2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数学案（打包15套）北师大版必修4.zip

1§1 周期现象学习目标 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点 周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】 1．(正确的打“√” ，错误的打“×”) (1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第 25个数字是________．解析 观察可知 2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第 25个数字为 2.答案 2题型一 周期现象的判断【例 1】 判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解 (1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为 1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法 周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．2【训练 1】 判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚 7：00 的新闻联播．解 (1)奥运会每 4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每 24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二 周期现象的应用【例 2】 一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中 10天测量的白昼时间统计表(时间近似到 0.1小时)：日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日日期位置序号 x 1 59 80 117 126白昼时间y(时) 5.6 10.2 12.4 15.9 17.3日期6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号 x 172 225 263 298 355白昼时间y(时) 19.4 15.9 12.4 8.5 5.4(1)以日期在 365天中的位置序号 x为横坐标，白昼时间 y为纵坐标，在如图所示的给定的坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于 15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年 6月 21日的白昼时间是多少？解 (1)散点图如图所示，因为从 4月 27日至 8月 13日的白昼时间均超过 15.9小时，所3以该地区一年白昼时间超过 15.9小时的大约有 3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年 6月 21日的白昼时间为 19.4小时．规律方法 收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练 2】 受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤ t≤24，单位：时)的函数，记作 y＝ f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5根据规定，当海浪高度不低于 1米时才对冲浪爱好者开放，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解 由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午 9时至下午 3时，共 6个小时．【例 3】 2017 年 5月 1日是星期一，问 2017年 10月 1日是星期几？解 按照公历记法，2017 年 5、7、8 这三个月份都是 31天，6、9 月份各 30天．从 2017年 5月 1日到 2017年 10月 1日共有 153天，因为每星期有 7天，故由 153＝22×7－1 知，从 2017年 5月 1日再过 154天恰好与 5月 1日相同都是星期一，这一天是公历 2017年 10月 2日，故 2017年 10月 1日是星期日．【迁移 1】 试确定自 2017年 5月 1日再过 200天是星期几？解 由 200＝28×7＋4 知自 2017年 5月 1日再过 200天是星期五．【迁移 2】 从 2017年 5月 1日到 2017年 10月 1日经过了几个星期五？几个星期一？解 因为从 2017年 5月 1日到 2017年 10月 1日的 153天中有 21个完整的周期零 6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了 22个星期五，21 个星期一．【迁移 3】 试确定自 2017年 5月 1日再过 7k＋3( k∈Z)天后那一天是星期几？4解 每隔七天，周一至周日依次循环，故 7k天后为周一，7 k＋3 天后为星期四．规律方法 应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒 计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份 30天，有的月份 31天，二月份有28天(或 29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个解析 月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则 58天后的那一天是星期( )A．