1、第六届中国西部数学奥林匹克第一天2006 年 11 月 4 日 8：0012：00 江西 鹰潭一设 是给定的正整数， ， . 求n2n12,(0,1)na611()iii 的最大值，这里 1na二求满足下述条件的最小正实数 k：对任意不小于 k 的 4 个互不相同的实数 a，b，c ，d，都存在 a，b，c ，d 的一个排列 p，q，r ，s，使得方程22()()0xpqxs有 4 个互不相同的实数根三如图，在PBC 中， ，过点 P 作 PBC 的外接圆 的切6PBC线，与 CB 的延长线交于点 A. 点 D 和 E 分别在线段 PA 和圆 上，使得，PDP E. 连接 BE，与 PC 相交
2、于点 F. 已知 AF，BP，CD 三线90DBE共点（1） 求证：BF 是 的角平分线；（2） 求 的值tanCB四设正整数 a 不是完全平方数，求证：对每一个正整数 n，2nnSaa的值都是无理数这里 ，其中 表示不超过 x 的最大整数xx FD EPB CA第六届中国西部数学奥林匹克第二天2006 年 11 月 5 日 8：0012：00 江西 鹰潭五设 证明：若1,Sn都 可 以 表 示 为 两 个 正 整 数 的 平 方 和，则 n2六如图，AB 是圆 O 的直径， C 为 AB 延长线上的一点，过点 C 作圆 O的割线，与圆 O 交于 D，E 两点，OF 是BOD 的外接圆 O1
3、的直径，连接 CF并延长交圆 于点 G求证： O，A，E ，G 四点共圆1七设 是一个不小于 3 的正整数， 是一个实数证明：如果k和 都是有理数，那么存在正整数 ，使得 和cos(1)cos nkcos(1)n都是有理数n八给定正整数 ，求 的最小值，使得对集合 X 的任意 n 个二元子(2)nX集 ，都存在集合 X 的一个子集 ，满足：12,nB Y（1） ；Y（2）对 ，都有 ,i 1iBA BO CEDFGO1这里 表示有限集合 A 的元素个数A解 答第六届中国西部数学奥林匹克第一天2006 年 11 月 4 日 8：0012：00 江西 鹰潭一设 n 是给定的正整数，n 2， . 求
4、12,(0,1)na611(niii 的最大值，这里 1na解 由 AMGM 不等式，得 ),3(61221)1(21313614iiiiiiiiaa所以 ,23612)()13216naniiiniii等号成立当且仅当 .故 y 的最大值是 .21naa 32n二求满足下述条件的最小正实数 k：对任意不小于 k 的 4 个互不相同的实数a，b，c，d，都存在 a，b，c，d 的一个排列 p，q，r，s，使得方程22()()0xx有 4 个互不相同的实数根解 所求最小正实数 .4k一方面，若 ，取 ，则对 的任意排列 ，方),kdcba),(dcba),(srqp程 的判别式 ，该方程无实数根
5、.所以，02qpx 0442 kqp.4k另一方面，设 是不小于 4 的 4 个不同实数，不妨设 ，考察方dcba, dcba4程（1）,02adx和 . （2）bc首先， ，故（1） 、 （2）都有两个不同实根.)(4,0)(422 cad其次，若（1）与（2）有公共实根 ，则 两式相减，得 ，,02bcad0cdab这时， ，矛盾.所以， （1）与（2）没有公共实根，从而 符合要求.02ad 4k综上，问题的答案为 .4k三. 如图，在PBC 中， ，过点 P 作PBC 的外接圆 的切线，60PBC与 CB 的延长线交于点 A. 点 D 和 E 分别在线段 PA 和圆 上，使得 ，90DB
6、EPDP E. 连接 BE，与 PC 相交于点 F. 已知 AF，BP，CD 三线共点(1) 求证：BF 是 的角平分线；(2) 求 的值tan解（1）当 BF 平分 时，由于 ，所以，BD 平分 ，于是90PA，1PCBPCABFAD所以，由 Ceva 定理的逆定理知，AF ，BP，CD 三线共点若还有一个角 满足 ，且 三线共点，不妨设90,FD在线段 PF 内，则 在线段 AD 内，于是F， ，PFCAP所以，1BADB这与 三线共点矛盾,AFBPD所以，BF 是 的内角平分线C（2）不妨设圆 O 的半径为 1， ，由（1）知，PB，30ECE 是 的中点因为 ， ，所以由 PDPEAP
