1、立足基础 知能提高谈高三冲刺阶段函数复习山东省聊城第三中学 王永辉函数是高中数学中起联接和支撑作用的主干知识，是高中数学的主线，是中学数学的核心内容.也是每年高考必考查的重点内容之一，函数的基础知识仍然是高考的重点内容，函数与方程、函数与数列、函数与不等式的相互渗透和交叉也一直是高考的热点.如今，高考已进入冲刺阶段，面临高考的广大考生经过多年的学习，高效率的利用好最后的这一段时间尤为重要.如何利用有限的时间进行科学有效的备考复习函数部分，在掌握的知识上取得质的提高，是广大考生关注的焦点.对于函数的复习既要全面复习，又要通过函数与其他知识的的交汇问题，熟悉函数与其他知识的综合应用.高考函数的复习
2、应从以下几个方面复习.一、回归教材夯实函数基础在高考临近的阶段，数学复习的首要任务是依托考试说明 ，将高中所学的函数基础知识进行归纳梳理，以框图或表格的形式，非常熟练地能够把所学高中函数基础知识回忆起来，甚至是合上书就能把所有函数的知识很快的在脑子中过一遍，达到熟能生巧的目的.函数部分的内容主要有两个方面：一是函数及其一些基本初等函数（二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等）的概念、性质，其中性质包括单调性、奇偶性、对称性、周期性、定义域、值域、图像等.二是函数部分与其他知识的综合应用问题，如函数与数列、函数与方程、函数与不等式、抽象函数问题、函数与向量结合等.2对于第一个方面，可以
3、按照如下表格进行复习.定义域 值域 奇偶性 单调性 周期性 图像定 义性质或用途常见求定义域的方法有哪些；实际应用问题中要注意所构造的目标函数的定义域；抽象函数的定义域.常见求值域的方法（直接法、导数法） ；高中阶段学过的函数在某区间上的值域.对定义域的要求；图像的特征；判断方法；根据奇偶性有y 轴一侧解析式求另一侧解析式；由奇偶性求参数的值.增减函数的图像特征；判断单调性的基本方法（定义法、导数法） ；单调性的应用（求函数值域或最值、已知单调性求参数范围）根据周期性把大小不同的自变量的函数值相互转化；图像特征；三角函数的周期性；已知 周)(xf期求 的)(f周期读图；识图；由图像探求出函数的
4、性质；根据函数的解析式选择函数的大致图象.二次函数指数函数对数函数幂函数 xysinco三角函 数 yta在冲刺阶段，回归教材，不是把课本读一遍，而是弄清自己原本比较模糊的概念，理解记忆相关公式和法则，做一做课本上的例题和练习题，高考题有些就是来源于课本或是课本题的变式.如 2008 年山东卷第 5 题就源自高中数学人教版教材必修四第 147 页 B 组第 3 题.回归课本，还要注意知识点之间的相互联系，系统的掌握好基本知识和基本方法.对函数的知识网络重新认识提高、知识内化为能力的过程，对于基础的知识必须深刻把握，才能熟悉函数与其他知识的联系和应用.3二、函数综合应用要善于联想函数的知识点多，
5、覆盖面较广，思想丰富，函数是用运动和变化的观点研究函数两个变量的数量关系和变化关系，其他知识联系非常紧密，有的同学在做函数与其他知识的交汇问题时，感到无从下手，这个时候如果我们能善于联想到这道题目所考察的知识点，就可以以此为线索对症下药，找到解题的突破口.这就需要我们把函数和其他各章节相关的知识点、解题的思想方法等串联起来，形成有机整体，建立和完善知识网络.再遇到函数综合应用题目时，看到题目就能联想到有关的知识点，并迅速找到相应的解题方法，使用这种方法一方面可以提高解题速度，节约时间，另一方面做题的正确率很高，提高了解题命中率.特别是在最后的模拟考试中，对于稍微有些难度的题目要善于联想，比如我
6、们可以想：这个题以前做过吗？这个题以前在哪里见过吗？以前做过或见过类似的问题吗？当时是怎样想的？题中的一部分（条件，或结论，或式子，或图形）以前见过吗？在什么问题中见过的？题中所给出的式子、图形，与记忆中的什么式子、图形相象？它们之间可能有什么联系？解这类问题通常有哪几种方法？可能哪种方法较方便？试一试如何？由已知条件能推得哪些可知事项和条件？要求未知结论，需要知道哪些条件（由已知想性质，由结论想需知）？与这个问题有关的结论（基本概念、定理、公式等）有哪些？1、函数与不等式解不等式：解不等式 问题，特别是当 和 是)(xfg)(xfy)(gy两个不同类型的函数是，利用数形结合的思想，可以转化为
7、观察 图xf像上有哪些点在 图像的上方问题.有的不等式可以化为 的)(gy )(问题，特别是抽象函数问题，根据函数的奇偶性和单调性化为 的fg4形式.如下例.例 1： 是 上的奇函数，且在区间 上是减函数，求满足)(xfR),(的实数 的取值范围。0)(2afa此题就是根据已知条件化为 的问题，再根据函数的单调性得)(xfg到求得参数的取值范围.有时还需要注意抽象函数的定义域.恒成立问题例 2：已知函数 是定义在 上的减函数，且对一切实数 ，不等)(xf1,(x式 恒成立，求 的值。sin)sin(2kxkfk【分析】：由单调性，脱去函数符号，得 )2(1(sin41)sisin1222xkx