五 B．六 C．日 D．一解析 每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故 58天后为周日．答案 C3．共有 50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析 周期为 4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案 直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为 0.4秒，那么运动 4秒，该物体经过了________个周期．解析 4÷0.4＝10，所以经过了 10个周期．答案 105．某班有 48名学生，每天安排 4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解 共有 48名学生，每天安排 4名，则 12个上课日就轮完一遍．一学期有55×20＝100(个)上课日，而 12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日 8次，有部分同学要值日 9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( )①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每 30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年 6月份的平均降雨量．A．①②④ B．②④ C．①② D．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年 6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．答案 C2．把 化成小数，小数点后第 20位是( )17A．1 B．2 C．4 D．8解析 ＝0. 4285 ，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为17 1· 7· 6.∵20＝3×6＋2，∴第 20位为 4.答案 C3．按照规定，奥运会每 4年举行一次.2016 的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( )A．2020 B．2024C．2026 D．2028解析 C 中 2026不是 4的倍数，选 C.答案 C4．把一批小球按 2个红色，5 个白色的顺序排列，第 30个小球是________色．解析 周期为 7,30＝4×7＋2，所以第 30个小球与第 2个小球颜色相同，为红色．6答案 红5．如图所示，变量 y与时间 t(s)的图像如图所示，则时间 t至少隔________ s时 y＝1 会重复出现 1次．答案 26．若今天是星期一，则第 7天后的那一天是星期几？第 120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解 每星期有 7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为 7.∴第 7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第 120天后的那一天是星期二．7．水车上装有 16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水 10升，假设水车 5分钟转一圈，计算 1小时内最多盛水多少升？解 因为 1小时＝60 分钟＝12×5 分钟，且水车 5分钟转一圈，所以 1小时内水车转 12圈．又因为水车上装有 16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水 10升，所以每转一圈，最多盛水 16×10＝160(升，)所以水车 1小时内最多盛水 160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为 60分钟，现在分针恰好指在 2点处，则100分钟后分针指在( )A．8 点处 B．10 点处C．11 点处 D．12 点处解析 由于 100＝1×60＋40，所以 100分钟后分针所指位置与 40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在 2点处，经过 40分钟分针应指在 10点处，故选 B.答案 B9．设钟摆每经过 1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置 A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点 A处 B．点 B处C． O、 A之间 D． O、 B之间7解析 钟摆的周期 T＝1.8 秒，1 分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又 ＜0.6＜ ，所以经过 1分T4 T2钟后，钟摆在 O、 B之间．答案 D10．今天是星期六，再过 100天后是星期________．解析 100＝14×7＋2，∴再过 100天是星期一．答案 一11．一个质点，在平衡位置 O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从 O点开始计时，质点向左运动第一次到达 M点用了 0.3 s，又经过 0.2 s第二次通过 M点，则质点第三次通过 M点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从 O点向左运动， O→ M用了 0.3 s， M→ A→ M用了 0.2 s，由于 M→ O与 O→ M用时相同，因此质点运动半周期 ＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过 M时用时T2应为 M→ O→ B→ O→ M，所用时间为 0.3×2＋0.8＝1.4(s)．