1、教学目标 1. 通过辗转相除法与更相减损术的学习, 进一步体会算法的思想.2. 通过古代著名的算法,体会古代数学对世界数学发展的贡献,理解辗转相除法与更相减损术算法的含义,掌握其计算过程,了解其算法程序框图和程序.2学情分析 学生已经学习了表达算法的三种方式:算法步骤、程序框图和基本算法语句,体会了算法的基本思想. 本节课,通过古代著名算法的学习,自己设计算法步骤和程序框图,同时体会古代数学对世界数学发展的贡献.3重点难点 重点:引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.难点:体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力.4教学过程 4.1 第一学时 4.1.
2、1教学活动 活动1【导入】创设情境 咱们每天都要吃饭,东、西方人分别用什么工具吃饭的?东方人一般用筷子和勺,西方人一般用刀叉。不仅吃饭方式不同,东、西方人在饮食习惯、生活方式及文化方面都不同. 对于同一个问题,东、西方人处理问题方式是有所不同的. 在小学,我们学过求两个正整数的最大公约数. 那如何求两个正整数的最大公约数?方法:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到 所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时(如8251与6105),使用上述方法求最大公约数就比较困难. 今天我们介绍两种不同的求最大公约数的算法辗转相除法与更相减损术. 由此可以体会东、西方文
3、化的差异.活动2【讲授】新知研探 问题1:30与42的最大公约数是多少? 你是如何得到的?短除法,先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是两个互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.问题2:求30与42的最大公约数还有没有别的方法?试着用42除以30,观察商和余数.新知1:辗转相除法(欧几里得算法)这种算法是由古希腊数学家欧几里得在公元前300年左右首先提出的,记录于几何原本,因而又叫欧几里得算法.所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数. 若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.
4、问题3:求6201与4717的最大公约数.练习:利用辗转相除法求1734与816的最大公约数.问题4:一般地,用辗转相除法求两个正整数m,n的最大公约数,可以用什么逻辑结构来构造算法?其算法步骤如何设计?学生讨论,辗转相除法求两个数的最大公约数,其算法步骤可以描述如下:第一步,给定两个正整数m,n.第二步,求余数r:计算m除以n,将所得余数存放到变量r中.第三步,更新被除数和余数:m=n,n=r.第四步,判断余数r是否为0.若余数为0,则输出结果;否则转向第二步继续循环执行.问题5:该算法的程序框图如何表示?相应的算法语句呢?学生自己画出程序框图,相应的算法语句老师学生一块完成,并用课件展示出.问题6:设两个正整数mn,若m-n=k,则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等.反复利用这个原理,可求得98与63的最大公约数为多少?新知2:“更相减损术”在中国古代数学专著九章算术中记述为: 可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之.活动3【练习】数学应用 例1.分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数.例2. 求325,130,270三个数的最大公约数.总结辗转相除法与更相减损术的区别与联系:名称 辗转相除法 更相减损术区别联系
