1、考点26 空间向量求空间角【思维导图】【常见考法】考法一 线线角1在正方体中，为棱上一点且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为：故选：B2如图，直三棱柱的侧棱长为3，点，分别是棱，上的动点，且，当三棱锥的体积取得最大值时，则异面直线与所成的角为（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则，当且仅当，即时等号成立，即当三棱锥的体积取得最大值时，点，分别是棱，的中点，方法一：连接，则，因为，所以即为异面直线与所成的角，由余弦定理得，方法二：以为坐标原点，以、分别为轴、轴、轴
2、建立空间直角坐标系，则，所以，所以异面直线与所成的角为故选：C3三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设棱长为1，由题意得：，又即异面直线与所成角的余弦值为：本题正确选项：4如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）若点是棱上一点，且，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）以点为原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，故，与所成角的余弦值为（2）解：设，则，即，又，即，故，考法二 线面角1如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，且求证：平面BDEF；求直线
3、AD与平面ABF所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】（1）设与相交于点，连接，四边形为菱形，且为中点，又，平面.（2）连接，四边形为菱形，且，为等边三角形，为中点，又，平面.，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，设，四边形为菱形，.为等边三角形，.，.设平面的法向量为，则，取，得.设直线与平面所成角为，则.2在直角三角形中，、分别在线段、上，.沿着将折至如图，使.（1）若是线段的中点，试在线段上确定点的位置，使面；（2）在（1）条件下，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）为的中点（2）【解析】（1）取的中点，连接，因为，设，则是梯形的中位线，故，因为面面所以面，同理
4、可证面，又面，所以面面，所以面，即为的中点时，面；（2）因为三角形中，.所以，由，易知，所以，又，所以，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，所以.又.设平面的法向量，即，令，则，所求的一个法向量，设直线与平面所成角为，所以，故与平面所成角的正弦值为.3如图，在中，现沿的中位线将翻折至，使得二面角为.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）因为，所以，所以平面，平面，所以.（2）解法一：取中点，在平面内过作于，连接，由（1）可知，平面，平面平面，平面，为与平面所成的角，由（1）可知为二面角的平面角，即，且，在中，在中，直线与平面所成角的
5、正弦值也为.解法二：由（1）得平面，因为，所以平面，以为原点，分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，由，即，令，则，所以，设与平面所成角为，则.直线与平面所成角的正弦值也为.4如图，梯形中，过分别作，垂足分别，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图1若，证明：平面；2若，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，由已知得，平面又平面BDE，又，平面2在图2中，即面DEFC，在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，由题意得，由勾股定理可得，则，过E作交D
6、C于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设平面ACD的一个法向量为，由得,取得，设，则m，得设CP与平面ACD所成的角为，所以考法三 二面角1已知四棱柱的底面是边长为的菱形，且，平面，于点，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：，是中点，取中点，连，如下图所示：则在菱形中，/，/，/，四边形为平行四边形，/，又，/，四边形为平行四边形，/，/，又平面，平面，/平面.即证.（2）以为原点，以分别为建立如图所示的空间的直角坐标系.因为已知该四棱柱
7、为直四棱柱，所以为等边三角形.因为，所以点是的中点.故点，.设平面的法向量为，.由得取，得，故.，是平面的法向量，设平面和平面所成锐角为，则.即平面和平面所成锐角的余弦值为.2如图，已知三棱柱中，平面平面，.（1）证明：；（2）设，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连接，平行四边形为菱形，.平面平面，平面平面，平面，平面.，平面，.又，平面平面.平面，.（2）取的中点为，连接.由，可知，.又平面，故可知为坐标原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图.则，.由（1）知，平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则.，.令，得，即.结合图可知，二面角为钝角，则二面角的余弦值为.
8、3在如图所示的三棱锥中，是边长为2的等边三角形，是的中位线，为线段的中点.（1）证明：.（2）若二面角为直二面角，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）如图，取的中点为，取的中点，连接.因为是边长为2的等边三角形，所以.因为，故，故.因为，所以且，所以.因为，故，所以.因为，平面,平面，故平面，因为平面，.因为，故，所以.（2）由（1）可得，所以为二面角的平面角，因为二面角为直二面角，所以即.建立如图所示的空间直角坐标系，则.故，.设平面的法向量为，则即，故，取，则，所以.设平面的法向量为，则即，取，则，故，所以，因为二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.4如图1，直角梯形中，E、F分别是和上的点，且，沿将四边形折起，如图2，使与所成的角为60.（1）求证：平面；（2）M为上的点，若二面角的余弦值为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：在图1中，又，所以是矩形，所以在图2中，又平面，所以平面， 因为，又平面，所以平面， 又因为，所以平面平面， 而平面，所以平面.（2）解：因为，所以是与所成的角，所以，平面，故平面平面，作于点O，则平面，以O为原点，平行于的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，.，设平面的法向量为，则，取，得.平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，所以，平方整理得，因为，所以.