答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要 12分钟，其中心 O距离地面 40.5米，半径 40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？(2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？(4)转 60分钟时，你距离地面是多少？解 (1)是周期现象，周期 12分钟/圈．(2)转四圈需要时间为 4×12＝48(分钟)．(3)第 1次距离地面最高需 ＝6(分钟)，而周期是 12分钟，所以第四次距地面最高需12212×3＋6＝42(分钟)．8(4)∵60÷12＝5，∴转 60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A， B， C，…， G)，如图所示，一直到指出第 1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解 通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B， C， D， E， F， G， F， E， D， C， B， A”这 12个字母循环出现，因此周期是 12.先把 1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第 1 999个数的柱子的标号与第 167个周期的第6个数的标号相同，故数到第 1 999个数的柱子的标号是 G.1§2 角的概念的推广学习目标 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)．知识点 1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点 O 从一个位置 OA 旋转到另一个位置 OB所形成的图形．点 O 是角的顶点，射线 OA， OB 分别是角 α 的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：类型 定义正角 按逆时针方向旋转形成的角负角 按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线从起始位置 OA 没有作任何旋转，终止位置 OB 与起始位置 OA 重合，称这样的角为零角【预习评价】 (正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过 1 小时时针转过 30°(×)知识点 2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示 锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示 不一定．如 120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但 120°＜390°.知识点 3 终边相同的角所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{ β |β ＝ α ＋ k·360°，2k∈Z}，即任何一个与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与周角的整数倍的和．【预习评价】 (正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差 180°的整数倍(×)题型一 角的概念的推广【例 1】 写出下图中的角 α ， β ， γ 的度数．解 要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知 α ＝330°，β ＝－150°， γ ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母 α ， β 等表示， “角 α ”或“∠ α ”可以简化为“ α ”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练 1】 (1)图中角 α ＝________， β ＝________；(2)经过 10 min，分针转了________．解析 (1) α ＝－(180°－30°)＝－150°β ＝30°＋180°＝210°.3(2)分针按顺时针转过了周角的 ，即－60°.16答案 (1)－150° 210° (2)－60°题型二 终边相同的角【例 2】 已知 α ＝－1 910°.(1)把 α 写成 β ＋ k×360°(k∈Z,0°≤ β ＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求 θ ，使 θ 与 α 的终边相同，且－720°≤ θ ＜0°.解 (1)－1 910°＝250°－6×360°，其中 β ＝250°，从而 α ＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令 θ ＝250°＋ k×360°(k∈Z)，取 k＝－1，－2 就得到满足－720°≤ θ ＜0°的角，即 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以 θ 为－110°，－470°.规律方法 将任意角化为 α ＋ k·360°(k∈Z，且 0°≤ α ＜360°)的形式，关键是确定 k.可用观察法( α 的绝对值较小时适用)，也可用除以 360°的方法．要注意：正角除以 360°，按通常的除法进行，负角除以 360°，商是负数，且余数为正值．