1、 教 案教学基本信息课题立体几何初步单元复习（第二课时）学科数学学段：高中年级高一年级教材书名：普通高中教科书数学必修第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年 6 月教学设计参与人员姓名单位设计者张雅丽北京市顺义区杨镇第一中学实施者张雅丽北京市顺义区杨镇第一中学指导者李淑敬北京市顺义区教育研究和教师研修中心赵贺北京市顺义区教育研究和教师研修中心课件制作者张雅丽北京市顺义区杨镇第一中学其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课是立体几何初步的单元复习课第二课时，通过对基础知识的复习，帮助学生回顾本部分的主要内容，正确理解所学知识，理清知识脉络，对这部分知识系统化和网络化；通过例题巩固，
2、揭示解题规律，总结解题方法，提高这部分的思辨能力，强化规范，提高示范功能。教学重点：空间点、直线、平面的位置关系的判定；三种平行之间转化的应用及探索性问题的一般解题策略。教学难点：探索性问题的理解。教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入本节课我们针对的主要内容是空间点、直线、平面的位置关系的判定和平行之间转化的应用。明晰教学内容和教学重点一、知识概要复习巩固典型例题知识结构知识梳理：（一）4个基本事实及推论基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面即“不共线的三点确定一个平面” 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有
3、一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面以上四点是确定平面的重要依据基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 作用：可以判定直线是否在平面内基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线作用：（1）判定两个平面相交，（2）判定点在直线上，即若点是两个平面的交点，直线是两个平面的交线，那么这个点一定在该交线上。 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行通常叫做平行的传递性，可以判定线线平行。（二）空间直线与平面的位置关系空间中直线与直线的位置关系有：相交直线在同一平面内，有且只有一个公共点 ，平行直线在同一平面内，
4、没有公共点，异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。其中相交直线和平行直线又称为共面直线。空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内，直线与平面有无数个公共点；直线与平面相交，直线与平面有且只有一个公共点；直线与平面平行，直线与平面没有公共点。其中当直线与平面相交或平行时，称为直线在平面外。空间中平面与平面的位置关系有：两个平面平行，两个平面没有公共点；两个平面相交，两个平面有一条公共直线。位置关系的判定主要通过公共点个数这个几何特征。三种位置关系中也分别给出了线线平行、线面平行、面面平行的定义，即判定三种平行关系的定义法。（三）空间平行之间的转化具体的：线面垂直的性质定理平行与垂直之间建立
5、了桥梁。希望同学们通过以上知识的复习，课下也能建构一个适合自己的知识网络图，实现知识的内化，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。二、典型例题例题1：若直线a不平行于平面，且直线a平面，则下列结论成立的是（ ） （A）内的所有直线与a是异面直线（B）内不存在与a平行的直线 （C）内存在唯一一条直线与a平行（D）内的所有直线与a都相交 解析：直线与平面有三种位置关系：直线在平面内、相交、平行。根据已知排除平行和直线在平面内，就剩下直线与平面相交.同学们可以拿出笔当作直线、桌面看作平面进行实物操作，一只手摆出直线与平面相交，另一只手在桌面上画各种位置的直线及寻找反例，很快能排除A、D选项。通过实物操作
6、也能初步判断B是正确的。不妨设平面内有一直线b，b与直线a平行，而在平面内过点A必能作直线c，使直线c与直线b平行，由平行的传递性得直线a与c平行，如图，显然矛盾。故B是正确的。例题2：如果直线a/平面，点P平面，那么过点P且平行于直线a的直线（ ）. （A） 只有一条，不在平面内（B）有无数条，不一定在内 （C）只有一条，且在平面内 （D）有无数条，一定在内 解析：根据题意，可以画图演示，进行推理。如图: 过直线a可作平面，设 =m，则a/m 当m恰好过点P时，直线m存在唯一一条当m不过点P时， P，m， 则过点P且平行于m的直线只有一条 由平行的传递性，过点P且平行于a的直线也只有一条且在
