1、第三十五讲直线与圆A组一、选择题1若直线mx+ny+2=0（m0，n0）截得圆的弦长为2，则 的最小值为（ ）A. 4 B. 6 C. 12 D. 16【答案】B【解析】圆心坐标为，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即， ，所以 ，当且仅当时取等号，因此最小值为6，故选B2已知直线与圆相交于 两点，且线段是圆的所有弦中最长的一条弦，则实数( )A. 2 B. C. 或2 D. 1【答案】D【解析】由题设可知直线经过圆心，所以，应选答案D。3设点是上的点,若点到直线 的距离为,则这样的点共有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】 的圆心坐标为(1,1
2、),半径为 .圆心C(1,1)到直线 l:x+y4=0的距离 .如图，则满足条件的点P有三个，分别是P在A，B，D的位置上。本题选择C选项.4若圆C：x2y22x4y200上有四个不同的点到直线l：4x3yc0的距离为2，则c的取值范围是()A. (12，8) B. (8，12) C. (13，17) D. (17，13)【答案】C【解析】圆C的方程化为(x1)2(y2)225，则圆心C为(1，2)，半径r5.据题意，圆心C到直线l的距离d3，即 3，则13c17，选C.5若实数， 满足，则的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解答：由题意可得, 表示右半个圆x2+y2=1
3、上的点(x,y)与原点(0,2)连线的斜率，设k=，故此圆的切线方程为y=kx2，再根据圆心(0,0)到切线的距离等于半径,可得r=1，平方得k2=3求得k=,故的取值范围是，故选：D.6设是定义在上的增函数,且对于任意的都有恒成立.如果实数满足不等式,那么的取值范围是( )A. (9,49) B. (13,49) C. (9,25) D. (3,7)【答案】A【解析】由是的增函数和奇函数可得,所以 选A.二、填空题7已知圆： 和圆： ，若点（， ）在两圆的公共弦上，则的最小值为_【答案】【解析】由题意得，圆： 和圆： 两个方程相减即可得到两圆的公共弦，即，又点（， ）在两圆的公共弦上，即，则
4、 （当且仅当即，等号成立），即的最小值为.8在平面直角坐标系中，圆若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是_【答案】 (或)【解析】由于圆存在以为中点的弦，且，所以,如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，连接， ，由于， ， ，解得.三、解答题9已知在平面直角坐标系中，点，直线： .设圆C的半径为1，圆心在直线上（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点，使，求圆心C的横坐标的取值范围【解析】（1）由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在设过A(0，3)的圆C的切线方程为yk
5、x3，由题意， 1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.（2）因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为0， 10已知，直线被圆所截得的弦长为，且为圆上任意一点.（1）求的最大值与最小值；（2）圆与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
6、【解析】（1）直线被圆所截得的弦长为，到直线的距离为，解得或，又，.， .（2）由（1）知圆的方程为，令，得或；令，得，或.这三个点的坐标为， ， .易知， 为直角三角形，且斜边，则内切圆的半径为.11过直线上一动点不在轴上)作焦点为的抛物线的两条切线, 为切点,直线分别与轴交于点.()求证: ，并求的外接圆面积的最小值；()求证:直线恒过一定点。 【解析】 ( I ) 设，则直线为，与联立，得： 因为相切，所以，得： ，又，所以 即，同理： ，所以为的外接圆，又因为： ，所以的外接圆面积最小值为： .（）设点，易知：直线方程为： ，代入点坐标得： ，同理： ，所以直线方程为： ，又点满足：
7、所以直线恒过定点12已知动点到点和直线l： 的距离相等.（）求动点的轨迹E的方程；（）已知不与垂直的直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，以AP为直径作圆.判断点和圆的位置关系，并证明你的结论【解析】（）设动点，由抛物线定义可知点的轨迹E是以为焦点，直线l： 为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为.（）法1：由题意可设直线，由可得（*），因为直线与曲线E有唯一公共点A，所以，即.所以（*）可化简为，所以，令得，因为，所以所以，所以点在以PA为直径的圆上.法2：依题意可设直线，由可得（*），因为直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，所以即所以（*）可化简为，所以.令得，因为，所以，所
