1、3eud教育网 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！第三单元 二次函数一、 教 法 建 议抛砖引玉教学应从生活中的实例引出二次函数，进而总结出二次函数定义：（a，b，c为常数，a0），那么y叫做x的二次函数.它是从实践中来，上升为理论的方法，使学生由感性到理性，感到真实贴切，易于接受.进而引导学生自己列表，动手画出二次函数y=x2，y=-x2的图象，总结出其性质，图象的形状抛物线.以二次函数y=ax2为基础，以具体实例研究，然后由两个特殊型过渡到一般型的二次函数.要始终把由特殊到一般的思维方法孕育在教学中，把配方法交给学生，待定系数法确定二次函数解析式展现给同学们，再通过描点画出二次函
2、数的图象，结合图象确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、图象的平移规律.图象是轴对称图形，并由二次函数的一般形式，通过配方写成顶点式的形式；结合二次方程的有关知识，由一般式可写成截距式的形式.三种形式实质是一致的，各有千秋，要向学生揭示各种形式的特点如知其抛物线过三点时，可选用一般式求解；知其图象与x轴有交点时，可选用截距式求解，以例在求函数解析式时灵活运用.在教学中，要始终贯彻数形结合法、归纳法、演绎法、配方法、待定系数法.要求动手画图，动脑思考，精心观察，培养学生的各种思维方法.批点迷津二次函数这一内容，必须牢记数形结合法进行思维，知其三点求二次函数解析式的方法.如何结合代数、几何、锐角
3、三角函数及生活实际等找到这三点，是求二次函数解析式的关键所在，要根据其性质、平移规律等进行思维，精心观察，数形结合，才能找到解题的突破口，并根据自变量的取值范围画出图象.一般地说，二次函数的图象是一条抛物线，那么x取值范围必须是实数.若x的取值范围在某一区间，则所画图象只是抛物线的一部分.根据实际问题，有时是整数点.总之，要根据自变量的取值范围具体画出图象.在本单元，除抓住“数形结合法”这根主线，对动静的互相转化的辩证关系也要把握适时.二、学 海 导 航思维基础（一）1二次函数的图象的开口方向是向，顶点从标是，对称轴是。2抛物线的顶点在x轴上，则m的值等于 .3.如果把第一条抛物线向上平移个单
4、位（a0），再向左平移个单位，就得到第二条抛物线，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是 .（二）1.如图代13-3-1所示二次函数的图象，则有（ ） 图代13-3-1 图代13-3-2 A.a+b+c0 D.a+b+c的符号不定2.如图1-3-2是抛物线的图象，则下列完全符合条件的是（ ） A.a0，b0，b24ac B.a0，c0，b24ac C.a0，c0，b24ac D.a0，b0，c4ac3已知抛物线的对称轴为x=1，与x轴、y轴的三个交点构成的三角形的面积为6，且与y轴的交点到原点的距离为3，则此二次函数的解析式为（ ） A.或 B.或 C.或 D.或学法指要
5、例 在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若ACB=90，.（1） 求点C的坐标及这个二次函数的解析式；（2） 试设计两种方案，作一条与y轴不生命，与ABC的两边相交的直线，使截得的三角形与ABC相似，并且面积是AOC面积的四分之一.【思考】 （第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？2.如何求抛物线与y轴的交点坐标？3.如何设出抛物线与x轴的两个交点坐标？4.线段与坐标之间有何种关系？你会用坐标表示线段吗？【思路分析】 本例必须准确设出A，B两点坐标，再求出C点坐标，并会用它们表示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题
6、，相互转化，相互转化，水到渠成.解：（1）依题意，设A(a,0),B(,0)其中a0，则a,是方程AOCCOB。把A（-4，0）代入，得解这个方程得n=2.所求的二次函数的解析式为现在来解答第二问。【思考】这第二问所要求作的三角形应具备什么条件？什么样的三角形与ABC相似？在什么条件下可以讨论两个三角形面积的比？在一个图形上作一和直线，需要确定什么？ABC是一个什么样的三角形？【思路分析】所求的三角形与ABC相似；所求的三角形面积=所求三角形若与ABC相似，要具备有“两角对应相等”，“两边对应成比例且夹角相等”，“三边对应成比例”等判定两三角形相似的条件。在两三角形相似的条件下，“两三角形面积
7、的比等于相似的平方”，即找相似比等于1:2.在一个图形上，截得一个三角形，需要作一条直线，作一条直线应在图形上确定两个点，且这条直线不能与y轴重合。分析至此问题十分明确，即在ABC的两边上找出符合上述条件的两点作一条直线。再来分析ABC是一个什么样的三角形，猜测它是直角三角形最为理想。从第一问得知的条件A（-4，0）B（1，0），C（0，-2）可用勾股定理推出，ABC确是直角三角形。这样ABCCAOBCO，且为作符合条件的直线提供了条件。下边分述作符合条件直线的方案。方案1:依据“三角形两边中点的连线，截得的三角形与原三角形相似”，其相似比是1:2，面积的比为1:4。作法：取AO的中点D，过D
8、作D DOC，D是AC的中点。 AD：AO=1：2，即 ADD=. ADDACOABC.图代13-3-3DD是所求作的直线，ADD是所求作的三角形。方案2：利用C作一个BCF COB。作法：在CA上截取CE，使CE=CO=2，在CB上截取CF，使CF=BO=1，连结EF，则BCF即为所求，如图代13-3-4所示。请读者证明。 图代13-3-4图代13-3-5方案3：在AC上截取AG，使AG=CO=2，在AB上截取AH，使AH=BC=，连结GH，则AGH为所求，如图代13-3-5所示，请读者去证明。方案4：在CA上截取CM，使CM=BO=1，在CB上截取CN，使CN=CO=2，连结MN，则CMN
9、为所求，如图代13-3-6所示，请读者去证明。图代13-3-6图代13-3-7方案5：在BA上截取BP，使BP=BC=，在BC上截取BQ，使BQ=BO=1，连结PQ，则BPQ为所示，如图代13-3-7所示。请读者去证明。思维体操例 一运动员推铅球，铅球刚出手时离地面米，铅球落地点距离铅球刚出手时相应地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线.求这个抛物线的解析式.图代13-3-8如图，结合题意，知抛物线过，用一般式：解之，于是有解方程组，得；.所求抛物线解析式为或.，这时，抛物线的最高点（-20，3）不在运动员与铅球落地之间，不合题意，舍去.所求抛物线解析式为（0