7、平面内综上选C。例题3：已知m，n为异面直线，m平面，n平面.若直线l满足lm，ln，l，l，则（ ）. （A） / ， l / （B） 与 相交，且交线平行于l （C），l （D） 与 相交，且交线垂直于l 解析：此题的条件比较多，可乱中捋序，由m，n为异面直线，且m平面，n平面，可知平面与相交，否则m/n。设平面与的交线为直线a. 第一组lm，l，则平面内一定存在直线b，满足b/l且b；第二组ln，l，同理 平面内一定存在直线b，满足b/l且b。b/l，b /l，所以b/b，进而b/，由线面平行的性质得b/a,因此l/a,即选B。本题也可以通过给出的已知条件找到实物模型如图，在直六棱柱AB
8、CDEF-A1B1C1D1E1F1中，若ABAF， DEEF 设平面AFF1A1为 ，平面FEE1F1为，棱AB所在直线为m，棱D1E1所在直线为n，棱CC1所在直线为l.结论显然为B. 总结：空间点、直线、平面位置关系的判定问题 （1）平面的基本事实是基础. 常采用列举形式,对各种关系进行考虑.（2）利用线线、线面、面面的平行及垂直的判定定理、性质定理进行综合推理，判断命题是否正确. （3）利用实物操作、模型演示充分发挥直观性作用. 例题4：如图，在四面体A-BCD中，M是AD的中点， P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ/平面BCD. 策略就是：“由已知想可知，由求
9、证想需知”，寻求平行之间的转化. 本题要证线面平行，由转化关系可以有线线平行和面面平行两个思路。思路一 由线线平行推线面平行结合已知P是BM的中点， AQ=3QC.分析一： 证法一：在BD上取中点E，在CD上取DF=3FC， P是BM的中点， 在MBD中，PE/DM且PE=DM DF=3FC，AQ=3QC， QF/AD且QF=AD 又 M是AD的中点， QF/DM且QF= DM PE/QF且PE=QF 四边形PEFQ是平行四边形 PQ/EF PQ平面BCD，EF平面BCD， PQ/平面BCD 分析二：在平面BCD内找到与PQ平行的直线还可以根据结论。寻找平行线的目标就转化为寻找交线。证法二：连
10、接AP并延长交BD于G，连接GC取AG的中点为H，连接HM M为AD中点， HM/BD P为BM中点， PBGPMH PG=PH，即PG= AG AP=3PG AP=3PG，AQ=3QC， APQAGC PQ/GC 又 PQ平面BCD，GC平面BCD， PQ/平面BCD 思路二 由面面平行推线面平行分析三：结合已知，P是BM的中点，不妨取MD的中点为N，证法三：取MD的中点为N，连接PN，QN M是AD的中点， AN=3ND P是BM的中点， PN/BD 又 PN平面BCD，BD平面BCD， PN/平面BCD AQ=3QC且AN=3ND， QN/CD 又 QN平面BCD，CD平面BCD， QN
11、/平面BCD PNQN=N， 平面NPQ/平面BCD PQ平面NPQ， PQ/平面BCD 总结：此题证明线面平行，可以通过作辅助线在平面BCD内找到与已知直线PQ平行的直线，辅助线的作法有：（1）结合已知条件取特殊位置；（2）利用平面基本事实找到交线有的利用三角形中位线、有的利用平行四边形的性质、有的利用三角形相似来证明线线平行另外也可以通过构造过PQ与平面BCD平行的平面，利用面面平行来证明线面平行 思考：在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中， AB/DC.回答下面的问题：（1）在侧面PAB内能否作一条直线段使其与DC平行？ （2）在侧面PBC内能否作一条直线段使其与AD平行？ 分析： 结合
12、已知条件AB/DC，AB侧面PAB ，所以只需在平面PAB内作EF/AB，即可得EF/DC。解：（1）能作出直线段与DC平行 具体作法是，在侧面PAB内作AB的 平行线EF，即 EF/AB AB/DC， EF/DC 而且这样的直线段还有很多。（2）在侧面PBC内不一定能作一条直线段使其与AD平行理由如下： 如果AD与BC平行，可参照（1）的方法作出平行线 如果AD与BC不平行，设侧面PBC内能作出直线段MN/AD MN/底面ABCD MN/BC AD/BC 侧面PBC内不能作出直线段与AD平行 综上所述：如果AD与BC平行时，在侧面PBC内能作出直线段与AD平行；如果AD与BC不平行时，在侧面
