1、 带有分数积分的波动方程解的非存在性 许勇强*1,2( 1闽南师范大学数学与统计学院，福建 漳州 363000 2 厦门大学物理与机电工程学院，福建，厦门，361005)摘要: 通过选择恰当的检验函数与平移讨论相结合，我们给出了一类非线性项具有非局部性质的波动方程局部解和全局解存在的必要条件。关键词: 波动方程； 非线性项； 分数积分； 全局非存在性；弱解。中图分类号: O175.25 文献标示码: A1. 引言本文主要研究下面的波动方程 （1.1）的弱解的非存在性问题。它满足如下的初值条件 （1.2）其中， 是一般的拉普拉斯算子，表示在带有介质的媒体中传播，定义如下：， 这里表示傅里叶变换，
2、而 则是它的逆变换。由于下面的极限在分布意义下存在，所以方程（1.1）可以认为是经典的半线性波动方程 （1.3）的逼近问题，这里是欧拉函数。 显然，方程（1.1）中的非线性项包含自相似的记忆类型，且可以看作是Riemann-Liouville 积分算子对于该算子，最早于1832年， Liouville 引进了 的特殊情形，然后于1876年，Riemann考虑了的形式1。因而，方程（1.1）具有下面的形式 （1.4） 其中表示Riemann-Liouville分数积分（见定义（2.3）。在陈述我们的结果之前，我们来描述一下与方程（1.1）相联系的一些方程的存在意义。最近，Chen 和 Holm2
3、 研究了下面的方程 （1.5）该方程用于描述声音在粘性流体中的传播，其中表示无粘性相速度，则代表热力粘性系数。因此，方程（1.5）可以看作是早期Greenberg et at. 3 重要工作的推广。该作者考虑了下面的方程。 （1.6）这里，表示与介质有关的常数， 而则表示外力的一个给定函数。因为方程（1.5）可以认为是非线性方程的逼近问题，所以方程（1.3）包含了一个具有应用价值的非线性项。同时，我们也注意到，Carvalho等4 研究了方程（1.3）。假如在方程（1.3）中取 那么我们得到了带有线性阻尼项的波动方程。许多数学工作者对此做了广泛的研究，比如，Todorova等5, Kirane
4、等6-7 , 以及Zhang8 (得出Fujita指数等于)。实际上，文章5对方程（1.3）作了全面研究，这对应于的情况。然后，Fino9 应用5中的一些性质研究了下面的问题 （1.7）其中，这是方程（1.1）在的特殊形式。 本文主要考虑的情形，主要目的是研究方程（1.1）在这种情形下的局部解和全局解不存在的必要条件，同时揭示了初值在无穷远处的值对局部解和全局解的存在性具有很深的影响。本文所采用的方法来源于Baras等10-11, Kirane等6-7。2. 预备知识在这部分，我们将给出有关分数阶拉普拉斯算子，分数积分以及分数导数的相关结果。首先考虑下面的特征值问题 （2.1）其中是一个有界开
5、集。 取是在中的特征值，是所对应的特征向量。那么就有且所以，对于任意的，有下列的性质 （2.2）关于更多的细节，可看文献12。 下面我们来定义Riemann-Liouville分数左右导数。假设AC0,T表示所有在上绝对连续的函数空间。那么如果 则Riemann-Liouville分数左右导数和可定义如下=这里， （2.3）表示Riemann-Liouville分数积分3。而且，对于任意的如果和存在且连续，我们有下面的分部积分公式12 ( 2.4 )注意到当且时，我们有下面的公式12 ( 2.5 )其中表示一般意义下的N次导数。而且对于 下面的公式12, ( 2.6 )在上几乎处处成立。本文将
6、用到下面的结果假如，那么对于有， ( 2.7 )。 ( 2.8 ) （2.9）所以有 (2.10) （2.11）这里 ，。3. 本文的主要结果定义1 取，如果对于任意的检验函数都有 = （3.1）那么函数是方程（1.1）的一个弱解，这里。 本篇文章的主要结果如下： 定理1 取 且。如果 或者 那么问题（1.1）没有非负的局部解。注: 1 根据定理1，我们可估计局部解的存在时间如下 2. 极限是问题（1.1）的全局弱解存在的必要条件，但这个条件并不是充分条件。定理2（全局解的必要条件） 取且。如果问题(1.1)有一个非平凡的全局解，那么存在常数和使得或者当时，.4. 定理1的证明 我们选择检验函
7、数。取，其中是在上的第一特征值，且满足齐次Dirichlet 边界条件(2.1)，对应的特征值为；且表示支集)。 现在方程（1.1）两边乘以然后在上积分，根据（2.10）和（2.11），我们得到 = （3.2）这里.而且，使用（2.4）和（2.5），（3.2）可以写为 =. （3.3）联合（2.6），（2.10）和（2.11），并且考虑到，我们推出=, （3.4）这里为了估计方程(3.4)的右边的第一个积分，我们把它写为下面的形式.因而，.相似地，,这里且 假如我们易于得到这时我们引入变量替换，然后在（3.5）中，联合（2.7），（2.8）和（2.9），我们可推出 （3.6）这里. 在不等式（
8、3.6）中，使用下面的估计然后两边分别除以，我们有于是让，我们有极限 （3.7） . （3.8）估计（3.7）和（3.8）可推出下面的结果：1. 当时，假如 或者，我们将得到矛盾。5定理2的证明从（3.6），得出 （3.9）然后在（3.9）中取，我们有 （3.10）因而，因为，我们有 （3.11）现在（3.11）的右边使用，我们有 （3.12）并且在（3.11）的左边再次使用，我们有 （3.13）联合（3.12）和（3.13），我们可推出 （3.14）最后在（3.14）的两边分别除以，我们得出 （3.15）让，我们有. (3.16) 相似地，从（3.10）我们可得出或者与（3.16）的讨论相类
9、似，我们有 或者.因而我们完成了定理2的证明。参考文献1 Debnath L, Bhatta D, Integral Tranforms and Their ApplicationsM,Taylor and Francis group, 2007.2 Chen W, Holm S, Physical interpretation of fractional diffusion wave equation via lossy media obeying frequency power lawJ, preprint.3 Greenberg J. M. , MacCamy R., Mizel V.
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15、l of Mathematics and Statistics, Minnan Normal University, Fujian 363000, China; 2. Department of Mechanical and Electrical Engineering, XiamenUniversity, Fujian 361005, China)Abstract: In this paper, we establish some conditions that ensure the absence of global solutions to a wave equation with a
16、nonlocal nonlinearity. We obtain the necessary conditions for the local and global solvability. The method used is based on a duality argument with an appropriate choice of the test function and a scaling argument.Key words: Wave equations; Nonlinearity; Fractional integral; Global nonexistence; Weak solutions.8
