1、题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,点A的坐标为(b,0),且|FB|AB|=62.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若|AQ|PQ|=524sinAOQ(O为原点),求k的值.2.(2021广西师大附属外国语学校高三月考)已知直线l:y=x+m交抛物线C:y2=4x于A,B两点.(1)设直线l与x轴的交点为T.若AT=2TB,求实数m的值;(2)若点M,N在抛物线C上,且关于直线l对称,求证:A,B,M,N四点共圆.3.已知椭圆C
2、:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(c,0),离心率为22,且经过点1,62,点M为椭圆C上的动点.(1)求点M到点D(1,0)的最短距离与最长距离;(2)设直线l:y=x+n与椭圆C相交于A,B两点,则是否存在点P(2,m),使ABP的内切圆恰好为圆x2+y2=1?并说明理由.4.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,QM=QO,QN=QO,求证:1+1为定值.5.(2021江苏南通高三检测)如图,在平面直角坐标系xOy
3、中,已知等轴双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点A,过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B,C两点,若ABC的面积为2+1.(1)求双曲线E的方程;(2)若直线l:y=kx-1与双曲线E的左、右两支分别交于M,N两点,与双曲线E的两条渐近线分别交于P,Q两点,求|MN|PQ|的取值范围.6.(2021广西梧州高三检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短半轴长为2,M为椭圆C上一点,|FM|的最小值为2-2.(1)求椭圆C的标准方程及离心率.(2)若过点P(0,4)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,试问:在y轴上是否存在异于点P的定点Q,满足|PA|P
4、B|=|QA|QB|?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.答案:1.解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2a2=59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=2b.由|FB|AB|=62,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为x29+y24=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1y20,故|PQ|sinAOQ=y1-y2.又因为|AQ|=y2sinOAB,而OAB=4,故|AQ|=2y2.由|AQ|PQ|=524sinAOQ,可得5y1=9y2.由方程组y=kx(k0),x29+y24=1,
5、消去x,可得y1=6k9k2+4.易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组y=kx(k0),x+y-2=0,消去x,可得y2=2kk+1.由5y1=9y2,可得5(k+1)=39k2+4,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=12,或k=1128.所以,k的值为12或1128.2.解:由y=x+m,y2=4x得y2-4y+4m=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,y1y2=4m.因为直线l与抛物线C相交于A,B两点,所以=16-16m0,得m1.(1)因为直线l与x轴的交点为T,所以T(-m,0).由AT=2TB,得y1+2y2=0,所以4+y2=0
6、,解得y2=-4,从而y1=8.因为y1y2=4m,所以4m=-32,解得m=-8.-80,解得a=2,c=b=2.故椭圆C的方程为x24+y22=1.设M(x0,y0)(-2x02)到点D的距离为d,则d2=(x0-1)2+y02=12x02-2x0+3,所以当x0=2时,d2取得最小值,即d取得最小值,最小值为1;当x0=-2时,d2取得最大值,即d取得最大值,最大值为3.所以点M到点D的最短距离与最长距离分别为1,3.(2)假设存在点P(2,m),使得ABP的内切圆恰好为圆x2+y2=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,因为直线l与圆x2+y2=1相切,所以|n|2=1,
7、所以n=2.当n=2时,直线l的方程为y=x+2,由y=x+2,x24+y22=1,得3x2+42x=0,解得x1=0,x2=-423,所以A(0,2),B-423,-23.因为AO(O为坐标原点)为BAP的角平分线,所以kAP=-kAB=-1,所以kAP=2-m0-2=-1,解得m=0,即P(2,0),所以直线BP的方程为x-7y-2=0.因为圆心到直线BP的距离为|2|12+72=151,所以BP不是圆的切线.所以不存在点P,使ABP的内切圆恰好为圆x2+y2=1.同理,当n=-2时,也不存在点P,使ABP的内切圆恰好为圆x2+y2=1.综上,不存在点P(2,m),使ABP的内切圆恰好为圆
8、x2+y2=1.4.(1)解:因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k0).由y2=4x,y=kx+1,得k2x2+(2k-4)x+1=0.依题意,=(2k-4)2-4k210,解得k0或0k0,b0)为等轴双曲线,所以a=b.设双曲线E的焦距为2c,c0,故c2=a2+b2=2a2,即c=2a.因为直线BC过右焦点F,且垂直于x轴,设B(xB,yB),所以xB=c=2a,代入x2a2-y2b2=1,可得|yB|=a,故|BC|=2a.因为ABC的面积为2+1,所以12
9、|BC|AF|=2+1,即122a(a+c)=2+1,所以a2=1,a=1,故双曲线E的方程为x2-y2=1.(2)依题意,直线l:y=kx-1与双曲线E的左、右两支分别交于M,N两点,设M(xM,yM),N(xN,yN),联立x2-y2=1,y=kx-1,消去y,可得(1-k2)x2+2kx-2=0,所以1-k20,=(2k)2-4(1-k2)(-2)0,xMxN=-21-k20,解得-1k1,且xM+xN=-2k1-k2,xMxN=-21-k2.所以|MN|=(xM-xN)2+(yM-yN)2=1+k2|xM-xN|=1+k2(xM+xN)2-4xMxN=1+k2-2k1-k22-4-21
10、-k2=21+k22-k21-k2.依题意,直线l与双曲线E的两条渐近线分别交于P,Q两点,设P(xP,yP),Q(xQ,yQ).联立y=x,y=kx-1,得xP=1k-1,同理xQ=1k+1,所以|PQ|=1+k2|xP-xQ|=1+k21k-1-1k+1=21+k21-k2.所以|MN|PQ|=21+k22-k21-k221+k21-k2=2-k2,其中-1k0,得k142,则x1+x2=-16k2k2+1,x1x2=282k2+1.若在y轴上存在异于点P的定点Q,使得|PA|PB|=|QA|QB|,则AQB的平分线与x轴平行.设直线QA与直线QB的斜率分别为kQA,kQB,则kQA+kQB=0.设Q(0,t),则kQA+kQB=y1-tx1+y2-tx2=(y1-t)x2+(y2-t)x1x1x2=(kx1+4-t)x2+(kx2+4-t)x1x1x2=2k+(4-t)(x1+x2)x1x2=2k+-4k(4-t)7=2k(2t-1)7=0,所以t=12,即Q0,12.当直线l的斜率不存在时,由对称性,显然有|PA|PB|=|QA|QB|.综上,在y轴上存在点Q0,12,使得|PA|PB|=|QA|QB|.