1、考点24：空间几何体的体积及表面积【题组一体积】1如图，在四棱锥S-ABCD中，正SBD所在平面与矩形ABCD所在平面垂直（1）证明：S在底面ABCD的射影为线段BD的中点；（2）已知AB=4，AD=2，E为线段BD上一点，且CEBD，求三棱锥E-SAD的体积【答案】（1）证明见解析；（2）161515.【解析】证明：设线段BD的中点为O，连接SO，如图因为SBD为正三角形，所以SOBD，因为平面SBD平面ABCD，平面SBD平面ABCD=BD，SO平面SBD，所以SO平面ABCD，即S在底面ABCD的射影为线段BD的中点（2）解：在RtBCD中，BC=AD=2，CD=AB=4，则BD=25，
2、因为CEBD，所以BC2=BEBD，即22=BE25，则BE=255，从而BEBD=15，即DEBD=45所以SADE=45SABD=165由（1）知SO平面ABCD，且SO=32BD=15，所以VE-SAD=VS-ADE=1316515=1615152如图，在四棱锥中，底面是菱形，点在线段上，且，为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1），为的中点，又底面是菱形，为等边三角形，又，平面，（2），又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，又，.3如图1，为等边三角形，分别为的中点，为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，为的中点
3、，如图2（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】证明：（1）取线段的中点为，连接，在中，分别为，的中点，所以，又，分别是，的中点，所以，所以，所以四边形为平行四边形，又因为平面，平面，所以平面（2）因为为的中点，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为为等边三角形，则，由图得，设点到平面的距离为，即：，则有，所以点F到平面的距离为4如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上（）求证：；（）若是线段上一点，三棱锥的体积为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】（1）平面，平面，在直三棱柱中易知平面，平面，平面，.（2）设，过点作于点，由（1）知
4、平面，.，.平面，其垂足落在直线上，在中，又，在中，.又三棱锥的体积为，解得.，.5在三棱柱中，分别为，中点（1）求证：面；（2）若面面，为正三角形，求四棱锥的体积【答案】（1）见解析（2）1【解析】（1）连结，因为、分别为、中点在三棱柱中，所以所以四边形为平行四边形所以，因为平面，平面所以面（2）因为为正三角形，为的中点所以因为平面平面，平面平面所以平面所以为三棱柱的高因为，为正三角形，所以6如图，在三棱柱中，是棱的中点.（1）证明：平面；（2）若是棱的中点，求三棱锥的体积与三棱柱的体积之比.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：连接AC1交A1C于点O，连接OD，CC1AA1，C
5、C1AA1，四边形AA1C1C是平行四边形，O是AC1的中点，又D是AB的中点，ODBC1，又OD平面A1CD，BC1平面A1CD，BC1平面A1CD（2）设三棱柱A1B1C1ABC的高为h，则三棱柱A1B1C1ABC的体积VSABCh，又VVV，VVSABCh，V，CC1BB1，CC1平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，CC1平面ABB1A1，VV，SS，VV，三棱锥CAA1E的体积与三棱柱A1B1C1ABC的体积之比为7如图所示，正三棱锥的高为2，点是的中点，点是的中点. （1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1
6、）如图，连接，因为是的中点，是的中点，所以在中，, 平面，平面，所以平面. （2）解：由等体积法，得，因为是的中点，所以点到平面的距离是点，到平面的距离的一半.如图，作交于点，由正三棱柱的性质可知，平面.设底面正三角形的边长，则三棱锥的高， ,所以，解得，所以该正三棱柱的底面边长为.8如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE平面ABCD，DFBE，且DF2BE2，EF3.（1）证明：平面ACF平面BEFD（2）若cosBAD=15，求几何体ABCDEF的体积【答案】（1）见解析;（2）VABCDEF=26.【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形，ACBDBE平面ABCDBEA
7、CAC平面BEFD平面ACF平面BEFD（2）设AC与BD的交点为O，AB=a(a0)，由（1）得AC平面BEFD，BE平面ABCDBEBD，DF/BE，DFBD，BD2=EF2-(DF-BE)2=8，BD=22S四边形BEFD=12(BE+DF)BD=32，cosBAD=15，BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=85a2=8a=5，OA2=AB2-OB2=3，OA=3VABCDEF=2VA-BEFD=23S四边形BEFDOA=26.【题组二表面积】1如图所示，四棱锥中，平面，（1）求证：；（2）求四棱锥的表面积【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）如图，取中点，连结，因为，所以
8、为正三角形，所以又因为为等腰三角形，所以，所以、三点共线，所以又平面，平面，所以，所以平，平面，所以（2）由（1）知，所以，2如图，在四棱锥中，平面.（）求证：平面；（）求四棱锥的表面积.【答案】（）见解析（）【解析】（）因为平面，平面，平面，所以，因为，所以.因为，所以，所以，由，可得，平面.（）由题意可知，由（）可知，平面，平面，所以，同理可得，又，所以，所以四棱锥的表面积.3如图，在四棱锥中，为等腰三角形的底边中点，平面与等腰梯形所在的平面垂直，.（1）求证：平面；（2）若三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）过点，作，交于.由已知得，所以因为
9、，所以，所以，所以，所以.由已知得，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，因为，平面. （2）在中，由余弦定理可得，同理，因为，所以，又因为所以所以，所以，所以三棱锥的侧面积为.【题组三求参数】1在菱形中，为线段的中点（如图1）将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图2）（）求证：；（）求证：平面；（）当四棱锥的体积为时，求的值【答案】（）见解析. （）见解析. （）.【解析】（）证明：因为在菱形中，为线段的中点，所以因为平面平面平面平面，平面，所以平面因为平面，所以（）证明：如图，取为线段的中点，连接OP,PM；因为在中，分别是线段，的中点，所以，因为是线段的中点，菱形中，
