1、单因子利率期限结构模型的实证检验0 引言单因子利率期限结构模型的实证检验王泽锋,刘俊锋(西南财经大学统计学院,成都 610074)摘要:本文运用 GMM 方法对单因素利率期限结构模型进行了估计,考虑到设定的模型以及无论用哪种方法估计出来的参数值均不能完全描述利率的动态特征,我们在利率期限结构模型中加入残差项来反应不能由设定模型所描述的那部分信息;并首次运用 Bootstrap方法对参数估计值的准确度进行了分析,发现两种方法得到的结果存在着显着性差异,置信区间没有公共部分,即参数的真值基本上不可能相同.关键词:利率期限结构;广义矩估计;Bootstrap中图分类号:F224.7 文献标识码:A
2、文章编号:10o2 6487I2007)21002803利率期限结构,从字面上解释,是指在某个时点上不同期限的利率所组成的一条利率曲线.由于一定期限的零息票债券的到期收益率等于这个期限的市场利率,所以利率期限结构也可以表示为在某个时点不同期限的零息票债券的到期收益率所组成的一条收益率曲线.利率期限结构是资产定价,金融产品设计,保值和风险管理,套利以及投资等的基础,对利率期限结构的估计一直是金融领域中的一个十分基础的问题,特别是利率期限结构的动态特征对于利率的预测与相关衍生产品的定价具有重要意义.有鉴于此,学者们提出来了许多利率期限结构模型来刻画利率随机行为,例如,Merton(1973),Va
3、sicek(1977),Coxf1985)等,他们分别用美国利率数据对模型进行了估计.1 模型选择最常用的利率期限结构模型包括均衡模型和无套利模型两类.从模型假设的自变量来看,主要有单因素模型,双因素模型,关联模型等.但由于利率过程本身的复杂性,决定了用任何一个理论模型去解释实际利率的变动时,总会有一定的偏差.一个适宜的利率过程形式的确定,应该是模型动态捕捉能力,模型易解性及参数稳定性三方面考虑的兼顾和平衡.国外已有的大最研究和实践,表明基于扩散过程的利率模型大体满足上述要求.其中,单因素扩散过程利率模型假设瞬时利率遵循随机微分方程:d=(rt)dt+o(dw(1)式中,rt 为无违约风险的瞬
4、时利率;Ix(r称为漂移函数 ;(称为扩散函数;w 为标准维纳过程.国内近来也有学者对利率模型进行了参数估计,如吴伟雄,谢赤(2002) 在 CKLS 模型即 dr|=(d1+Or2r1)dt+crr:dw 的基础上进行了推广,并选用上海证券交易所的 4 周国债回购利28 统计与决策 2007 年第 2l 期(总第 249 期)率,用极大似然法对模型的参数进行了估计;马晓兰 ,潘冠中(20o6)综合了 Vasicek,CIRSR,BrennanSchartz,CK【S,AG及 AitSahalia 模型中对漂移项形式的假设提出了一个更为一般的模型dr,=(ctl+d2L+P+n/dt+dw但是
5、在应用 GMM 估计时发现其中参数p 和 n 的 t 值很小,并不显着.为此,本文选取利率估计基础模型为,dr,=(ctl+d2L)dt+(ndw(2)对(2)进行欧拉离散化得到:,一l+(dl+ot2rt)At+orr,/t8I(3)其中 8 服从标准正态分布.2 利率选取单因素利率模型只设定一个状态变量,即无违约风险的瞬时利率 rt.在现实的金融市场上不存在瞬时利率, 也就无法得到其观察值,因此研究者一般以短期利率作为其近似替代.金融市场上可观察到的短期利率种类较多,选择不同的短期利率估计利率模型的参数的结果会有显着差别.在我国货币市场,市场化程度较高的银行间市场,期限在 3 个月以下(包
6、含 3 个月) 的短期利率品种有 14 个.由于 R0o7 与其他品种相关性很高,且是银行间市场中交易量最大的品种,并且每周都有交易,根据潘冠中(2004)文章中提出的利率选择的两原则,R0o7 是瞬时利率的最佳替代.因此本文中我们将以 R0o7 来分析建模.具体分析时,用 2004 年 5月 10 日一 2006 年5 月 10 日共 484个数据进行参数估计,用剩余的 9个数据对模型估图 12004.52006.5R007 数据图计效果进行评估.利率走势图如图 1.对图 1 数据进行描述统计分析如表 1 所示.表 1R007 的统计指标描述统计量 medianStddevskewkurto
7、sisJB1.921.766.140.100.7130415.083693自相关系数 pIp2p4p5p6P7p80.720.540.310.190.090.110.120.11+t一 0.170.05-o-2-o.o60.17O.050.02-0.013 参数估计由于利率期限结构的动态特征对于利率的预测与相关衍生产品的定价具有重要意义,因此对动态利率模型的估计提出了许多不同的方法,包括:极大似然法(MLE),广义矩估计法(GMM),非参数估计,以及蒙特卡罗模拟.各种方法各有优劣.极大似然法需假定干扰项服从某项分布形式(其适用性可通过事后验证),不同的分布形式决定了对数似然函数的表达式,依此可
8、形成多种细分方法.GMM 的优点是仅需要知道一些矩条件,而不需要知道随机变量的分布密度.但这也可能是一个缺陷,因勾它经常不能有效利用样本中的全部信息;如果模型的设定足正确的,则总能找到该模型实际参数满足的若干矩条件而采用 GMM.用非参数方法估计出来的模型不能用于预测,因此影响了模型的适用性.蒙特卡罗模拟方法中模拟参数值的设定需根据前三种方法中某种方法的结果来确定,且进行模拟时需对随机项的分布作出合理假设.基于对各种参数估计方法的分析,本文提出一种结合GMM,MonteCarlo 和 Bootstrap 三种方法的参数估计方法.式(3)是本文用于参数估计的基础模型,考虑到设定的模型以及无论用哪