13、PBC内不能作出直线段与 AD平行 思考：仍然在这个题设条件下，结合前面的问题，你还能提出哪些类似的数学问题？ 例如：若侧面PAD与侧面PBC的交线为l ，交线l能否与底面ABCD平行？ 若AD/BC，在棱PD上是否存在点E， 使得PB/平面ACE? 这类“是否存在”、“是否有”、“在何位置”等形式设问的问题，是一种具有开放性和发散性的问题，常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立要求我们结合已有条件进行观察、分析、比较、概括、归纳和猜想去探索第一个问题：若侧面PAD与侧面PBC的交线为l，交线l能否与底面ABCD平行？ 这是对命题结论的探索性问题，即在给定的条件下这个结论能否成立?常用策
14、略：（1）从条件出发，探索出要求的结论；（2）假设结论成立，寻求与条件相容还是矛盾的结论 解：假设交线l/底面ABCD 由基本事实3，交线l过点P l侧面PAD， l/AD 同理 l/BC AD/BC 条件中不确定AD与BC的位置关系， 如果AD与BC平行时，交线l与底 面ABCD平行；如果AD与BC不平行时，交线l不与底面ABCD平行 第二个问题：若AD/BC，在棱PD上是否存在点E，使得PB/平面ACE?这是对命题条件的探索性问题，即探索能使结论成立的条件是什么.常用策略：（1）通过观察与尝试给出条件，先猜再证；（2）找出结论成立的必要条件，再给出充分性的证明 借助已知条件，猜E为PD中点
15、时，可能使结论成立。本题将转化为在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中， AB/DC， AD/BC，E为棱PD的中点，求证：PB/平面ACE.分析：连接BD，则O为BD的中点，所以有OE /PB. 则有PB/平面ACE.解：设E是PD的中点，连接BD交AC于点O，连接OE AB/DC，AD/BC， 底面ABCD为平行四边形 O为BD中点 又 E是PD的中点， OE/PB PB平面ACE， OE平面ACE， PB/平面ACE 棱PD上存在点E，E是PD中点时，使得PB/平面ACE 总结：探索性问题，一类是命题结论的探索，一类是命题条件的探索求解命题结论“是否存在”，“是否有”时，可以先假设结论存在
16、，从这个结论出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了，则存在；如果找不到，则不存在；探求点的位置时，可以从特殊位置入手，先猜测再证明随着我们不断地学习，还会有其它的手段来解决这类问题 建构知识结构图，促使学生把原本零散的互不相连的各个知识点相互联系起来，加深内部的联系，对这部分知识系统化和网络化基本事实是点、线、面位置关系的基础，带领学生一起巩固，明确作用。帮助学生梳理线线、线面的位置关系，突出有无公共点这个几何特征是判断位置关系的关键点，同时简单介绍平行的定义法。清楚平行间的转化关系，更清晰地寻找到解题思路。通过表格梳理知识，有利于知识的条理化；从文字语言、图形语言、符号语言三方面形成
17、对比，加深各定理的理解。培养学生的数学阅读能力。通过列举法，对各种关系进行排除。培养学生利用身边的工具，体会实物操作与思辨论证间相辅相成的作用，更符合学生的特点，容易被学生接受。线面平行的性质定理的应用为学生学习过程中的弱项，巩固性质的应用，加深理解。立体几何问题的分析要求严谨，必要时也要进行分类讨论分析。位置关系的判断，可以由线线、线面、面面的平行及垂直的判定定理，性质定理来判断是否正确；也可以通过已知条件找到实物模型这个有力的载体，直观演示，提高空间想象能力。及时归纳空间点、直线、平面位置关系的判定问题的一般方法。这是一个典型的证明线面平行类型的题目，它可以用三种方法，也是证明线面平行的常
18、见方法，这种立体几何中的三大元素之间关系的依存、关联性，也是本节课的重点内容。而由线/线推证线/面时找辅助线、由面/面推证线/面时找辅助面正是本节课的难点，是要重点突破的问题。所以学生通过此题的学习，不仅要掌握证明线面平行的常用思路，还能熟悉作辅助线的一般策略，同时通过一题多解的练习 拓宽学生的思路，培养学生求异的创新意识。.引导学生从空间几何方面寻找线线平行。了解熟悉的数学命题的条件与结论之间的逻辑关系，并有条理地表述论证过程。始终围绕题目，观点明确，论述有理有据。引起学生注意，诱发学生探知的欲望，养成思考问题习惯能够在综合的情境中，找到合适的研究对象，构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题。 总结三、课堂小结（1）回顾了空间点、直线、平面的位置关系，建立知识网络，并加强了对基本概念的理解和应用； （2）平行关系的证明中，线线平行为基础，梳理好常用的证明方法，灵活运用； （3）解决问题时注重“转化思想”梳理本节课所学知识，体会立体几何的研究内容、思路和方法.深化理解理清本节的重点难点。作业四、布置作业一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，在木块表面应该怎样画线？ 巩固平行关系的应用
