1、立足数学课堂 培养学生数学活动经验桐乡四中 黄国珍摘要：传统数学教学中，比较 重视学生三基和三种能力的 训练，而忽 视了学生的基本数学活动经验的培养。基本数学活 动经验是培育学生学习 能力的重要组成部分。本文 结合教学实例，通过课前的教师备课 和学生的预习、 创设情景、提问设计等方法，引导学生主动参与，在课堂教学中培养学生的数学活 动经验，提高学生的 发现问题 和提出问题的能力，并运用数学知识分析问题、解决问题 的能力，同 时获得广泛的数学活 动经验，从而提高数学课堂教学的有效性。关键词：课堂 能力 活动经验 有效初中新课改四年多来，课堂教学更加注重学生的全面发展，重视学生的个性的发展，倡导建
2、立具有“主动参与、乐于探究、交流与合作”为特征的学习方式，提高数学课堂教学的有效性是每一位教师共同面临的课题。今年 3 月北师大附中特级教师储瑞年在关于数学课程与教学的几点思考报告中说：数学教学中的“三基”发展为“四基” ，即在除了“基本数学知识” 、 “数学基本技能” 、 “数学基本思想” ，还应加上“基本数学活动经验” 。教师应从学生的生活经验和已有的知识背景出发，帮助他们在自主探索的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，同时获得广泛的数学活动经验，成为学习数学的主人。主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学
3、习策略。近年来，笔者在课改新理念下尝试进行课堂教学的有效性研究，作了一定的探索与实践。传统数学教学重视培养学生的三基（基础知识、基本技能、基本思想）和三大基本能力(即运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力)，现代社会发展对未来公民的数学能力提出了更丰富的内涵与更高要求：数学能力包括实验观察、信息获取、数据处理、模式抽象、合情推理、预测猜想、逻辑证明、探究创造等等。在新课程标准下，特别强调合情推理以及其他非形式化的思维(如直觉、联想、顿悟等)所具有的数学创造性。正如哲学家康德所说：“每当理智缺乏时靠论证的思路时，相似思考(联想)往往指导我前进” 。因此，我们在数学学习过程中加强数学三大能力外还必须
4、重视积累丰富的活动经验来培养学生的能力。一、对基本数学活动经验能力的认识数学学习需要有较强的逻辑思维能力、形象思维能力和直觉思维能力，要处理多级抽象概括的数学知识经验，进行形式符号语言的运算推理。我们把基本数学活动经验大致分为：日常生活中的数学经验，社会科学文化情境中的数学经验，从事纯数学活动积累的数2学经验。记得已故著名数学教育家余元希先生说过，可以直接应用于日常生活的数学，不过是“扩大了的算术” 。至于中学的其他数学修养，都是为了适应现代社会的文化环境、科学精神、思维训练等所必须具备的文化素养。但是，基本数学活动是否还包括“模式直观” 、“解题经历” 、 “数学想象力” 、 “数学美学欣赏
5、”等能力，因此值得探讨。此外，一个突出的问题是， “前三基”都是客观的数学问题，可以定出一般的要求，但是数学活动经验则是因人而异，涉及个人的生活环境、感受、感悟数学水平的高低等。如何制定人人适合的基本要求，一个新的课题放在我们面前，这就要求我们走在第一线的教师去进一步的深刻研究。作为教师应遵循数学学习的认知规律，通过对教材的创造性再加工、再设计，使教学内容变得丰富、生动，更加有利于学生主动进行观察、操作、实验、猜测、推理与交流等数学活动，真正让学生将生活问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，获取广泛的数学活动经验，使数学教学成为一个生动活泼、主动而富有创造意义的过程，最大限度地促进学生的能
6、力发展。而世界上的事物都是相互联系、相互影响的，联系导致了联想。联想丰富是思维灵活的表现，其特征是思维灵活多变，不受思维定势限制，善于从多角度、多方面去观察和思考问题，从而寻求正确的解答。联想也是一种创造性思维，联想的结果往往是能从给定的信息中产生新的信息、发现新的方法、寻找新的规律、探索新的科学。联想能力就是依据原有知识经验或生活经验，能够迅速从大脑中搜索出来，进行有效的比较选择，进而重现或重新组合，以达到解决问题的能力。二、立足课堂，培养学生数学活动经验的能力课堂是实施素质教育的主渠道，是培养学生能力的关键时空点。因此，我们必须在课堂教学中认真策划，引导学生在已有的数学活动经验基础上动口说
