1、中考数学中典型最值问题题型解决策略探究摘要：本文主要介绍了中考数学中最值问题四种常见的类型，主要包括一次函数的最值问题、二次函数的最值问题、基本不等式最值问题以及垂线段最短最值问题。希望本文的研究，能够为同学们解决初中最值问题带来一些实用的解题思路。关键词：中考；数学；最值问题；解决策略 所谓最值问题，就是我们常说的关于求最小值、最大值的问题。最值问题是初中数学考试中的一类常见问题，在中考试题里面也经常能够看到它的身影。通常来看，最值问题与其他的一些题型相比，具有类型丰富、涉及知识面广、解法灵活多样等特点，因此其难度往往也比较大。所以，针对中考数学中出现的一些典型最值问题题型进行研究是十分必要
2、的，本文将通过对一些典型例题进行分析，来阐述中考问题的一些常见解决策略。一、一次函数的最值问题这类问题主要是依托一次函数的增减性而出的，通常要求学生在函数自变量的取值范围内求出应变量的最大值。其解题思路主要可以分为两大步：第一，根据题意建立函数关系式，并确定模型；第二，确定自变量取值范围，通过计算求得应变量最值。此外，不少函数最值问题都是结合实际情况来出题的，所以在确定自变量取值范围时，需要注意考虑实际情况，比如有些实际情况中，自变量不能是负数或者必须是正整数，学生在解此类问题时要注意对自变量取值范围的把握1。例一：四川一家化工厂有7吨甲原料，5吨乙原料，现在打算采购甲乙两种原料共8吨，生产A
3、、B两种产品对甲乙两种原料的消耗情况如下表：甲种原料乙种原料A产品0.6吨0.8吨B产品1.1吨0.4吨已知每销售1吨A产品可以获利0.45万元，每销售1吨B产品可获利0.5万元，假设现在该化工厂计划生产A产品x吨，而最终销售A、B两种产品总共获得的利润为y万元。 （1）试建立出x和y之间的函数关系，并得出x的取值范围；（2）问当x为多少时，y可取得最大值？且该最大值是多少？解：（1）据题意得：y=0.45x+（8-x）0.5=-0.05x+4 又生产两种产品所需的甲种原料为：0.6x+1.1（8-x），所需的乙种原料为：0.8x+0.4（8-x）则可得不等式组解之得3.6x4.5 （2）因为
4、函数关系式y=-0.05x+4中的k=-0.050，所以y随x的增大而减小则由（1）可知当x=3.6时，y取最大值，且为3.82万元 例二：长沙一运输公司打算将甲、乙、丙三种蔬菜运送到外地进行销售（每辆车均达到最大载重数，而且同一辆车只装运某一种蔬菜）。下表所示为每辆车分别装载甲、乙、丙三种蔬菜的最大载重，以及分别可以获得的利润2：甲乙丙每辆汽车能装满的吨数211.5每吨蔬菜可获利润（元）500700400（1）现一共有8辆车，需要将总计11吨的乙、丙两种蔬菜运送到A地，试求其中装运乙蔬菜的车有多少辆？装运丙蔬菜的车有多少辆？（2）现在该公司打算投入20辆车来运输这三种蔬菜，且总的运输重量为3
5、6吨，试求每种蔬菜各运多少吨，能够使该公司获得最大的利润？并求该最大利润的值 解：（1）设有m辆车装乙蔬菜，n辆车装丙蔬菜，则有： 解得：m=2辆 n=6辆 （2） 设有x车甲，y车乙，z车丙,(x,y,z的取值范围均是正整数)，利润p。x+y+z=20（1）；2x+y+1.5z=36（2）（2）-（1），得：x+0.5z=6，x=6-0.5z；代入（1），得：6-0.5z+y+z=20， y=14-0.5z；因为x,y,z的取值范围都是正整数，因此z最小只能取到2，这时x、y可以取得最大值，分别是：x=5，y=13。y取最大值时，p=5x+7y+4z=55+713+42=124百元=1240
6、0元；即5车甲，13车乙，2车丙时可获得最大利润，为12400元二、二次函数最值问题 二次函数y=ax2+bx+c，当a0时，y有最小值，并且在对称轴左侧y值与x值负相关，在对称轴的右侧y值与x值的正相关。这类最值问题的解题思路为：第一，根据题意找出自变量与应变量间的相等关系，得出函数关系式；第二，通过配方等方法确定自变量范围内的函数最值3。例三：为了促进家电下乡工作的进行，国家出台相关政策对购买彩电的农民进行一定的补贴，经过了解，某市一电器商城给出的补贴金额x（元）与售出彩电的数量y（台）之间的关系可以近似等效为线性函数，如图所示。可以看出，补贴的金额越多，彩电的销量也就越高，但随着补贴金额