7、M30EB知， ， 15D21sin,2cos15D又 ， ，所以，在2sinsi(30)BECP直角三角形 BDE 中，有，2sin(30)cos(15)co15BED，ci，cs(30)2sn(30)，oiicos，31tan3t12所以 6t四设正整数 a 不是完全平方数，求证：对每一个正整数 n，2nSaa的值都是无理数这里 ，其中 表示不超过 x 的最大整数xx证明：设 ，其中整数 ，则 ，且 ，而221ca1cc21c令ac.*(),kkkkxyaNxyZ则 1212nnnSxxy下面证明，对所有正整数 n， .由于10kTy，11 ()()kk kkkxyacacxaycxyaP
8、B CAD EMF所以 1.kkxaycx，由 可得 .1,xcy2消去 得，k， 221kkkycacy其中 .12,yc由数学归纳法易得 2120,kky由和，可得 22121()()0,kkkkcyacyy相乘得 ，又因 ，故 210kk210212kk又由 21221()()0,kkkkycyacy 相乘得 ，即 210kky21k所以，对所有正整数 n，都有 1ny故由 得，对所有正整数 n，都有 因此2210,0kkky，21231().()n nTyy ，42n从而对所有正整数 n，都有 ，故由知， 是无理数.0nnS第六届中国西部数学奥林匹克第二天2006 年 11 月 5 日
9、 8：0012：00 江西 鹰潭五设 证明：若1,Sn都 可 以 表 示 为 两 个 正 整 数 的 平 方 和，则 n2证明 注意到若 x，y 是整数，则由奇偶性分析知20,1(mod4)y若 ，则由上知 于是可设nS1(od4)n，2,ab（c，d 不可能相等） ，c，21,neff其中 a，b，c，d，e ，f 都是正整数则 ， ，22n2222()()(cdccd)(1 beaffefeb假设 ba，且 fe ，则 ，两式相减得， ，则221,na21a，而 ，矛盾！e2()e故 ba，fe 不可能同时成立所以， ，于是 0f2nS六如图，AB 是圆 O 的直径， C 为 AB 延长线
10、上的一点，过点 C 作圆 O 的割线，与圆 O 交于 D，E 两点，OF 是 BOD 的外接圆 O1 的直径，连接 CF 并延长交圆 于点1G求证：O，A，E，G 四点共圆证明 连接 AD，DG，GA，GO，DB ，EA，EO因为 OF 是等腰DOB 的外接圆的直径，所以 OF 平分 ，即 又B2DF，12DABO所以 F又 ，所以 ，所以，G，A，C，D 四点共圆所DGFO以 而 ， 2OAC， DBB结合，得 GC因为 B，D，E，A 四点共圆，所以， EA又 OAOE ，所以 O由，得 ，所以，O ，A，E，G 四点共圆A BO CEDFGO1七设 是一个不小于 3 的正整数， 是一个实
11、数证明：如果 和kcos(1)k都是有理数，那么存在正整数 ，使得 和 都是有理数cosnkcos(1)n证明 首先，我们证明如下结论：设 是一个实数，如果 是有理数，那么对任s意正整数 m， 是有理数cs对 m 用数学归纳法由 是有理数，得 也是有理数o2coss1设对一切 ， 是有理数，则由)2(lm)1cos(cs1csll知 也是有理数，即当 时命题也成立)1cos(l 1lm由上述结论，对 ，分别令 得到 都是,()k,1k22cos,(1)k有理数，又 ，从而命题得证2k八给定正整数 ，求 的最小值，使得对集合 X 的任意 n 个二元子集()nX，都存在集合 X 的一个子集 ，满足
12、：12,nB Y（1） ；Y（2）对 ，都有 ,i 1iB这里 表示有限集合 A 的元素个数解 .12|minX（1）当 时不一定存在条件的 Y.事实上，令 ，考虑 X| 2,1nX的一个划分 .因为 ，因此 Y 中至少有2,3,4,3,211 nBBn |两个元素属于同一个 ，故此时 ，矛盾.j |jY（2）下证 符合题意.12|nX记 ， ，则存在 z 个在所有 中未出现的元素，记为niB1z| iB.如果 ，则取 便可.za,21 daYn,11下设 .n设在 中仅出现 1 次的元素有 t 个，因 ，则nB,21 niiB12|，znt)2(所以 .故在 中出现的次数 的元素至多累计出现了 次.n,21 zn2)2(考虑在 中出现一次的元素 ，于是 中的元素不含B, tb,21 nB,21的 至多有 个.tb,21 j z2故至少有 个 含有 .)1(nzjBt,21不妨设 分别含有 中的元素 ，znB121, tb,21 znb121,（如果这样 中有多个只选一个）.)1(znlBl因为 ，所以必有某个元素 d 不出现在2)12zn中且出现在 中，记 ，则 Y 满足znB121, nznB,baYznz,12121 要求.