8、k由题意知(1)(2)两式对一切 恒成立，则有R149)21(sin41(max2i2 kkx此题就可以根据已知条件化为 在区间 D 上恒成立问题，转化为f(求 最值问题，参数 小于 的最小值问题.)(xfk)函数与不等式也可以相互转化，对于函数 ，当 时，就转)(xfy0y化为不等式 ，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的0)(f性质，也离不开解不等式.2、函数与方程函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程5的解就是函数 的图象与 x 轴的交点的横坐标，函数0)(xf )(xfy也可以看作二元方程 ，通过方程进行研究.函数的思想是y 0y用运动和变化的观点，分析和
9、研究数学中的数量关系和变化关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.(1)函数和方程是密切相关的，对于函数 ，当 时，就转化为)(xfy0y方程 ，也可以把函数式 看做二元方程 .函数问题0)(xf )(xfy)(f可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程 ，就是求函数 的零点.)(f )(fy(2)函数 （ N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个nbax)(函数
10、用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题.(3) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关知识.3、函数与数列数列可以看成是定义域为正整数集 N*（或它的有限子集）的函数.当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式.等差数列的通项公式是以 为自变量的一次函数，前n项和公式是二次函数（ ）.等比数列的通项公式是以 为自变量的指n0d n数型函数（ ）.1q例 3:一个首项为正数的等差数列中,前 3 项的和等于前 11 项的和,问此数列前多少项的和最大?6【解析】:从函数的
11、观点出发,等差数列前 项和公式 ,n2)1(1dnaSn是关于 的二次函数.所以可利用二次函数模型来解决此题.n解:因为 ,所以 所以13S2)1(12)3(1 dada 13因为首项为正,所以 0d所以 是二次项系数为负的二次函数.由二次函数的对称2)(1nan性且 ,所以对称轴 ，故 =7 时 有最大值.3S713nnS以下都是用函数的观点认识数列、解决数列问题的题目，大家可以试着做做.（1） 分别是等差数列及等比数列,且nba ,0,42ba.试比较 与 的大小.0142nab（2）等差数列 , ,则当 n = 时， 最大. 1910,SnS（3）等差数列 , 问 n= 时， 取最小值.
12、n289（4）已知数列 ， ，求前 30 项中最大的项和最小的项.a7n（5）已知数列 是首项为 a，公差为 1 的等差数列，数列 满足n nb1nnab.若对任意的 , 都有 8nb成立 , 则实数 a的取值范围是 . *N函数思想是一种很重要的数学思想，数列中蕴含着十分丰富的函数思想.用函数思想解数列问题时，不仅要用到函数的形式，更重要的是运用函数的思想方法4、函数与向量、立体几何知识的结合三角函数和平面向量历来是高考的的重点内容，这是因为这两部分内容是解决数学问题的工具，不仅是这两部分内容互相渗透，它们也和其他数7学分支进行融合.例 4：（三角函数与平面向量）已知 ,向量Rx),1cos
13、(2xaOA),2sin3,(aB.0,(aOBAf()求函数 解析式，并求当 时， 的单调递增区间；f 0)xf()当 时, 的最大值为 5，求 的值.20x)(xf a【解析】:利用向量的知识，化出函数的解析式，得到关于角 的一角一x名函数，再根据三角函数的有关知识解决此题.立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.例 5:（函数与立体几何）如图，正方形 、 的边长都是 1，ABCDEF而且平面 、 互相垂直.点 在 上移动,点 在 上移动,若ABCDEFMNB.)20(aNM()求 的长;()当 为何值时, 的长最小. N【解析】取 作为