7、的增加，每台彩电的销售利润z（元）必然会减少，并且z与x之间同样近似符合线性函数关系，如图所示。（1）在政府还没有进行家电补贴时，此商城销售彩电的总利润为多少？（2）试求x、y、z之间的函数关系式？（3）现在该商城要求获得最大的总利润（元），请问应该定为多少？并求出最大的总利润值解：（1）该商场销售家电的总收益为（元）；（2）依题意可设，有，解得所以，（3），定为100元时，该商城可以获得最大的总利润，为元三、关于基本不等式的最值问题 这类最值问题的解题关键在于学生应该熟记常用的一些基本不等式，并且能够灵活地对其进行变形，需要掌握的基本不等式主要包括： 1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当
8、时取“=”） 2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”） 3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”） 4.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”） 5.若，则（当且仅当时取“=”） 注：（1）当两个正数的积一定时，它们和的最小值能够被求出，当两个正数的和一定时，它们积的最小值能够被求出，这就是通常所说的“积定和最小，和定积最大” （2）熟记具有最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 注意均值定理在求最值、证明不等式等问题上的运用4 例四：已知，求函数的最大值。 解：，当且仅
9、当，即时，上式等号成立，因此当时，。评注：解此题时注意对项的符号进行变换，同时要通过对项系数进行配凑，使其积为定值。 例五：当时，求的最大值。 解：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x2时取等号，当x2时，的最大值为8。 评注：此题不能够直接采用基本不等式来进行解答，但通过凑系数，能够使得其和为定值，以此满足基本不等式求最大值的条件5。四、利用垂线段最短的最值问题 解这类问题的关键在于要注意对“垂线段最短”这一性质进行灵活运用。例六：如图（1），现在打算将河中的水引到水池C，请问怎样修渠道才
10、能实现最短？请在图上画出来，并说明理由。解:过C点作线段垂直于AB,设垂足为O, 从点O处开始,沿线段OC挖渠,此时的渠道长度为最短长度。 例七：如图（2），体育课上，A、B两名同学测得刘丁的跳远成绩分别为DA = 4.56米，DB = 4.15米，AC = 4.70米,则刘丁的跳远成绩应该为_米。解：应该取DB的长度4.15米。跳远成绩的选择，应该是过离起跳线最近的落地点做起跳线的垂线段，该垂线段的长度即为跳远成绩，显然只有DB符合要求。五、结语本文对中考常见的四种最值问题题型进行了归纳和简单分析，在进行解题之前，学生应该先对该最值问题考察的是哪方面知识点进行判断，然后再根据实际情况来确定自己的大致解题方向。数学问题是灵活多变的，本文虽然给出了每种题型的大致思路，但学生在遇到类似问题时切忌生搬硬套。正所谓“万变不离其宗”，无论题型如何变化，只有牢固掌握基础知识，在解题时才能真正做到灵活多变，活学活用。参考文献：1 2011中考备战指南.初中数学常见8种最值问题.2 曹均.解数学最值问题的常见方法J.教师，2012（04）.3 郑为勤.中考数学中最值问题的解决策略J.数理化学习，2012（07）.4 廖军.中考数学最值问题探究J.数学学习与研究，2013（15）.5 胡祥贵.关于中考数学最值问题的解题思路探讨J.数学杂志，2011（02）.6 / 6