8、以点在以PA为直径的圆上.B组一、选择题1已知,直线被圆所截得的弦长为，且为圆上任意一点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据弦心距、半径、半弦长的关系得： ，解得： 或 (舍去)，当时， 的最大值，故选D.2过直线y=2x上一点P作圆M： 的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线 l1，l2关于直线y=2x对称时，则APB等于A. 30 B. 45 C. 60 D. 90【答案】C【解析】连接PM、AM,可得当切线l1，l2关于直线l对称时，直线lPM，且射线PM恰好是APB的平分线，圆M的方程为，点M坐标为(3,2),半径r=，点M到直线l:2xy=0的距离为
9、PM=，由PA切圆M于A,得RtPAM中,sinAPM=，得APM=30，APB=2APM=60.故选：C.3已知直线分别于半径为的圆相切于点，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，由切线长定理知，又 ，因此，解得4已知动点在直线上，动点在圆上，若，则的最大值为（ ）A. 2 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】 如图所示，设点， 圆心到直线的距离为，则， 因为直线与圆有交点，所以， 所以，解得，所以的最大值为，故选C.5若在圆上，总存在相异两点到原点的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】
10、C【解析】圆心 与原点之间的距离为 ，当原点在圆外时，则 ；当原点在圆外时，则；当点在圆上， 显然符合，综上3种情况有，解得 或 ，选C.6已知圆： 和两点， ，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得点P的轨迹方程是以位直径的圆，当两圆外切时有：，即的最小值为1.本题选择D选项.二、填空题7已知函数，其中是半径为4的圆的一条弦， 为原点， 为单位圆上的点，设函数的最小值为，当点在单位圆上运动时， 的最大值为3，则线段的长度为_【答案】【解析】设，则函数，其中P为单位圆O上的点，点A在直线MN上；函数f(x)的最小值t为点P到直线MN的距离，当
11、tmax=3时，如图所示；线段MN的长度为.8在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_【答案】【解析】 ,当 时，半径最大为 ，圆方程为 ，故答案为.9已知直线与圆相交于两点，点分别在圆上运动，且位于直线两侧，则四边形面积的最大值为_【答案】【解析】把圆M:x2+y22x+2y1=0化为标准方程：(x1)2+(y+1)2=3,圆心(1,1),半径 .直线与圆相交,由点到直线的距离公式的弦心距 ，由勾股定理的半弦长= ,所以弦长 .又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形ABC和ACD的面积之和，如图所示，当B,D
12、为如图所示位置,即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径时)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为： .10已知圆，设为直线上的一条线段，若对于圆上的任意一点,则的最小值是_.【答案】【解析】若对于圆上的任意一点,则圆上的任意一点都在以线段为直径的圆内，圆心 到直线的距离为 ,所以圆上的点到直线的距离的最大值为 ，所以以线段为直径的圆的半径的最小值为，则的最小值是。三、解答题11如图，已知圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于两点（点在点的左侧），且.（）求圆的方程；（）过点任作一条直线与圆相交于两点，连接， 求证： 为定值.【解析】（1）因为圆与轴相切于点，可设圆心的坐标为
13、，则圆的半径为，又，所以，解得，所以圆的方程为（2）由（1）知，当直线AB的斜率为0时，易知即当直线AB的斜率不为0时，设直线AB: 将代入，并整理得，设，所以则综上可得。12若圆： 与圆： 相外切（1）求的值；（2）若圆与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点， 为第三象限内一点且在圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值【解析】（1）圆的圆心坐标，半径为，圆的圆心坐标，半径为3，又两圆外切得， （2）点坐标为，点坐标为，设点坐标为，由题意得点的坐标为；点的坐标为，四边形的面积，有点在圆上，有，四边形的面积，即四边形的面积为定值413已知平面直角坐标系内两个定点、,满足的
14、点形成的曲线记为.(1)求曲线的方程;(2)过点B的直线与曲线相交于C、D两点,当COD的面积最大时,求直线的方程(O为坐标原点);(3)设曲线分别交x、y轴的正半轴于M、N两点,点Q是曲线位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于.求证四边形MNEF的面积为定值.【解析】 (1)由题设知,两边平方化简得点的轨迹的方程为(2)由题意知的斜率一定存在, 设即,原点到直线的距离,当且仅当时,取得“=” 当时,此时, 直线的方程为(3)设设 (其中)则,令得,令得 (定值)14已知动圆与圆外切，与圆内切（1）试求动圆圆心的轨迹方程；（2）过定点且斜率为的直线与（1）中轨迹
