1、考点22 利用导数研究函数的极值和最值【命题解读】从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力【基础知识回顾】 1、函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点x
2、a附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值2、函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则
3、f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值3、常用结论1若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在a，b上一定有最值2若函数f(x)在a，b上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值3若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点1、函数f(x)x2ln x的最小值为()A1ln 2 B1ln 2C. D.【答案】C【解析】 因为f(x)x2ln x(x0)，所以f(x)2x，令2x0得x，令f(x)0，则 x；令f(x)0，则0x.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的极小值(也是最小值)为2ln，故选C.2、函数f (x)的定义域
4、为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f (x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点【答案】C【解析】设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x0，f (x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0.当x2时，f(x)0，f (x)为增函数；当0x2时，f(x)0，函数f (x)单调递增，当x(2,2)时，f(x)0，函数f (x)单调递增，所以a2.5、函数的极大值是正数，极小值是负数，则的取值范围是_【答案】：(，)【解析】：f(x)3x23a23(xa)(xa)，由
5、f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数递增f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是(，)考向一利用导数研究函数的极值例1、已知函数，求函数的极大值与极小值【解析】：由题设知a0，f(x)3ax26x3ax.令f(x)0得x0或.当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值1.当a0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值若0ae，当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当xa时，函数f(x)取得最小
6、值ln a.若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当xe时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当0ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为ln a；当ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为.变式2、已知函数f(x)axln x，其中a为常数(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1，令f(x)0，得x1.当0x0；当x1时，f(x)0.f(x)在(0,1)上是
7、增函数，在(1，)上是减函数f(x)maxf(1)1.当a1时，函数f(x)在(0，)上的最大值为1.(2)f(x)a，x(0，e，.若a，则f(x)0，从而f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10，不合题意若a0得 a0，结合x(0，e，解得0x；令f(x)0得a0，结合x(0，e，解得xe.从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，f(x)maxf1ln.令1ln3，得ln2，即ae2.e20)的导函数f(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解：(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc
8、，因为ex0，所以f(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.变式2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数（是自然对数的底数）.（）讨论极值点的个数；（）若是的一个极值点，且，证明：.【答案】（）见解析；（）见解析【解析】（）的定义域为，若，则，所以当时，；当时，所以在上递减，在递增.所以为唯一的极小值点，无极大值，故此时有一个极值点.若，令，则，当时，则当时，；当时，；当时，.所以2，分别为的极大值点和极小值点
9、，故此时有2个极值点.当时，且不恒为0，此时在上单调递增，无极值点当时，则当时，；当时，；当时，.所以，2分别为的极大值点和极小值点，故此时有2个极值点.综上，当时，无极值点；当时，有1个极值点；当或时，有2个极值点.（）证明：若是的一个极值点，由（）可知，又，所以，且，则，所以.令，则，所以，故又因为，所以，令，得.当时，单调递增，当时，单调递减，所以是唯一的极大值点，也是最大值点，即，故，即.方法总结：1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值；2. 当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么1、（2017年高考全国卷理数）若是函数的极值点，则的极小值为A
10、BCD1【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为.故选A2、【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.3、【2018年高考全国卷理数】已知函数，则的最小值是_【答案】-332【解析】f(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cos
11、x-2=4(cosx+1)(cosx-12)，所以当cosx12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，所以当时，函数fx取得最小值，此时sinx=-32,sin2x=-32，所以fxmin=2(-32)-32=-332，故答案是-332.4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数且a0）（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）的极小值为，试求a的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（aR，且a0）由题意可知 曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 （）当a-1时，x
12、变化时变化情况如下表：x1（1，+）-0+0-f（x）极小值极大值此时，解得，故不成立当a=-1时，0在（0，+）上恒成立，所以f（x）在（0，+）单调递减此时f（x）无极小值，故不成立当-1a0时，x变化时变化情况如下表：x（0，1）1-0+0-f（x）极小值极大值此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，解得或因为-1a0，所以当a0时，x变化时变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）-0+f（x）极小值此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，解得或，故不成立综上所述5、（2020全国理21）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围【解析】(1)当时，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减；当时，单调递增(2)由得，其中，当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；当时，分离参数a得，记，令，则，故单调递增，故函数单调递增，由可得：恒成立，故当时，单调递增；当时，单调递减；因此，综上可得，实数a的取值范围是6、（2020全国文21）已知函数（1）若，求的取值范围；（2）设，讨论函数的单调性【解析】（1）函数的定义域为：，设，则有，当时，单调递减；当时，单调递增，当时，函数有最大值，即，要想不等式在上恒成立，只需（2）且，因此，设，则有，当时，单调递减，因此有，即，单调递减；当时，单调递增，因此有，即，单调递减，函数在区间和上单调递减，没有递增区间