10、x10）.【扩散2】 仿扩散1知抛物线过.因B为顶点，所以利用顶点式最宜，于是可设抛物线的解析式为.又其图象过A，C两点，则解方程组，得；.抛物线最高点（-20，3）不在运动员和铅球之间，不合题意，舍去.故所求抛物线的解析式是（0x10）.【扩散3】 抛物线与x轴交于两点，即D（x，0），C（10，0），联想截距式解之.于是设抛物线解析式为，其图象又过A，C两点，则有，.又 ， . 联立解方程组，得；.但不合题意，舍去.故所求二次函数解析式为（0x10）.【扩散4】 由抛物线对称性,设对称点,B(m，3)，又C（10，0），应用一般式可获解.设抛物线，则可得解这个方程组，得.（m，3）在第一象
11、限，m0.m=-20（舍去），m=4.进而求得： 故所求抛物线解析式是：（0x10）.【扩散5】 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为和，OA=1千米，tg=,tg=,位于O点正上方千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中的E点）.（1） 若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；（2） 说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由.【思路分析】 本例应用扩散14思路均可，尤以扩散2应用顶点式最佳，读者可仿扩散2求得抛物线解析式为：（0x1
12、0）. 过点C作CBOx，垂足为B，然后解RtOBC和RtABC，可求得点在抛物线上，因此可击中目标C（请读者自己写出完整解答过程）.【扩散6】 有一抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在坐标系里（如图所示），若在离跨度中心M点5m处垂直竖直一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？图代13-3-9【思路分析】 本例仿扩散2可设抛物线解析式为（0x40），又抛物线过原点，进而求得，在距离M点5m处，即它们的横坐标是x1=15或x2=25，分别代入抛物线解析式，求得y1=y2=15.所以铁柱应取15m长.【评析】 由扩散16，抛物线应用从体育方面，扩散到军事，涉及现
13、代科技、导弹、直升飞机等.进而又扩散到桥梁建筑，涉及到现代化建设的方方面面，告诉同学们，必须学好课本知识，才能适应现代化的需要.图代13-3-10本例的解题思路扩散，把顶点式、一般式、截距式、抛物线的对称性都进行了展示，我们可以根据不同的情况，迅速进行决策，选设不同的解析式，达到求解的目的. 三、智 能 显 示心中有数二次函数的知识，是初中三年级数学的重点内容.在解有关二次函数的问题时，应用待定系数法和方程、方程组的知识，用到数形结合、观察、想象的思想方法，应当深入理解和掌握这部分知识.动手动脑1. 某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在采用提高售出价，减少
14、进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提高1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚利润为最大，并求出最大利润？2. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式.3. 已知抛物线.（1）求证：不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A（2，0）.（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式.（3） 当d=10，P（a，b）为抛物线上一点.当ABP是直角三角形时，求b的值；当APB是锐角三角形、钝角三角形时，分别写出b的范围（不要求写出解答过程）.创新园地例 如图，有一模型拱门
15、，其拱门的徒刑为抛物线的一部分（该抛物线为二次函数的图形），拱门宽AB=20cm，拱门高PO为8cm，已知小明的玩具车宽为12cm，车高hcm，就能顺利通过这拱门，那么满足这个条件h的最大整数为 .提示：本例没有告知拱门所在坐标，这就需要我们自己建立直角坐标系后求解.图代13-3-11四、同 步 题 库一、 填空题1.把抛物线向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个单位，得抛物线 .2.函数图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y，那么y与x之间的函数关系是 .4. 已知二次函数，通过配方化为的形为 .5. 若二次函数（c不为零），当x取x1，x2（x
16、1x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是 .6.抛物线当b=0时，对称轴是 ，当a，b同号时，对称轴在y轴 侧，当a，b异号时，对称轴在y轴 侧.7.抛物线开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 .8.若a时，函数值随x的增大而 .9.二次函数（a0）当a0时，图象的开口a0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a0时，情况相反. 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点. 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同. 一元二次方程（a0）的根，就是抛物线与x轴交点的横坐标. A. B. C. D.19.二次
