1、课时作业(十六)A级基础达标1已知函数f(x)ex1，g(x)x，其中e是自然对数的底数，e2.718 28.(1)证明：函数h(x)f(x)g(x)在区间(1,2)上有零点；(2)求方程f(x)g(x)的根的个数，并说明理由解(1)证明由题意可得h(x)f(x)g(x)ex1x.所以h(1)e30，所以h(1)h(2)0，因此(x)在(0，)上单调递增，易知(x)在(0，)内至多有一个零点，即h(x)在0，)内至多有两个零点，则h(x)在0，)上有且只有两个零点，所以方程f(x)g(x)的根的个数为2.2已知函数f(x)kxln x(k0)(1)若k1，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(
2、x)有且只有一个零点，求实数k的值解(1)若k1，则f(x)xln x，定义域为(0，)，则f(x)1，由f(x)0，得x1；由f(x)0，得0x0)令g(x)(x0)，则g(x)，当0x0；当xe时，g(x)0，要使f(x)仅有一个零点，则k.法二：f(x)kxln x，f(x)k(x0，k0)当0x时，f(x)时，f(x)0.f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minf1ln，f(x)有且只有一个零点，1ln0，即k.法三：k0，函数f(x)有且只有一个零点等价于直线ykx与曲线yln x相切，设切点为(x0，y0)，由yln x，得y，k，实数k的值为.3已知函数f(x)x3x2
3、axb.(1)当a1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)的图象与直线yax恰有两个不同的交点，求实数b的值解(1)当a1时，f(x)x3x2xb，则f(x)3x22x1，由f(x)0，得x，所以函数f(x)的单调递增区间为(，1)和.(2)函数f(x)的图象与直线yax恰有两个不同的交点，等价于f(x)ax0有两个不等的实根令g(x)f(x)axx3x2b，则g(x)3x22x.由g(x)0，得x0；由g(x)0，得x0)，则g(1)0，g(x)1，可得x(0,1)时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x(1，)时，g(x)0.令2xax010，解得x0(负值舍去)，在(0，
4、x0)上，f(x)0，函数f(x)单调递增，在(x0，)上，f(x)0，函数f(x)单调递减f(x)maxf(x0)当a1时，x01，f(x)maxf(1)0，此时函数f(x)只有一个零点x1.当a0，fln 120，f(2a)ln(2a)2a22a12a22a21时，函数f(x)有两个零点B级能力提升5已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若f(0)2，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1 上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围解(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R，又f(0)1a2，得a1，所以f(x)exx1，求导得f(x)ex1.易知f(x)在2,
5、0上单调递减，在0,1上单调递增，所以当x0时，f(x)在2,1上取得最小值2.(2)由(1)知f(x)exa，由于ex0，当a0时，f(x)0，f(x)在R上是增函数，当x1时，f(x)exa(x1)0；当x0时，取x，则f1a1a0.所以函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，令f(x)0，得xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递增，所以当xln(a)时，f(x)取最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0)，当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得0
6、x；令f(x).故f(x)在上单调递增，在上单调递减，f(x)存在极大值，极大值为f1ln a，无极小值综上所述，当a0时，f(x)无极值；当a0时，f(x)存在极大值，极大值为1ln a，无极小值(2)g(x)2，g(x)，令g(x)0，得x1；令g(x)1.则g(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减g(0)2，g(1)2，g(e)22，当x(0，e时，g(x).由(1)得，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，此时在(0，e上f(x)g(x0)总有两个不相等的实数根不成立，因此a0.当a0时，依题意，得由f(e)1ae22eea2，得a，由fln12，即ln a0)，易知h(x
7、)在(0，)上单调递增，且h(e)1，ln a1，得a(0，e)综上所述，a0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间；当a0时，令f(x)0，得x0，得xln a，所以f(x)的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为(ln a，)(2)令g(x)0，得f(x)0或x，先考虑f(x)在区间0,1上的零点个数，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增且f(0)0，所以f(x)在0,1上有一个零点；当ae时，f(x)在(，1)上单调递减，所以f(x)在0,1上有一个零点；当1ae时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a,1)上单调递增，而f(1)ea1，当ea1
8、0，即1ae1时，f(x)在0,1上有两个零点，当ea10，即e1ae1或a2(1)时，g(x)在0,1上有两个零点；当1ae1且a2(1)时，g(x)在0,1上有三个零点8设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)的零点个数解(1)易知函数f(x)的定义域为(0，)当me时，f(x)ln x，则f(x)，由f(x)0，得xe.所以当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，所以当xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，所以f(x)的极小值为2.(2)由题设得g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0)的大致图象如图，又(0)0，结合y(x)的图象，可知当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点