【训练 2】 写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线 OM 上的角的集合为 M＝{ α |α ＝45°＋ k·360°， k∈Z}∪{ α |α ＝225°＋ k·360°， k∈Z}＝{ α |α ＝45°＋2 k·180°， k∈Z}∪{ α |α ＝45°＋(2 k＋1)·180°， k∈Z}＝{ α |α ＝45°＋ n·180°， n∈Z}．同理可得终边在直线 ON 上的角的集合为{ α |α ＝60°＋ n·180°， n∈Z}，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α |45°＋ n·180°≤ α ≤60°＋ n·180°， n∈Z}．【探究 1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，4－2 000°＝－ 6×360°＋160°与 160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与 160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有 2 个．答案 C【探究 2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上 360°的整数倍即可．所以表示为：第一象限角的集合： S＝{ β |β ＝ k·360°＋ α ，0°＜ α ＜90°， k∈Z}，或S＝{ β |k·360°＜ β ＜ k·360°＋90°， k∈Z}．第二象限角的集合： S＝{ β |β ＝ k·360°＋ α ，90°＜ α ＜180°， k∈Z}，或S＝{ β |k·360°＋90°＜ β ＜ k·360°＋180°， k∈Z}．【探究 3】 已知 α 为第二象限角，那么 2α ， 分别是第几象限角？α 2解 ∵ α 是第二象限角，∴90＋ k×360°＜ α ＜180°＋ k×360°，180°＋2 k×360°＜2 α ＜360°＋2 k×360°， k∈Z.∴2 α 是第三或第四象限角，或是终边落在 y 轴的非正半轴上的角．同理 45°＋ ×360°＜ ＜90°＋ ×360°， k∈Z.k2 α 2 k2当 k 为偶数时，不妨令 k＝2 n， n∈Z，则 45°＋ n×360°＜ ＜90°＋ n×360°，此时，α 2为第一象限角；α 2当 k 为奇数时，令 k＝2 n＋1， n∈Z，则 225°＋ n×360°＜ ＜270°＋ n×360°，此时，α 2为第三象限角．α 2∴ 为第一或第三象限角．α 2【探究 4】 已知 α 为第一象限角，求 180°－ 是第几象限角．α 2解 ∵ α 为第一象限角，∴ k·360°＜ α ＜ k·360°＋90°， k∈Z，∴ k·180°＜ ＜ k·180°＋45°， k∈Z，α 2∴－45°－ k·180°＜－ ＜－ k·180°， k∈Z，α 25∴135°－ k·180°＜180°－ ＜180°－ k·180°， k∈Z.α 2当 k＝2 n(n∈Z)时，135°－ n·360°＜180°－ ＜180°－ n·360°，为第二象限角；α 2当 k＝2 n＋1( n∈Z)时，－45°－ n·360°＜180°－ ＜－ n·360°，为第四象限角．α 2∴180°－ 是第二或第四象限角．α 2规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为 0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到 0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2． α ，2 α ， 等角的终边位置的确定方法α 2不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角 α 的范围．(2)利用不等式的性质，求出 2α ， 等角的范围．α 2(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到 k×120°＜ ＜ k×120°α 3＋30°， k∈Z，可画出 0°＜ ＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转α 3动 120°(如图所示)．易错警示 由 α 的范围确定 2α 的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选 D.答案 D62．设 A＝{ θ |θ 为锐角}， B＝{ θ |θ 为小于 90°的角}， C＝{ θ |θ 为第一象限的角}，D＝{ θ |θ 为小于 90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A． A＝ B B． B＝ CC． A＝ C D． A＝ D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为 α ＋ k·360°(0°≤ α 360°， k∈Z)的形式是________________．答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°，∴与 108°终边相同的最大负角为－252°.答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解 设终边落在阴影部分的角为 α ，角 α 的集合由两部分组成．①{ α |k·360°＋30°≤ α k·360°＋105°， k∈Z}．②{ α |k·360°＋210°≤ α k·360°＋285°， k∈Z}．