7、，动手做，动手写，大胆联想，在潜移默化中培养学生的数学能力。（一）加强课前预习的指导，为课堂教学做好充分的准备。做作业的效果取决于课堂教学的效果，而听课效果一定程度上取决于课前预习。教材是学生积累基本数学活动经验的重要依据，因此，在教学中要求学生上课前必须完成相关内容的预习，并完成课后的练习。根据几年的实践调查显示：在初中学生中，经常预习的学生的数学平均成绩要高于不做预习的学生的成绩，而且差异是显著的。另一项调查显示：认为预习是好习惯的学生占 95%以上，但不能坚持预习的学生也有 60%1。桑代克的效果律1 特级教师论课堂教学改革M 浙江教育出版社3指出：如果没有从一件事情中深刻体验到好处的话
8、，这种事情就会得不到强化和巩固 2。所以我经常帮助学生了解预习的方法、意义，并且规范地开展预习工作，使预习成为学生学习的习惯，促进学习成绩的提高，巩固和持续预习的行为。同时对数学课的预习要求明确；预习问题有层次；预习作业有反馈。将学生的预习与教案设计紧密结合起来，将预习题作为教案设计的一部分，通盘考虑预习应达到什么目的、预习要初步解决哪些问题。 案例一次函数的图象 （1 课时）在学生学习“一次函数的图象“时，已有的知识经验是正比例函数的图象和性质以及实际生活中一次函数解析式的求解，因此我布置预习作业：正比例函数 与xy2的图象、画法及其性质，从中复习体验数形结合的思想方法，然后再通过阅读方xy
9、2式看该节内容，并做好课后的练习，这样就较好地衔接到一次函数的学习，为课堂教学时采用类比方法探究一次函数 。与 的图象、画法及其性质作下伏笔。32xy32xy又如案例：“线段的比” （北师大版义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册）1做一做在上“线段的比”这一课的前一天布置任务：每人画一幅平面示意图我们的班级或我的小书房 2说一说在上“线段的比”这一课的开始时，请部分学生在实物投影仪下展示自己画的示意图，说说自己是怎么画的教师提出问题：怎样才能画得更好？在这个例子中，探究活动从课外延伸到课内，使学生有机会经历和体验数学知识产生、形成过程，每位学生在画图时，还没有学习“线段的比”这一内容，因此
10、学生会遇到一些困难，例如怎样构图，如何刻画物体与物体之间的位置关系，如何用图形描述物体的大小等等，这些都具有一定的挑战性，使得该探究活动具有一定的思维容量，促使学生产生联想。而如果把它放在学了“线段的比”后再布置这一活动，显然会失去探究的价值，因此本例能激发学生探究意识和深入挖掘其中的数学知识的愿望，特别在采用浙教版后课时的学习内容较多，要留一定的时间让学生探究，如学习统计和概率内容等等更要学生在课前认真预习好。实践证明：在数学课中宜用自学式预习法细致地阅读和研究新课内容，并且能根据课前的数学活动经验与课后练习或配套的练习题来验证自己掌握的水平、程度及能力。从而不断提高学生的数学活动经验，为培
11、养学生的基本能力创造条件。（二）创设情景，为联想奠基2 教育心理学M 桑代克 华东师大出版社 19844数学老教材强调公理化、形式化，课堂教学非常重视旧知识的复习，以创设学习知识内在的关联情景，帮助学生联想。数学源于生活，生活中处处有数学，新课程强调了学生应用数学、解决实际问题的能力。因此，我们在课堂教学中，应积极创设生活情景，密切联系生活，使学生能从最熟悉的生活场景出发来感知数学，也便于学生进行联想。如省优质课比赛时绍兴的朱周刚老师在教浙教版七下二元一次方程时，用桐乡 70 岁以上老人可领取生活补助、爱心满人间求是中学“学雷锋、关爱老人”活动引入来激发学生的学习兴趣和求知欲。又如杭州外国语学
12、校徐渊楫老师的创设情景，让学生了解学习分式基本性质的必要性，从而引入课题：多媒体播放杭州“世界休闲博览会”宣传短片，让学生欣赏杭州的“自然秀色美” ，然后让学生齐声朗读“数学因简约、对称、和谐而美” 过渡到数学的简约、对称、和谐美。紧接着出示从校园中取来的圆盘照片设计问题：假设圆盘的半径为 ，这种油漆每千克可漆 个平方单位，则漆好这R3201R个圆盘大约需要多少漆？在得出答案 后让学生根据“简约、对称、和谐”这一“审3201美”标准来审视该分式的和谐性，从而引出用来“美化”这些分式的必需知识分式的基本性质，揭示课题。然后复习分数的基本性质：通过圆盘的分割， “数形结合”引出三个等分数: 。我在