10、所以所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（）由（）知平面所以是四棱锥的高，又S= ,因为，所以2在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，, 分别为的中点，过的平面与面交于两点.（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）设，当为何值时四棱锥的体积等于，求的值.【答案】（1）见证明；（2）见证明；（3）【解析】（1）在平行四边形中，由分别为的中点，得因为面，面.所以面.过的平面与面交于.所以.（2）证明：在平行四边形中，因为，所以.由（1）得，所以.因为侧面底面，且，面面且面所以底面. 又因为底面，所以.又因为，平面，平面，所以平面. 所以平面. 所以平面平面（3）
11、由题得 ,.所以,因为所以.【题组四求最值】1如图，圆台的轴截面为等腰梯形，圆台的侧面积为.若点C，D分别为圆，上的动点且点C，D在平面的同侧.（1）求证：；（2）若，则当三棱锥的体积取最大值时，求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）设，的半径分别为，因为圆台的侧面积为，所以，可得.因此，在等腰梯形中，.如图，连接线段，在圆台中，平面，平面，所以.又，所以在中，.在中，故，即.（2）由题意可知，三棱锥的体积为，又在直角三角形中，所以当且仅当，即点D为弧的中点时，有最大值.过点C作交于点M，因为平面，平面，所以，平面，平面，所以平面.又，则点C到平面的距离，所以四棱锥的体积
12、.综上，当三棱锥体积最大值时，多面体2在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点（1）证明：平面；（2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：连接与交于，连接，因为是菱形，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面平面，所以平面（2）解：取中点，连接，因为四边形是菱形，且，所以，又，所以平面，又平面，所以同理可证：，又，所以平面，所以平面平面，又平面平面，所以点到直线的距离即为点到平面的距离，过作直线的垂线段，在所有垂线段中长度最大为，因为为的中点，故点到平面的最大距离为1，此时，为的中点，即，所以，所以3如图，将斜边长为的等腰直
13、角沿斜边上的高折成直二面角，为中点.（1）求二面角的余弦值；（2）为线段上一动点，当直线与平面所成的角最大时，求三棱锥外接球的体积.【答案】（1）.（2）【解析】解法一：（1）设为中点，连接.为等腰直角三角形，且二面角为直二面角，平面，由平面几何可知，就是二面角的平面角，在中，二面角的余弦值为.（2）设直线与平面所成的角为，点到平面的距离为，则，在三棱锥中，由，求得，当最小时，直线与平面所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大，当为中点时，直线与平面所成的角最大，此时.由平面几何知识可知，和都是直角三角形，设为的中点，则，三棱锥外接球的半径为，外接球的体积.解法二：（1）为等腰直角三角形，且二面
14、角为直二面角，平面，以为坐标原点，以所在直线为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系.在平面图形中，是斜边为的等腰直角三角形，且为高的中点，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，由，得，令，则，同理可求得，二面角的余弦值为.（2）如图，设，可得，又由（1）可知平面的法向量为，即直线与平面所成的角的正弦值为，当且仅当时，等号成立.当为中点时，直线与平面所成的角最大，此时.由平面几何知识可知，和都是直角三角形，设为的中点，则，三棱锥外接球的半径为，外接球的体积.4如图所示，在三棱柱中，平面是线段上的动点，是线段上的中点.（）证明：；（）若，且直线所成角的余弦值为，试指出点在线段上的位置，并求三棱锥
15、的体积.【答案】（）见解析；（）.【解析】（）因为，所以平面ABC.而平面BC,所以平面平面BC.因为线段的中点为，且是等腰三角形，所以而平面ABC, 平面ABC平面BC=BC ,所以.又因为，所以（），则.，即.又，所以，故，所以是直角三角形.在三棱柱中，直线所成角的余弦为，则在中，所以. 在中，所以.因为，所以点是线段的靠近点的三等分点.因为所以.5现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）31
16、2（2）【解析】（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因为A1B1=AB=6，所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.（2）设A1B1=a（m），PO1=h（m），则0h6，OO1=4h.连结O1B1.因为在中，所以，即于是仓库的容积，从而.令，得或（舍）.当时，V是单调增函数；当时，V是单调减函数.故时，V取得极大值，也是最大值.因此，当m时，仓库的容积最大.6如图，在四棱锥中，平面, ，,是线段的中点.（1）证明：平面（2）当为何值时，四棱锥的体积最大？并求此最大值【答案】（1）见解析（2
17、）当PA4时，体积最大值为16【解析】（1）取PD中点N，连接MN，CN，M是AP的中点，MNAD且MN，ADBC，AD2BC，MNBC，MNBC，四边形MNCB是平行四边形，MBCN，又BM平面PCD，CN平面PCD，BM平面PCD；（2）设PAx（0x4），PA平面ABCD，PAAB，AB，又ABAD，AD2BC4，VPABCD16，当且仅当x，即x4时取等号，故当PA4时，四棱锥PABCD的体积最大，最大值为16【题组五历史中的空间几何体】1朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作四元玉鉴是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.四元玉鉴下卷“杂范
18、类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何？”大意为现有一个直径为10的球，从上面截一小部分，截面圆周长为8.4，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则四元玉鉴中此题答案为（）（注：）A0.2B0.4C0.6D0.8【答案】A【解析】设截面圆半径为，截下来的几何体高为，若以3作为圆周率，则，又，故，故选：A.2鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）ABCD【答案】A【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为.故选：A.