14、变量，建立 的长的表达式，利用函数思想求 的aMMN最小值. 利用函数关系建立 的长与 的函数关系是解决本题的关键.立a体几何中的最值问题常借助函数思想求得.5、函数与导数导数内容作为高考的热点问题，在高考中以填空题和解答题为主，主要是利用导数研究函数的性质及在实际问题中的应用.导数的概念及其运算是导数应用的基础，也是高考重点考查的对象，考查时，主要考查导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义，导数的应用主要是利用导数来解决函数的单调性、极值与最值等，通常 还和数列、不等式等知识结合起来.8利用导数研究函数曲线的切线，要明确函数在 处导数的几何意义，是0x求在某点处的切线方程，还是求过某点的切
15、线方程；利用导数研究函数的单调性，要注意函数的定义域，还要特别注意 （或 ）仅是)(f0)(xf函数 在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件.在已知函数)(xf是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令 （或)(xf）恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使0)(f恒等于 0，若能恒等于 0，则参数的这个值应该舍去，若 不恒等x )(f于 0，则由 （或 ）恒成立解出的参数的取值范围确定.应用)(xf)(xf导数研究函数的极值是要注意可导函数 在点 处的导数 是该)(xf00)(xf函数在 处取得极值的必要不充分条件，必须要继续判断两侧导数的符号0是否异号.应用导数研究函数的
16、最值注意将极大值（或极小值）与端点处的函数值进行比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.三、查缺纠错补漏力争无错除了典型例题，还需要重视以前出错的函数题目.把前面做过的有关函数部分的试题，尤其是一模、二模做的有关函数的题目回顾一下，看以往产生了什么问题，针对这些问题找到自己在某些知识、某些方法上的薄弱环节.比如：函数是特殊的映射、用换元法求解析式注意新元的取值范围、抽象函数的常用解题策略是什么；分段函数的解题方法是分段考虑且先分后合；指数函数和同底的对数函数互为反函数；函数恒成立时，则函数的对称轴是 ；有关函)()(),(xbfaxfRxfy 2ba数周期的几种情况是否熟记；同名函数
17、的图像变换你会吗；你会用二分法求解函数零点的近似值吗；在利用三角函数图像求解析式时 容易求错；没9有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象.例题如下.例 6：已知 求 的值.,137cosin),0(tan【易错点分析】本题可依据条件 利用 =,137cosicosin可解得 的值，再通过解方程组的方法即可解得cosin21cosin、 的值.但在解题过程中易忽视 这个隐含条件来确定si sinco0角 范围，主观认为 的值可正可负从而造成增解.csi以上均是函数部分容易疏漏的地方.但是，查漏补缺仅仅停留在订正错题上是远远不够的.错误往往带有反复性、顽固性，下次遇到同样的题
18、仍然可能出错，正是因为错题反映了自己在某些方面知识的薄弱或是思想方法的缺陷，所以我们才要紧紧抓住错题不放过，纠错到底.要纠正错误，还要找出错误的根源，更要深入地分析，再做几个同样类型的题加以巩固，这样在高考冲刺的有限的时间内更好的对函数的知识查缺补漏.四、保活力重规范减少失分好多同学都有这样的感觉，几天不做数学题后再考试，审题迟疑缓慢，入手不顺，运算不畅且易出错.所以每天必须坚持做适量的练习，特别是重点和热点题型，保持思维的灵活和流畅.尤其是最后高考冲刺阶段，做综合卷时要限时完成，否则容易形成拖拉作风，临场时缺少思维激情，造成时间失控，发挥不出应有水平.有些同学平时解题只注意结果，不注意规范书
19、写，尽管答案正确，总分却不高.解答题有些学生书写潦草，难以辨认.这些细节都要引起足够重视.审题错误或计算错误或答题不规范都是导致“会而不对”或“对而不全”的主要原因.考试是一门学问，高考临近，高考数学要想取得好成绩，10不仅取决于扎实的基础知识、熟练的基本技能和过硬的解题能力，而且取决于临场的发挥.首先在最后阶段的每次做题中，力争让会做的题不扣分，不会做的题尽量得分.然后认真、仔细读题、审题，细心算题，规范答题.其次，应在规定的时间内完成，讲究快速、准确.平时做题应做到：想明白、说清楚、算准确，即注意思路的清晰性、思维的严密性、叙述的条理性、结果的准确性.在最后的冲刺阶段，要想复习好函数部分，就要对函数的基础知识、函数与其他知识的综合应用心中有数，更要对函数的易错点、易漏点了如指掌，规范答卷，在高考中取得好的成绩.