13、上 生活中的立体图形一课时，通过观察北师大课本首页，16482感知数学的影子，引导学生观察、抽象、归纳，学会把现实情境中的物体抽象成几何图形，感悟知识的生成与积累。再举生活中例子，从熟悉的生活中识别几何图形。使学生对几何图形产生关联性，便于联想。在上用正多边形拼地板时，让学生联想家里地板是用什么形状的材料镶成的。在上100 万有多大时提出 100 万步到底有多长?用某同学的步距以启发学生思考联想。培养学生数感可估计一下客厅的面积，某一物品大致有多重；折扣的问题可结合商店场景；利息问题可结合银行，又如：学习“有理数的乘方”时，讲述一个故事：古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，
14、献给了国王。国王很喜欢，为了对大臣表示感激，国王答应满足大臣所提出的一个要求。大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第 1 格放 1 粒米，第 2 格放 2 粒米，第 3 格放 4 粒米，然后是8 粒，16 粒，一直到 64 格。 ”国王哈哈大笑， “你真傻，就只要这么一些米。 ”这时候，大臣说：“我就怕您的国库里没有这么多的米呢？”同学们，你们认为国王有这么多的米吗？这个故事引发了学生的好奇心，激起认知冲突，调动了学生的学习积极性等等。在数学课堂学习过程中，为了引导学生便于联想，因此必须创设生活情景及趣味性情景，使数学问题生活化和生活问题数学化。数学问题生活化要做到：数学概念在生活中的原型；
15、5数学规律在生活中的实例；数学“语言”在生活中的意义；数学知识在生活中的运用。生活问题数学化要做到：从生活情景中发现数学问题；在实践活动中发现和探究数学规律；从生活实例感悟数学思维和方法。使学生逐渐养成以数学化的思想观察身边的生活现象，主动地自觉地理解数学和运用数学，去解决身边的数学问题。(三)精心设计提问，使学生能够产生联想在课堂教学中，学生能不能够联想，联想的深度、广度完全取决于教师的提问。因此，教师必须精心设计提问。提问种类很多，大致可分为：(1)设疑式：如杭州外国语学校徐渊楫老师在引出三个等分数: 就提出问题： 根据我们的“审美标准” ，哪个分16482数最具“简约美”？ 从 、 到
16、，我们是通过怎样的变形实现的？请问约分的依据是什么？（分数基本性质的内容是什么？）然后探究分式的变形：以下分式的变形是否成立？能否用图形的面积来解释。 ， ，又如小明每天早上要在 7：50 之前x211赶到距家 l000 米的学校上学。一天小明以 80 米分的速度出发，5 分钟后，小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸以 180 米分的速度去追小明。你估计能追上小明吗?这种提问能引起学生的有意注意，有利于独立联想；(2)递进式：爸爸追上小明用了多少时间?追上时距学校还有多远? 这种提问是指对有一定深度和难度的问题进行分层次由浅入深的提问方式。通过一环扣一环、一层进一层的提问，引导学生的思维向知
17、识的深度和广度发展。通过层层剖析、循序推进、最终到达解决问题的彼岸和释疑明理的高峰；(3)刨根式：如 100 万步对你的步距而言有多少米?多少公里?相当于桐乡到哪里的距离?以 80 公里小时的速度要多少时间?让学生树立时空形象感知大数，促使学生对问题认识的深化。此外还有对比式、扩展式等等。对比式可以诱导学生通过比较发现共性、区别个性、加深理解，有利于以后的联想，有利于发展学生的求异思维和求同思维；扩展式提问是指把现在所学内容与相关内容联系在一起提问的方法，能够起到以新想旧、温故知新、融会贯通的作用。从数学的发展来看，它本身也是充满着观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的教学活动。在这些
18、数学活动中都离不开联想。因此，我们在课堂教学中必须体现数学训练思维价值。根据教材知识体系和学生年龄特点，选择难易适当问题，精心设计提问，为学生的联想创造条件。只有亲身经历教师提问联想的过程，才能深刻认识和理解了概念自身的价值，也从中掌握丰富的联想、推理、思维和数学思想方法，真正得到各种思维训练，提高学生的数学能力。(四)课堂渗透联想方法，为学生联想插上翅膀解决问题意味着什么?有人这么说明，解决问题就是意味着把所要解决的问题转化成已6经解决过的问题。解决问题的过程是一个不断转化问题的过程。而问题的转化依赖于丰富的联想，转化的解决问题的思想方法就是指对所遇到的问题进行观察、分析，联想将其移植转化成
