 是自然对数的底数)，f(0)1，则 f(x)_.解析 由 f(x)ex(2 x 2)f(x).得f（x）f（x）ex2x 2，即f（x）ex 2x 2.f（x）exx22x c(c 为常数)，所以 f(x)(x22x c)ex.又 f(0)c 1，故 f(x)ex(x 1)2.答案 ex(x 1)216.(2020 山东省实验中学调研)曲线
30、 y x2l n x 上的点到直线 x y 20 的最短距离是 _.解析 设曲线在点 P(x 0，y 0)(x 0 0)处的切线与直线 x y 20 平行，则 y|x x 0 2x 1x|x x 0 2x 0 1x 0 1.x 0 1，y 0 1，则 P(1，1)，则曲线 y x2 l n x 上的点到直线 x y 2 0 的最短距离 d|1 12|12（1）2 2.答案 2C 级 创新猜想17.(多选题)已知函数 f(x)及其导函数 f(x)，若存在 x 0 使得 f(x 0)f(x 0)，则称 x 0 是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是()A.f(x)x2B.f(x
31、)exC.f(x)l n x D.f(x)t a n x解析 若 f(x)x2，则 f(x)2x，令 x2 2x，得 x 0 或 x 2，方程显然有解，故A 符合要求；若 f(x)ex，则 f(x)ex，令 exex，此方程无解，故 B 不符合要求；若 f(x)l n x，则 f(x)1x，令 l n x 1x，在同一直角坐标系内作出函 数y l n x 与 y 1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程 f(x)f(x)存 在 实 数 解，故 C 符 合 要 求；若 f(x)t a n x，则 f(x)s i n xc os x 1c os2x，令t a n x 1c os2x，化简得 s i n x c os x 1，变形可得 s i n 2x 2，无解，故 D 不符合要求.故选 A C.答案 A C18.(多填题)已知函数 f(x)x2bx c(b，c R)，F(x)f（x）ex，若 F(x)的图象 在x 0 处的切线方程为 y 2x c，则 b _，函数 f(x)的最小值是 _.解析 f(x)2x b，F(x)2 x bex，F(x)22x bex.又 F(x)的图象在 x 0 处的切线方程为 y 2x c.F（0）2 be0 2，F（0）bc，解之得 b c 4.故 f(x)x2 4x 4(x 2)2 0，则 f(x)m i n 0.答案 4 0