15、交于不同的两点，试判断在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由【解析】（1）由得，由得，设动圆的半径为，两圆的圆心分别为，则，根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以为焦点的椭圆， 动圆圆的轨迹方程为（2）存在，直线的方程为，设， 的中点为假设存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，则，由，得， ，即，当时， ，；当时， ，因此，存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，且实数的取值范围为C组一、选择题1已知，点是直线与圆的公共点，则的最大值为（ ）A. 15 B. 9 C. 1 D. 【答案】B【解析】由于直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大
16、于半径，即，解得，将点坐标代入直线和圆的方程，有，第一个式子两边平方后，代入第二个式子，化简得，二次函数对称轴为，且开口向上，根据可知当时， 有最大值为,2已知点， ， 在圆上运动，且.若点的坐标为，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知AC是圆的直径，所以O是AC中点，故，PO的长为5，所以,显然当B在PO上时， 有最小值，当B在PO的延长线上时， 有最大值，故选C3已知圆的半径为1， 为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（ ）A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B【解析】因为 ,所以四边形为平行四边形,又因为 都在圆上,所以, 必为圆的直径, 四边形为矩
17、形, 当且仅当时取等号,选B.4若曲线与曲线有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】曲线可化为，表示直线和直线，直线与曲线，有一个交点，即原点.则需直线和有两个交点，即圆心到直线的距离小于半径，也即，解得.（当时，两直线有相同的公共点为原点，故舍去）5在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】圆 的圆心为 ，半径为1圆心到直线的距离为，要使直线与圆相交，则，解得 在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为故选A6已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（
18、）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设是圆的切线， 是圆与以为直径的两圆的公共弦，可得以为直径的圆的方程为， 又 ， -得，可得满足上式，即过定点，故选B.二、填空题7在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为_【答案】【解析】圆心（1,1）半径为1，要使AB的长度最小，则最小，即最小，即PC最小，由点到直线的距离公式可得： ，则=60，=120，即AB=，当P在无限远取值时， 趋近180，此时AB趋近直径2，故的取值范围为8直线与圆相交于两点、.若，则（为坐标原点）等于是_【答案】【解析】解：取MN的中点A，连接OA，则OAMN，c2=a2+
19、b2，O点到直线MN的距离 ，x2+y2=16的半径r=4，RtAON中,设AON=,得，cosMON=cos2=2cos21= ，由此可得： .9已知直线与O： 交于P、Q两点，若满足，则_；【答案】-1【解析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程组， 直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=2联立消去y，得（A2+B2）x2+2ACx+（C22B2）=0，x1x2=；消去x，得（A2+B2）y2+2BCy+（C22B2）=0，y1y2=；x1x2+y1y2=+=，A2，C2，B2成等差数列，2C2=A2+B2，=1故答案为：1三、解答题10已知圆与直线相切，点为圆上一动点， 轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.【解析】（I）设动点，由于轴于点又圆与直线即相切， 圆由题意， ，得即将代入，得曲线的方程为 （II）（1）假设直线的斜率存在，设其方程为，设联立，可得 由求根公式得（*）以为直径的圆过坐标原点， 即即化简可得， 将（*）代入可得，即即，又将代入，可得 当且仅当，即时等号成立又由， ， （2）若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得 同理求得 故综上，得