19、与之有关系的另一问题。通过寻找解决问题途径是一个积极的综合的思维过程，在这个过程中“会想”是至关重要的，联想是思维探索的翅膀。因此，我们在课堂的教学中，必须指导学生掌握联想的一些方法。如相关联想、类比联想、数形联想、结构联想、新旧联想等等。(1)相关联想。在复习平行四边形的定义，判定和性质定理时，让学生观察图形或模型，让学生联想平行四边形的全部本质属性。对边分别平行；对边对应相等；对边平行且相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分；对角线分得四个小三角形等积。证明线段相等时或角相等时，让学生联想所有有关相等的定理、性质等，使学生能有意识地去联想，进而根据题意、有效选择公理、定理、性质、去解决有
20、关数学问题。(2)类比联想。所谓类比是指同类的比较和类似的比较。要比较，就要联想。通过类比提高想象力，加以分析归纳，再进行抽象思维，寻求规律性的东西。数学中类比是比较丰富的，如在上面的分式教学中徐渊楫老师在能否用图形的面积来解释。 ，x21问题后，又继续让学生观察分式的变形，类比分数的基本性质，归纳得到分式的x12基本性质。这样给学生以心灵的震撼，数学原来就在我们的身边。如在探究一次函数图象的过程中，用类比探究正比例函数从特殊到一般的方法，从 、 这两56xy32xy个具有一定代表性的特殊函数图象的探究得到 的图象。在得到 与bkxybk的图象关系后，老师及时地提出了“可以用两点法画正比例函数
21、的图象，能用此法kxy画一次函数的图象吗？”通过类比，从方法上引导学生运用两点法画一次函数的图象。然后着力寻找 与 之间的关系，继续用类比探究、观察图象的性质。又56xxy6如代数中的：二次三项式、一元二次方程、一元二不等式和二次函数，以二函数为最基本，二次函数的零点(y=0)、正数值(y0)、负数值(y0)与一元二次方程的根、一元一次不等式的解集紧密联系，可以通过：二次函数的深入研究，综合其它相应的主要内容，让学生联想比较，既便于记忆，又便于了解它们的相互联系。再如平面几何中全等三角形的判定与性质，与相似三角形的判定与性质，都可以通过用“类似”的方法，并设置纵横问题串展开“一花引来万花开，一
22、题问出万题来” ，有助于培养学生的分散性思维和创造性思维，提高有效性。(3)形数联想。数学中形数之间关系是彼此相依的，要启发学生用“数”来巩固与研究“形” ，利用“形”巩同研究“数” 。学习函数时，一定要强调学生记性质、想图形，画图形、想性质；对于不等式、方程一类的问题也要强调学生形数联想，利用图解。如在探究一次函数图象与性质的过程中让学生先画出图象，再根据图象来展开观察、联想、归纳它7们的性质。在坐标平面内的图形变换教学中从轴对称图形的画法，借助平面直角坐标系，将图形这中的点转化为数：分别写出下列关于 轴、 轴对称点的坐标：（2，2） ，xy（2，3） ， （1，0） ， （-2，1） ，观
23、察各对称点坐标的特点，你们发现了什么？学生回答：关于 轴对称的两组点的坐标满足横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于 轴对称的两组点x y的坐标满足纵坐标相等，横坐标互为相反数。上面通过观察归纳得到的，谁能说说为什么它们的坐标具有这样的关系？通过观察图形可以发现，关于 轴对称的两点，它们的连线x平行与 轴，所以她们的横坐标相同，而它们到 轴的距离相等、方向相反，所以纵坐标y互为相反数。同理可以说明关于 轴对称的点的坐标关系。让学生经过归纳和推理，体现y了数学的严密性和从点到数、再从数到点的数形结合思想，促进联想。又如在浙教版七年级下册用乘法公式分解因式第一课时“用平方差公式分解因式” 。用一张如图
24、的纸剪拼成长方形，你认为应该怎样剪？你能给出数学解释吗？(4)结构联想。数学结构是数学知识中心和灵魂，如果搞不清数学结构，学生知识是支离破碎，以单元进行学习，每个单元的数学概念、定义、法则、性质、定理、推论等等可以自成体系，学生可以融会贯通；启发学生，对概念问题想定义，计算问题想法则，推证问题想定理。引导学生结构联想也要注意年级特征，如初一年级有理数概念，只作描述来下定义，重点放在法则上，可启发学生看例题想法则，对照法则看例题，作习题想法则，对照法则想习题。又如平面几何中要强调学生根据每一单元的公理、定义、定理的逻辑关系，综合分析以结构为中心把知识系统化。又如在浙教版七年级下册用乘法公式分解因