∴角 α 的集合应当是集合①与②的并集：{α |k·360°＋30°≤ α k·360°＋105°， k∈Z}∪{ α |k·360°＋210°≤ α k·360°＋285°， k∈Z}＝{ α |2k·180°＋30°≤ α 2k·180°＋105°， k∈Z}∪{ α |(2k＋1)180°＋30°≤ α (2k＋1)180°＋105°， k∈Z}＝{ α |2k·180°＋30°≤ α 2k·180°＋105°，或(2 k＋1)·180°＋30°≤ α (2k＋1)180°＋105°， k∈Z}＝{ α |n·180°＋30°≤ α n·180°＋105°， n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负” ， “旋转量”决定角的“绝对值大小” ．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{ α |90°＋ k×360°7＜ α ＜180°＋ k×360°， k∈Z}，也可以表示为{ α |－270°＋ k×360°＜ α ＜－180°＋ k×360°， k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495° B．1 350°和 90°C．－220°和 140° D．540°和－810°解析 －220°＝－360°＋140°，∴－220°与 140°终边相同．答案 C2．设 A＝{小于 90°的角}， B＝{锐角}， C＝{第一象限角}， D＝{小于 90°而不小于 0°的角}，那么有( )A． B C A B． B A CC． D( A∩ C) D． C∩ D＝ B解析 锐角、0°～90°的角、小于 90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.角 集合表示锐角 B＝{ α |0°α 90°}0°～90°的角 D＝{ α |0°≤ α 90°}小于 90°的角 A＝{ α |α 90°}第一象限角C＝{ α |k·360°α k·360°＋90°，k∈Z}答案 D3．若 α 是第四象限角，则 180°－ α 是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析 可以给 α 赋一特殊值－60°，则 180°－ α ＝240°，故 180°－ α 是第三象限角．答案 C4．已知角 α ＝－3 000°，则与角 α 终边相同的最小正角是______．解析 ∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为 240°.答案 240°5．在－180°～360°范围内，与 2 000°角终边相同的角是______．解析 因为 2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与 2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．8答案 －160°，200°6．在 0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角．(2)因为 650°＝360°＋290°，所以在 0°～360°范围内，与 650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在 0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是 129°45′角，它是第二象限角．7．写出与 25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤ β ＜－360°的角 β .解 与 25°角终边相同的角的集合为 S＝{ β |β ＝ k·360°＋25°， k∈Z}．令 k＝－3，则有 β ＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令 k＝－2，则有 β ＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令 k＝－1，则有 β ＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( )A．第二象限角比第一象限角大B． A＝{ α |α ＝ k·180°， k∈Z}， B＝{ β |β ＝ k·90°， k∈Z}，则 A BC．若 k·360°α k·360°＋180°( k∈Z)，则 α 为第一或第二象限角D．终边在 x 轴上的角可表示为 k·360°(k∈Z)解析 A 不正确，如－210°30°.在 B 中，当 k＝2 n， k∈Z 时， β ＝ n·180°， n∈Z.∴ A B，∴B 正确．又 C 中， α 为第一或第二象限角或在 y 轴的非负半轴上，∴C 不正确．显然 D 不正确．答案 B9．集合M＝ ， P＝ ，则 M、 P{x|x＝k·180°2 ±45°， k∈ Z} {x|x＝ k·180°4 ±90°， k∈ Z}之间的关系为( )A． M＝ P B． M PC． M P D． M∩ P＝∅9解析 对集合 M 来说， x＝(2 k±1)·45°，即 45°的奇数倍；对集合 P 来说，x＝( k±2)·45°，即 45°的倍数．答案 B10．已知角 α 、 β 的终边相同，那么 α － β 的终边在________．解析 ∵ α 、 β 终边相同，∴ α ＝ k·360°＋ β (k∈Z)．∴ α － β ＝ k·360°，故 α － β 终边会落在 x 轴非负半轴上．答案 x 轴的非负半轴上11．若 α 为第一象限角，则 k·180°＋ α (k∈Z)的终边所在的象限是第________象限．解析 ∵ α 是第一象限角，∴ k 为偶数时， k·180°＋ α 终边在第一象限； k 为奇数时，k·180°＋ α 终边在第三象限．答案 一或三12．求终边在直线 y＝ x 上的角的集合 S.解 因为直线 y＝ x 是第一、三象限的角平分线，在 0°～360°之间所对应的两个角分别是 45°和 225°，所以 S＝{ α |α ＝ k·360°＋45°， k∈Z}∪{ α |α ＝ k·360°＋225°，k∈Z}＝{ α |α ＝2 k·180°＋45°， k∈Z}∪{ α |α ＝(2 k＋1)·180°＋45°， k∈Z}＝{ α |α ＝ n·180°＋45°， n∈Z}．