1、课时作业31平面向量数量积的应用一、选择题1已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是(D)A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6，即点P的轨迹是抛物线2(2021河北石家庄段测)如图，在矩形ABCD中，AB2BC2，动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上，则的最大值是(A)A1 B5C3 D3解析：由题意知|，设点C到BD的距离为d，则有d，则CM.故()，其中()()3.设，的夹角为，则|cos|2，当且仅当与同向时，等号成立所以的最大值为1.3(2021浙江杭州月考)已知O是ABC所在平面内的一点
2、，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若abc0，则O是ABC的(A)A内心 B外心C重心 D垂心解析：因为，所以abcab()c()bc(abc)，而abc0，所以(abc)bc，即，记cn1，bn2，其中n1，n2分别表示，方向上的单位向量，则(n1n2)，由该式可以看出AO平分BAC，同理可得BO，CO分别平分ABC，ACB，故O为ABC的内心故选A.4在ABC中，O为ABC的重心若，则2(D)A B1C. D解析：如图，延长BO交AC于点M，点O为ABC的重心，M为AC的中点，()，又知，22，故选D.5(2021广东深圳测试)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心位于
3、同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理设点O，H分别是ABC的外心、垂心，且M为BC的中点，则(D)A.33 B.33C.24 D.24解析：设G为ABC的重心，因为M为BC的中点，所以2，所以3，又，所以，因为，所以，所以()，所以26624，故选D.6已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cosA，sinA)若mn，且acosBbcosAcsinC，则角A，B的大小分别为(C)A.， B.，C.， D.，解析：由mn得mn0，即cosAsinA0，即2cos0，因为A0)，A，B两点关于x轴对
4、称若圆C上存在点M，使得0，则当m取得最大值时，点M的坐标是(C)A. B.C. D.解析：圆C的方程可化为(x1)2(y)21，由题意得B(0，m)，设M(x，y)，因为0，所以(x，ym)(x，ym)0，所以x2y2m20，所以m2x2y2，因为x2y2可表示圆C上的点到原点距离的平方，所以连接OC并延长，与圆C相交，交点即为M，此时m2最大，m也最大，且|OM|123，MOx60，所以xM3cos60，yM3sin60.故点M的坐标为，故选C.二、填空题11已知G为ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若，则ABC与APQ面积的比值为.解析：设(01)，因为G为AB
5、C的重心，所以()，由P，G，Q三点共线，得1，解得，所以.12(2021吉林长春一模)已知在ABC中，向量(0,1)，|，1，则ABC的面积为.解析：因为(0,1)，所以|1.又因为|cos(180B)1，所以|cosB1.由余弦定理得|2|2|22|cosB，所以|2，则cosB.因为0B0.设a与b的夹角为，则有|a|24|a|b|cos0，|a|4|b|cos，又知|a|2|b|，cos，又知0，即a与b夹角的取值范围为，故选B.18(2020江苏卷)如图，在ABC中，AB4，AC3，BAC90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP9，若m(m为常数)，则CD的长度是或0.解析：建立平面直角坐标系，如图，设P(x，y)，则(x，y)，(4x，y)，(x,3y)，m，解得又AP9，(8m)2(96m)281，m0或m，P(0,9)或P，直线PA的方程为x0或yx，当直线PA的方程为yx时，又直线BC的方程为1，故由解得即D，CD.当直线PA的方程为x0时，CD0.综上，CD或0.
