1、第8讲三角函数中的范围、最值问题以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键例1(1)若函数ysin2xacos xa在上的最大值是1，则实数a的值为_答案解析y1cos2xacos xa2a.0x，0cos x1.若1，即a2，则当cos x1时，ymaxaa1a2(舍去)；若01，即0a2，则当cos x时，ymaxa1，a或a40(舍去)；若0，即a0(舍去)综上可得，a.(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos Cb0，则tan B的最大值是_答案解析在ABC中，因为3acos Cb0，所以C为钝角，由正弦定理得3sin
2、 Acos Csin(AC)0，3sin Acos Csin Acos Ccos Asin C0，所以4sin Acos Ccos Asin C，即tan C4tan A.因为tan A0，所以tan Btan(AC)，当且仅当tan A时取等号，故tan B的最大值是.例2(1)(2020烟台模拟)将函数f(x)cos x的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的(0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在上的值域为，则的取值范围为()A. B. C. D.答案A解析f(x)cos x向右平移个单位长度，得到ycos的图象，再将各点横坐标变为原来的(0)得g(x)cos，当x时，x
3、，又此时g(x)的值域为，0，.(2)若将函数f(x)sin的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是_答案解析方法一将f(x)sin的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)sin的图象，该图象关于y轴对称，即g(x)为偶函数，因此2k，kZ，所以(kZ)，故当k1时，的最小正值为.方法二将f(x)sin的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)sin的图象，令2x2k，kZ，得x(kZ)，此即为g(x)的对称轴方程，又g(x)的图象关于y轴对称，所以有0，kZ，于是(kZ)，故当k1时，取最小正值. (1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当
4、的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等(2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象1已知函数f(x)2sin(x)(0)的图象关于直线x对称，且f0，则的最小值为()A2 B4 C6 D8答案A解析函数f(x)的周期T4，则，解得2，故的最小值为2.2若函数f(x)2sin xcos x在0，上是增函数，则当取最大值时，sin 2的值等于()A. B. C. D.答案A解析f(x)sin(x)，其中tan ，且，由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.当k0时，增区间为，所以max，所以当取最大值时，sin 2sin 2sin 2.3已知函数f(x)2sin中x在任意的个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数的取值范围是_答案10，)解析由题意得T，10，0，10.4已知函数f(x)sin(0)，若f(x)在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是_答案解析令xk，kZ，得x，kZ，f(x)的第2个、第3个正零点分别为，解得4，令2kx2k，kZ，x，kZ，令k0，f(x)在上单调递增，0，综上得的取值范围是.