13．(选做题)已知角 α 、 β 的终边有下列关系，分别求 α 、 β 间的关系式：(1)α 、 β 的终边关于原点对称；(2)α 、 β 的终边关于 y 轴对称．解 (1)由于 α 、 β 的终边互为反向延长线，故 α 、 β 相差 180°的奇数倍(如图 1)，于是 α － β ＝(2 k－1)·180°( k∈Z)．(2)在 0°～360°内，设 α 的终边所表示的角为 90°－ θ ，由于 α 、 β 关于 y 轴对称(如图 2)，则 β 的终边所表示的角为 90°＋ θ .于是 α ＝90°－ θ ＋ k1·360°(k1∈Z)，β ＝90°＋ θ ＋ k2·360°(k2∈Z)．两式相加得 α ＋ β ＝(2 k＋1)·180°( k∈Z)．1§3 弧度制学习目标 1.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点 1 弧度制(1)角度制与弧度制的定义角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等于周角的1360弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(2)角的弧度数的计算如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么角 α 的弧度数的绝对值是| α |＝ .lr【预习评价】 (正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√)(2)1°的角是周角的 ，1 rad 的角是周角的 (√)1360 12π(3)1°的角比 1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×)知识点 2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：角度化弧度 弧度化角度360°＝2π rad 2π rad＝360°180°＝π rad π rad＝180°1°＝ rad≈0.017 45 radπ1801 rad＝ °≈57.30°(180π )【预习评价】请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：角度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度 0π180 π 6 π 4 π 3 π 2 2π3 3π4 5π6π3π22π知识点 3 扇形的弧长及面积公式2设扇形的半径为 R，弧长为 l， α (00， l＝ a－2 r0，∴0 r ，a2∴当 r＝ 时， Smax＝ .此时， l＝ a－2· ＝ ，a4 a216 a4 a2∴ α ＝ ＝2.故当扇形的圆心角为 2 rad 时，扇形的面积最大，最大值为 .lr a21613．(选做题)如图所示，点 A 以逆时针方向做匀速圆周运动，已知点 A 每分钟转过 θ 角(0＜ θ ≤π)，经过 2 分钟第一次到达第三象限，经过 14 分钟回到原来位置，求 θ 的大小．解 经过 2 分钟，点 A 转过 2θ 的角，经过 14 分钟，点 A 转过 14θ 的角．10由已知 π＜2 θ ＜ 得 ＜ θ ＜ ，且 14θ ＝2 kπ， k∈Z，3π2 π 2 3π4∴ θ ＝ ， k∈Z.kπ7即 ＜ ＜ ， ＜ k＜ ， k＝4 或 5.π 2 kπ7 3π4 72 214k＝4 时， θ ＝ ； k＝5 时， θ ＝ .4π7 5π714．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性学习目标 1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系.2.掌握任意角的正弦、余弦的定义(重点).3.掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号(重点).4.了解周期函数的概念，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数(难点)．知识点 1 任意角的正弦、余弦函数(1)单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．(2)正弦函数、余弦函数的定义如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角 α ，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点 P(u， v)，那么点 P 的纵坐标 v 叫作角 α 的正弦函数，记作 v＝sin_ α ；点 P 的横坐标 u 叫作角 α 的余弦函数，记作 u＝cos_ α .(3)正弦函数、余弦函数的定义域和值域正弦函数 y＝sin x 和余弦函数 y＝cos x 的定义域为全体实数，值域为[－1,1]．【预习评价】1．若角 α 的终边与单位圆相交于点 ，则 sin α 的值为(22， － 22)( )A. B．－ 22 22C. D．－12 12答案 B2．若角 α 的终边与单位圆相交于点(－ ， )，则 cos α ＝________.12 32答案 －12知识点 2 正弦函数、余弦函数值的符号2【预习评价】记住特殊角的正弦函数、余弦函数值非常重要，试完成下表：x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π3 5π6 π 7π6 4π3 3π2 5π3 11π6 2πy＝sin x012 22 32132 120 －12－32－1 －32－120y＝cos x132 22 120 －12－32－1 －32－12012 321知识点 3 周期函数(1)一般地，对于函数 f(x)，如果存在非零实数 T，对定义域内的任意一个 x 值， f(x＋ T)＝ f(x)都成立．