9、种方法估计出来的参数值均不能完全描述利率的动态特征,因此,在式(3)模型中加上残差项来表示不能由设定模型所描述的那部分信息是合理的,则(3)式模型变为:rt+l-L+(f+ot2rt)At+o-rtx/At8t+毛(4)模型中需要估计的参数向量 B 为(0c,:,),随机变量服从标准正态分布,残差项的分布未知.由于本文分析所采用的数据是日数据,所以 At 的值取为 1/365.本文所采用的 GMM,MonteCarlo 和 Bootstrap 方法进行参数估计的具体步骤如下.图 2 标准正态随机数序列第一步,用蒙特卡罗方法模拟利率路径.用蒙特卡罗方法从标准正态分布中抽出随机变量的值(如图 2
10、所示), 并将其作为 GMM 估计时的已知数.第二步,用 GMM 方法估计(4)式.式中有 4 个未知数,则需要 4 个及以上的矩条件.经过分析,测试,选取了 5 个最优的矩条件,用向量(B) 表示为 :毒:rt:(5)E(B)】是总体矩条件,利用它的样本形式 B)代替 E【(B),即:TgX(13):1f(B)(6)1t=I式中 T 是用于参数估计的观测值的个数,本文中 T=484.然后通过最小化目标函数,估计出具有渐进最小协方差矩阵的参数向量 B.目标函数:Jl13)=gr(13)W,r(13)g,r(13)(7)式中 WB)是权重矩阵 ,具体求解过程在 SAS 软件上实现,关于 GMM
11、的原理和实现过程请参见文献2.第三步,用Bootstrap 对残差序列进行重抽样.根据 GMM 所估计的参数 B,计算出模型的残差序列毛(如图 3 所示)的图 3 列差序列 l)图值,然后用 Bootstrap 进行有放回的抽样,假设抽取 n 次,每次抽取 T 个值.第四步,将每次抽取的残差序列的值代入(4)式,可重新计算得到新的利率序列,用新序列值重复第二步的 GMM估计得到新的参数估计值 B.进行 n 次 Bootstrap 抽样则可得到 n 个 B 值,即 B0 中 i=l,2,n.第五步,求出 B 的算术平均值作为参数估计的 T最终估计值,即=l_B.n根据上述步骤,首先对模型(4)式
12、进行 GMM估计得到参数估计结果如表 2.从而得到利率变化路径模型为:+1=+(153.9380.64r,)At 一 1.62r|o/(8)那么这些参数的估计值的准确度如何,即是说模型中各能数的真值特别是扩散项的值(不同的值对应不同的模型).运用步骤 35 进行反复计算得到结果如表 3 所示.计算表 3 中各个由重复抽样所得样本得到的参数估计值的平均值为:=138.36;ot2=-79.08;r-O.01;X=I.12由此得到最终的单因子利率期限结构模型为:rt+l=rI+(138.3679,08r,)At+O.01z,/(9)观察(8),(9)两式的结果发现 :统计与决策 2007 年第 2
13、1 期(总第 249 期)29表 3 参数估计结果l13t.2 序列号估计值标准差 t 值 P 值估计值标准差 t 值 P 值1153.210238.9982393.O001-89.580522.90543.910O0012175.72062796546.28.O00199.522216.3362-6.O9.O0013106.820140-3612650.oo8460.8981229825-2650.oo834102.98622421014.25.O001-57.929513.9186-4.16.O0015147.O93132.26124.56.O001-84.80318.7738-452.O
14、0016l19.22428.2614.22.O001-67.64416.7048-4.05.O001799.56O7530-36163.280.ooll-56.828817.35013.280.ooll8142.47522938144.85.0oo1-80.66917.0844-4.72.O0019990236125.91813.820.O002-56.884714.74543.860.O00110124.58854275362.910.oo37-72.146924.9872-2.890.0041l1154.612129.23475-29.O001-87.87516.608529.O00112
15、101.036126.4673.820.O002-57.24815.2745-3.750.O00213191.385740.62734.71.O001109.6O622.99-477.O00114175.93243144395.6.O00110318.415-5.59.O0011516l_889146.37653490 一 91.3074270297-3-380.O00816142.370328.70824.96.O001-79.898316.2491-4.92.O00117126441734.17863.70.O00271.582619.542-3.660.O00318125.671237.