25、式第一课时“用给出平方差公式分解因式” 。用一张如图的纸剪拼成长方形，你认为应该怎样剪？你能数学解释吗？ bb甲 乙bbaabbabaa一个学生想到剪下一个小的长方形，放到长方形的另一侧，得到一个大的长方形如乙图，由于原图形的面积为 ，而长方形的长为 ，宽为 ，则有2baba。而另一个学生说可剪成两个梯形，不也可以拼成长方形吗？，)(2ba也得到 。 abba丙 丁aaba8b通过用图形的面积解释平方差公式的变形，学生在体验、感悟中不知不觉地掌握了平方差公式的特点，能灵活地进行应用，思维也不断得到发展。(5)新旧联想。数学学习中必须注意新旧知识之间联系，只有温故才能知新。如学习用求根公式对二次
26、三项式的闪式分解时，就应引导学生回忆联想用乘法公式和十字相乘法等对二次三项式的因式分解。又如在七年级下册的同底数幂的除法运算学习时应与同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方进行本质上的比较，这种平行的新旧知识对比，加深了对新知识的认识。三、课后小结反思，促使数学活动经验的拓展与延伸数学课堂小结是教师在数学课堂任务终结阶段引导学生对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的再认识、再总结、再升华的数学行为方式，也是知识的延伸与后续学习的基础准备。如在七上“代数式”的小结：（1）写出一些代数式，并指出哪些是单项式？哪些是多项式？说明单项式与多项式的联系与区别。 （2）你能说出其中一个代数式的实际意义吗
27、？这是对并节课的拓展与延伸。又如“二元一次方程组的解（七下）小结：如何用合情合理的方法找出方程组的解？二元一次方程组的解一定是组成这个方程组的两个方程的公共解吗？写出一个解是 的二元一次方程组，你能写出几个？这样从多个角度提1yx出了有关二元一次方程组的解的问题，使学生通过思考更深地理解二元一次方程组之间的相互关系的回忆和联想学习新知识，实现教学的升华，从而培养联想能力。例如，在课题学习：“猜想、证明与拓广”研究的内容是：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍？一半？课内，学生在已有的数学生活经验上利用二次方程、方程组、不等式、函数等知识进行判断
28、推理得到（1）解决问题的方法基本方法（代数）：矩形的“加倍”问题用方程组求解，矩形的“减半”问题用一元二次方程的判别式来说明所求的矩形是否存在。方法引申用一次函数和反比例函数的图象的交点情况来说明所求矩形是否存在。 （2）问题的拓广：正方形“加倍”问题矩形“加倍”问题正三角形、菱形“加倍”问题矩形“减半”问题正三角形、菱形“减半”问题。学生通过体验一数学的方式做数学，感悟由特殊到一般、数形结合、转化的思9想方法，形成了对数学的整体认识，积累了数学活动的经验。在课外，学生将课内研究的过程与结果进一步分析思考、归纳整理，分小组写出了课题研究报告，展示了学生的综合能力和创新意识，同时也培养了学生的合
29、作能力，提高了数学的效率。在学习数学的过程中，要指导联想的方法，引导学生更好的联想，善于发现各个问题之问的联系，揭示问题之间联系的规律，有利于开拓学生的视野，培养学生的思维能力，从而提高数学能力。当然，学生联想能力大小还取决于其基础知识以及学生对问题的兴趣，解决问题的态度、热情、毅力。因此，在课堂教学中还必须关注学生学习状态，并及时予以引导、鼓励，跟踪学生的知识落实情况和数学能力的发展状况。老师对学生的联想结果应把握这样的原则以保护学生“想”的积极性，(1)尊重学生提出的古怪的问题； (2)尊重学生的大胆联想；(3)让学生知道他们联想的价值；（4）实施开放式学习评价。在这几年的课改尝试，夲人不
30、断地更新教学观念、改进教学方法，在数学教学中努力丰富学生的数学生活经验，抓好学生的“四基” ，培养学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力及联想能力。从而提高学生分析问题，解决问题的能力，来快速提高课堂教学的效率。总之，教师要“加强备课课堂教学教后反思”；学生要“预习新课并完成节后课内作业认真参与教学活动复习后完成作业”，通过两者的有机结合,来不断丰富学生的数学活动经验，才能有效地促使学生的数学能力提高。参考书目1数学课程标准解读M2特级教师论课堂教学改革M 浙江教育出版社3新课程优秀教学设计与案例M 海南出版社4 调控过程 精心组织沈顺良 J 中学数学教学参考 2007 年 12 期 5 数学课堂设计与思考朱建明J 中学数学教学参考 2007 年 11 期