那么就把函数 f(x)称为周期函数， T 叫作这个函数的周期．(2)y＝sin x 的周期为 2kπ， k∈Z，最小正周期为 2π.y＝cos x 的周期为 2kπ， k∈Z，最小正周期为 2π.【预习评价】如果存在非零常数 T，对于函数 f(x)，若存在 x 值有 f(x＋ T)＝ f(x)，则函数 f(x)是周期函数吗？提示 不一定，如函数 f(x)＝ x2，存在非零常数 T＝4，存在 x＝－2，使得f(－2＋4)＝ f(－2)，但是函数 f(x)＝ x2不是周期函数.题型一 三角函数定义的应用【例 1】 已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，若 P(4， y)是角 θ 终边上一点，且 sin θ ＝－ ，则 y＝________.255解析 因为 sin θ ＝ ＝－ ，y42＋ y2 255所以 y0，则 θ 在( )A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第一、四象限 D．第二、四象限答案 B2．已知 α 是第二象限角， P(x， )为其终边上一点，且 cos α ＝ x，则 x 等于( )524A. B．±3 3C．－ D．－2 3解析 依题意得 cos α ＝ ＝ x＜0，xx2＋ 5 24由此解得 x＝－ .3答案 D3．下列函数中，周期为 的是( )π 2A． y＝sin B． y＝sin 2 xx2C． y＝cos D． y＝cos(－4 x)x4解析 A 选项中， f(x＋ )＝sin ＝sin( ＋ )，不满足对任意 x， f(x＋ )＝ f(x)；π 2 x＋ π 22 x2 π 4 π 2B 选项， f(x＋ )＝sin 2( x＋ )＝sin (2 x＋π)，不满足对任意 x， f(x＋ )＝ f(x)；π 2 π 2 π 2C 选项， f(x＋ )＝cos (x＋ )＝cos( ＋ )，不满足对任意 x， f(x＋ )＝ f(x)；π 2 14 π 2 x4 π 8 π 28D 选项， f(x＋ )＝cos ＝cos(－4 x－2π)＝cos(－4 x)＝ f(x)，∴选 D.π 2 [－ 4 x＋ π 2 ]答案 D4．已知 f(x)是 R 上的奇函数，且 f(1)＝2， f(x＋3)＝ f(x)，则 f(8)＝________.解析 ∵ f(x＋3)＝ f(x)，∴ f(x)是周期函数，3 就是它的一个周期，且 f(－ x)＝－ f(x)．∴ f(8)＝ f(2＋2×3)＝ f(2)＝ f(－1＋3)＝ f(－1)＝－ f(1)＝－2.答案 －25．下列说法中，正确的为________．①终边相同的角的同名三角函数值相等；②终边不同的角的同名三角函数值不全相等；③若 sin α ＞0，则 α 是第一、二象限角；④若 α 是第二象限角，且 P(x， y)是其终边上的一点，则 cos α ＝ .－ xx2＋ y2解析 三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系，故①②都是正确的；当 α 的终边与 y 轴的非负半轴重合时，sin α ＝1＞0，故③是不正确的；无论α 在第几象限，cos α ＝ ，故④也是不正确的．xx2＋ y2答案 ①②6．确定下列三角函数值的符号：(1)sin ；(2)cos(－925°)．39π12解 (1)∵ ＝2π＋ ，且 是第三象限角，39π12 15π12 15π12∴ 是第三象限角；∴sin ＜0.39π12 39π12(2)∵－925°＝－3×360°＋155°，∴－925°是第二象限角．∴cos(－925°)＜0.7．已知角 α 的终边经过点 P(－3cos θ ，4cos θ )，其中θ ∈ (k∈Z)，求角 α 的正弦函数值及余弦函数值．(2kπ ＋π 2， 2kπ ＋ π )解 ∵ θ ∈(2 kπ＋ ，2 kπ＋π)( k∈Z)，π 2∴cos θ ＜0.又 x＝－3cos θ ， y＝4cos θ ，∴ r＝ ＝ ＝－5cos θ .x2＋ y2  － 3cos θ  2＋  4cos θ  2∴sin α ＝－ ，cos α ＝ .45 359能力提升8．已知角 α 的终边过点 P(－8 m，－6sin 30°)，且 cos α ＝－ ，则 m 的值为( )45A．－ B.12 12C．－ D.32 32解析 ∵ r＝ ，64m2＋ 9∴cos α ＝ ＝－ ，－ 8m64m2＋ 9 45∴ m0，∴ ＝ ，即 m＝ .4m264m2＋ 9 125 12答案 B9．当 α 为第二象限角时， － 的值是( )|sin α |sin α cos α|cos α |A．1 B．0C．2 D．－2解析 ∵ α 为第二象限角，∴sin α 0，cos α 0，(1)求角 α 的集合；(2)求角 的终边所在的象限；α 210(3)试判断 sin ，cos 的符号．α 2 α 2解 (1)∵cos α 0，∴角 α 的终边可能位于第一或第二象限或 y 轴非负半轴上，∴角 α 的终边只能位于第二象限．故角 α 的集合为{ α | ＋2 kπ0，cos 0；α 2 α 2 α 2当 是第三象限角时，sin 0，cos 0.α 2 α 2 α 213．(选做题)已知 ＝－ ，且 lg(cos α )有意义．1|sin α | 1sin α(1)试判断角 α 所在的象限；(2)若角 α 的终边上一点是 M( ， m)，且| OM|＝1( O 为坐标原点)，求 m 的值及35sin α 的值．解 (1)由 ＝－ ，1|sin α | 1sin α可知 sin α ＜0，由 lg(cos α )有意义可知 cos α ＞0，∴角 α 是第四象限角．(2)∵| OM|＝1，∴ 2＋ m2＝1，解得 m＝± .(35) 4511又 α 是第四象限角，故 m＜0，从而 m＝－ .45由正弦函数的定义可知 sin α ＝ ＝ ＝ ＝－ .yr m|OM| － 451 45