1、第三章 函数极限与连续函数 上册P8486习题解答第三章 函数极限与连续函数上册P8486 习题解答1. 按函数极限的定义证明： .证 , 限制, 有., 取, , .此即 . .证 取， .此即 . . 证 限制 , 有 .于是 , 对 取，时, 注意式, . 此即 . .证 限制 , 有 .于是 , 对 取，, .此即 . . 证 , 取, , , .此即 . . 证 , 取 , , ,. 此即 . . 证 ,取, , 时, 注意此时, 有 . 此即 . .证 限制 , 注意此时有 .,取, , 时 ,有和, .此即 .2. 求下列函数极限 ： . 解 . . 解 . . 解 . . 解
2、. .解 . ，（ 和为正整数 ）。 解 . .解 . .解 注意到 , 有 . .解 .因此 , .解 .因此 , .3. 利用夹逼法求极限: .解 时， 由，注意到，有 ； . 时 ， . 因此 , 由双逼原理,有 . .解 时 , 有 . 而, , , ().因此 ,由双逼原理,有 .4. 利用夹逼法证明 : , ( 为任意自然数 ).证 时 ,有. 而, , , ( 参阅本习题解答P30第5题第小题 ). 由双逼原理,有. 为任意自然数 ）.证 由, 时, .因此 , 时 , 有 , ( ).由双逼原理 , .5. 讨论单侧极限: 在三点 .解： ； ，； ， . , 在点 .解: 注
3、意到和, 有 ; . Dirichlet函数 在任意点 .解 对任意点, 取有理数数列, 使且( ), 有 ;取无理数数列, 使且( ), 有 . 由Heine归并原则 , 不存在 . 同理可得也不存在 . , 在 , .解 令 ，. . 当时 , . 且, 且.因此 , ; 当时 , . 且,且.因此 , .综上 , 对, , .6. 说明下列函数极限的情况 : ; 解答 , . 因此 , . . 解答 , . ; , 不存在 , 不存在 .因此 , 不存在 . .解答 令 ，有. , .时 , 由于 和 , 有;时 ， ；时 ，由于, 有 . .解答 时, 注意到, 充分大时, .此时 ,
4、 , ;时, 仍注意到, 充分大时, .此时, 由, 有, .综上 , 极限不存在 . .解答 . 现证明极限. 事实上, 注意 和 .时, 注意, 有.由上述极限及双逼原理 , 得.时, 由, 有.仍由上述极限及双逼原理 , 得. 综上 , 有 . .解答 令 , , . 于是 不存在.7. 设. 证明: . 证 当时 ，对, 由,( 限制), . 此时有, .因此, .当时, 对, 由,. 取, ,注意到此时有，就有 ,因此有. 此即 .8. 写出下述命题的“否定命题”的分析表述: 是无穷小量 . 解答 数列不是无穷小量是指:, 使 . 是正无穷大量 . 解答 数列不是正无穷大量是指:,
5、使 . 函数在点的右极限是. 解答 是指: ,虽有, 但 . 函数在点的左极限是正无穷大量. 解答 是指: ,虽有,但 . 当时 , 函数的极限是. 解答 是指: ,虽有, 但 . 当时 , 函数是负无穷大量. 解答 是指: ,虽有,但 .9 证明： 的充分必要条件是对于任意从右方收敛于点的数列 （ ），成立.证 ） 设且.对，由， . 对此, 由且, 有, 此时就有. 因此 , .) 反设. 则, , ，但. 于是 取, 但; 取, 但; 取, 但 依此得数列,易见有且,但, 即,与条件矛盾. 因此 ,必有.10. 证明: 存在而且有限的充分必要条件是对任意正无穷大量, 相应的函数值数列收敛.证 ）由存在而且有限 , 可设. 即有 , , , . 现设. 对上述, 由, , 使, ,此时就有. 此即 . 因此 , 数列收敛.) 设是正无穷大量 , 由题设条件 , 相应的函数值数列收敛.可设.反设不存在. 则对上述 , 有, 即, , 使 . 现构造正无穷大量如下:取, , 使 ;取, , 使 ; 取, , 使 ; 易见为正无穷大量 ,但. 考虑数列, 其中 ( 即: ).易见, 但由于和，发散 . 这与已知条件矛盾 . 因此必有有限存在 .64