16、12263_390.O008-72.77352133073.410.O00719160.05339.4397406.O00191.386322.6731-4.03.O00120157.133432.04184.9.O0019o.O55818.8107-479.O001序列号估计值标准差t 值 P 值估计值标准差 l 值 P 值12.3223340_37.74.O0010.0249370.01082_310.021622.07798302409863O00l0.0274650o09312.950oo3332.02330902418.4.O001-0.03730.0106-3.530.O0041.
17、9447960-25647.59.O0010.O288l90.01022.830.0o4952.2059040.2877.69.O0010.0264480.01062490.013162.0152490.23238.68.O001-0.02970.0103-2.880.0o4271.9026450.24937.63.O0010.0381680.01243.070oo2282.01947O.18510.91.O001-0.029650.oo8623.440.O00691.9387270-25847.5.O0010.0334o10.0122.790.OO55102.041255024238.42O
18、001_0.03897001263o90.oo2ll12.1595760.31996.75.O0010.03oo60.01332.270.0238121.9558140253l7.73.O0010.028145001032.740.0063132.3747380.3496679.O0010.024130.0105230.02171422226060.27997.94.O001_0.024940.0103-2.420.0157152.4212490.2132l1-36.O0010.0266910.o09382840.0o46162.0335l10.2325875.O0010.0318220.01
19、023.120.oo19172.2054150.2569858.O001-0.0303900l12-2.720oo68182.1076010.27227.74.O0010.0308930.01092.850.0o46192.2394510.26058.6.O001_0.02640oo966-2.730.oo65202.1225530.22849.29.O0010.0285610.o09832.90oo38(8),(9)两式中参数的估计值有显着的不同,前者的估计值的 95%置信区间为(0.27,1.29),而后者为(1.61,2.62)(见表 4),两个置信区间没有交集,但是通过 bootstr
20、ap 方法重复抽样后得到的结果与马晓兰,潘冠中(2006)最终得出的估计结果比较一致:如果不对 Vasicek,CIRSR,BrennanSchartz,CKLS 模型中进行限制,它们的 GMM 估计结果分别为 2.23,1.71,2.o4,1.7,且预测能力较对各模型中进行限制(依次为 h-0,0.5,l,1.5)有了很大提高,从而说明运用bootstrap 方法得出的模型更优,能够较好地提高利率模型的预测能力.30 统计与决策 2007 年第 21 期(总第 249 期)表 4 参数的 95%Waid 置信区间序列号的值下限上限12.32231,73432.910322.0781.6058
21、2550232.02331.55O92.495741.94481.44242.447252.2059164342.768462.01521.562470571.90261.41412-391282.0195165682382191.9387143232.4452102.04131.56632.5162l12.1596153262.786512195581.45982.4518132.37471.68953.06142.22261.6742.7712152.42122.oo342.8391162.03351.57782.4892172.2054170182.7o9182.10761.57412.
22、64ll192.23951.72892.75202.12261.67492.5702平均值 2.1167051.6l11552.6222554 结论本文运用 GMM 方法对单因素利率期限结构模型进行了估计.考虑到设定的模型以及无论用哪种方法估计出来的参数值均不能完全描述利率的动态特征,我们在(3)式模型中加上残差项来反应不能由设定模型所描述的那部分信息;并首次运用 bootstrap 方法对参数估计值的准确度进行了分析,发现两种方法得到的结果存在着显着性不同,置信区间没有公共部分,即参数的真值不等.借鉴马晓兰,潘冠中(2006)的研究结果发现,通过 bootstrap 方法得到的模型更优;最后
23、.中国货币市场利率存在着显着的均值回复效应,而且对比国外几个着名利率期限结构模型中的值,中国利率的波动性对利率水平的影响比美国利率更为敏感.参考文献:1ChanKC.AnEmpiricalComparisonofAltemativeModeloftheShortTermInterestRatej1.JournalofFinance,1992,47:12091227.2HansenLP.LargeSamplePropeiesofGeneralizedMethodofMomentsEstimatorsJ1_Eeonometriea,1982,5O:1O291054.3】马晓兰 ,潘冠中.单因子利率期限结构模型的广义矩估计及对中国货币市场的实证检验J1_数量经济技术经济研究,2006,(1).(责任编辑/ 李友平)