17、函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ） A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-320.如果一次函数的图象如图代13-3-12中A所示，那么二次函-3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线的对称轴是则（ ） A.2 B. C.4 D.22.若函数的图象经过点（1，-2），那么抛物线的性质说得全对的是（ ）A. 开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交B. 开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交C. 开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交D. 开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交23.二次函数中，如果b+c=0，则那时图象经过的点
18、是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）24.函数与（a0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC=3，SABC=6，则b的值是（ ） A.b=5 B.b=-5 C.b=5 D.b=4图代13-3-1426.二次函数（a0），若要使函数值永远小于零，则自变量x的取值范围是（ ） AX取任何实数 B.x0 D.x027.抛物线向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为（ ） A. B. C. D.28.二次函数（k0）图象的顶点在（ ） A.y轴的负半轴
19、上 B.y轴的正半轴上 C.x轴的负半轴上 D.x轴的正半轴上29.四个函数：（x0），（x0），其中图象经过原点的函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个30.不论x为值何，函数（a0）的值永远小于0的条件是（ ） A.a0，0 B.a0,0 Ca0 D.a0,0三、解答题31.已知二次函数和的图象都经过x轴上两上不同的点M，N，求a，b的值.32.已知二次函数的图象经过点A（2，4），顶点的横坐标为，它的图象与x轴交于两点B（x1，0），C（x2，0），与y轴交于点D，且，试问：y轴上是否存在点P，使得POB与DOC相似（O为坐标原点）？若存在，请求出过P，B两点直线的解析式，
20、若不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C，且ABC=90，求：（1）直线AB的解析式；（2）抛物线的解析式. 图代13-3-15图代13-3-1634.中图代13-3-16，抛物线交x轴正方向于A，B两点，交y轴正方向于C点，过A，B，C三点做D，若D与y轴相切.（1）求a，c满足的关系能工巧匠；（2）设ACB=，求tg；（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与O的位置关系并证明.35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线
21、为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD部分为一段抛物线，顶点C的高度为8米，AD和AD是两侧高为5.5米的支柱，OA和OA为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和CD为两段对称的上桥斜坡，其坡度为14.求（1）桥拱DGD所在抛物线的解析式及CC的长；（2）BE和BE为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和AB为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和AB的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA（或OA）区域安全通过？请说明理由.图代13-3-1736.已知：抛物线与x轴交于两点（a0
22、，d=m2+1.（3）当d=10时，得m2=9. A（2，0），B（12，0）.该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），AB的中点E（7，0）.过点P作PMAB于点M，连结PE，则， . 点PD在抛物线上， . 解联合方程组，得.当b=0时，点P在x轴上，ABP不存在，b=0，舍去.b=-1.注：求b的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.ABP为锐角三角形时，则-25b-1，且b0.同步题库一、 填空题1.； 2.； 3.； 4.； 5.互为相反数； 6.y轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x-1； 8.四，增大； 9.向上，向下，； 10.向下，（h,0），x
23、=h； 11.-1，-2； 12.xx1），C的纵坐标是C.又y轴与O相切， OAOB=OC2. x1x2=c2.又由方程知，即ac=1.（2）连结PD，交x轴于E，直线PD必为抛物线的对称轴，连结AD、BD，图代13-3-22 . a0,x2x1， .又 ED=OC=c， .（3）设PAB=，P点的坐标为，又a0，在RtPAE中，. . tg=tg. =.PAE=ADE. ADE+DAE=90PA和D相切.35.解：（1）设DGD所在的抛物线的解析式为，由题意得G（0，8），D（15，5.5）. 解得DGD所在的抛物线的解析式为.且AD=5.5, AC=5.54=22(米). ） =74（米
24、）.答：cc的长为74米.（2） ， BC=16. AB=AC-BC=22-16=6（米）.答：AB和AB的宽都是6米.（3） 在中，当x=4时，. 0.该大型货车可以从OA（OA）区域安全通过.36.解:（1）O1与O2外切于原点O，A，B两点分别位于原点两旁，即a0.方程的两个根a，b异号.ab=m+20，m-2.（2）当m0方程有两个不相等的实数根. m-2， a0，b0.O1与O2都在y轴右侧，并且两圆内切.37.解：（1）设A，B两点的坐标分别是（x1，0）、（x2，0），A，B两点在原点的两侧， x1x20，即-（m+1）-1. 当m-1时，0，m的取值范围是m-1.（2）ab=31，设a=3k，b=k（k0），则 x1=3k，x2=-k，
