1、功能梯度材料板中 Lamb 波传播特性研究第 30 卷第 1 期2009 年 2 月固体力学CHINESEJOURNALOFSoLIDMECHANICSVo1.3ONO.1Feb2009功能梯度材料板中 Lamb 波传播特性研究曹小杉金峰王子昆(西安交通大学航天航空学院强度与振动教育部重点实验室,西安,710049)摘要对材料性能参数沿厚度连续变化的横观各向同性热应力缓和型功能梯度材料板中 Lamb 波的传播问题,采用幂级数法,求得其相速度方程.借助数值算例,分析了参数梯度变化对Lamb 波频散曲线的影响, 并与相应陶瓷板和金属板中的频散曲线进行了对比.进一步研究了参数梯度变化对波结构的影响,
2、揭示了 Lamb 波在这种非均质板中的传播行为,所得结果可以为功能梯度材料及结构的超声表征与检测提供理论依据.关键词功能梯度材料,Lamb 波,频散关系,波结构,超声检测0 引言功能梯度材料及结构中波的传播问题,一般情况下,控制方程由于材料的非均匀性而颇为复杂,直接求其解析解面临很大困难.研究功能梯度板中Lamb 波的问题,因含有两个位移变量 ,控制方程是一个变系数二阶微分方程组,且不能直接解耦.已有的研究成果中,Liu 和 Han 分别采用波动方程的各种有限元法1, 应力波分析的层单元模型,修正混合数值方法 l_3 求解了功能梯度板中的 Lamb 波问题.Chakraborty 采用新的光谱
3、层单元法研究高频条件下非均匀材料板中的波的传播问题,并讨论了材料参数按照指数形式变化时 Lamb 波的传播问题 j.WentzelKramersBrillouin(WKB)渐进方法常被应用于求解功能梯度层状结构中的波动问题:彭朝晖等采用该方法求解基底为功能梯度材料且覆盖层为均质各向同性材料的 Love 波传播问题;刘睫等采用该方法求解了覆盖层剪切弹性模量沿厚度方向分别为指数函数和幂函数变化时功能梯度材料层状结构中 Love 波的传播问题,给出了渐近解析解;Li 等应用该方法分析讨论了各向同性弹性基底上覆盖一层功能梯度压电材料的结构中 Love 波的传播规律;Qian 等利用该方法研究了压电基底
4、/功能梯度材料覆盖层层状结构中 Love波的传播问题.上述研究所采用的 WKB 法限于求解有传播条件限制且只有一个位移分量的 Love波.如果考虑将其推广应用于求解板中的 Lamb 波,将会遇到方程难以解耦和不满足这种近似解法的收敛性条件限制这两大难点.在考虑大波数或是波数为零的情况下,文献1O3 在密度为常数的条件下,采用近似的方法将变系数二阶微分方程组解耦为两个亥姆霍兹方程,从而得到截止频率与按不同规律变化的弹性系数之间的关系.但这种方法对材料参数变化方式所做设定的局限性,限制了其在工程实际中的实用性.相关功能梯度材料及结构中波的传播问题的分析,参见文献1115.本文采用幂级数法,解析求解
5、了功能梯度材料板中 Lamb 波的传播问题,揭示了 Lamb 波在这种非均质板中的传播行为.1 基本方程对于如图 1 所示功能梯度材料板,Lamb 波的传播方向为 z 轴正向,z 轴沿板厚方向 ,板厚为 h,材料参数沿厚度方向呈连续梯度变化,即质量密度p 和弹性系数,C 都是坐标 z 的函数,其中 C.一132c44.Lamb 波是在自由板中传播的平面应变波,设位移分量为一“(z,z,),WW(,z,),一 0,则运动方程为:+考一 lD,考+等一 10 西(1)十一,十一 1)*高等学校博士学科点专项科研基金(20070698064)资助.200712-24 收到第 1 稿,20080502
6、 收到修改稿.*通讯作者.Tel:029 82668750,Email:.?36?固体力学 2009 矩图 1 功能梯度材料板及坐标系Fig.1Afunctionallygradedmaterialplateandcoordinatesystem几伺关系为:一,e 一,一+(2)一.一瓦,一十材料的本构方程为:一 Cll+cl3e,以一 c13e+c11e,rC44(3)将几何关系和本构方程代入运动方程,可以得到:雾.+C44(+象)+c(OW 十,oqU)一(4)Cll.(等+).十十 .十 I 十 J 十 s 十C11 一 pw 一(5) _一 L其中 c,c.,c1 是 CCC1 对 z
7、 的导数.Lamb 波在板中传播时应当满足上下表面应力为零的边界条件,即对 z 一 0,h,分别有:d 一 0,r 一 0(6)2 问题求解.设偏微分方程组(4),(5)的波函数试探解为 :U(,z,) 一 Z(z)exp(ikxikct)一Z(z)exp(ikxiwt)(7)w(x, )一()exp(i 是ikct)一Z(z)exp(ikxiwt)(8)其中 k 为波数,为圆频率,Z(),Z()为待定未知函数.将上式代入式(4), 式(5) 可以得到:C44 十 c4z 十(-C44)iz+(pc 一 f11)k.z+c4ikZ 一 0(9)C1l+(f11 一 C44)i 是 zCtl1z
8、+(c112c4)ikZ+(pc 一 c44)走.Z 一 0(10)其中,z,分别是 z,对坐标的一阶和二阶导数.假定在一 0 即板下表面材料常数表示为 g,在一矗即板上表面材料常数表示为 g,则材料性能参数变化规律司以表不为:g,(吾)“一厂()那么厂(z/h)满足厂(0)一 0,厂(1)一 1.本文假定f(z/h)为二次函数,即设:厂()一声+(1 一)( 云)(12)其中 P 为梯度参数 .设三=kz,则式(12) 可以表示为:-厂()+(1 一)(蠢)(13)将上式代入式(11), 可以得出材料参数的变化形式为:gG)一 g“+(g 一 g“)户壶+(Lg)(1 一)(壶)(14)则各
9、项材料参数可以表示为:+pl 壶()C13 一 (22 十C44013+.oa+壶+y(焘)兵甲,7i 由上卜表回材料参数和梯度参数 p 确定,且有一一 2c设 2 一 Z,一 iZ,方程组(9),(10)可以变换为:+dZ,-(p-cl1)警+之一 0(16)d+(Pfz-C44)一十十(Pf)么 w 一(+)dZ.一孥一 0(17)将式(15)代人式 (16)和式(17)可得到:+(壶).d22o.Lr 忌+2y.+赢+y4(壶) 卜a+pl+y1(磊)+(+赢+(y,( 赢)+5/,I,三,/,+三三第 1 期曹小杉等:功能梯度材料中 Lamb 波传播特性研究?37?+2 南一 oa+p
10、l-h+y(嘉)d2Z,+2yzJ7dZ,.+壶+y4(焘) 卜赢+y3( 壶)一(+)壶+(y2+y3)(赢).dz 一+2yz 南=o(19)对于方程组(18),(19),可以采用幂级数方法求解.设:值所对应的口,b,由递推关系式(21),(22) 确定,即对应于每一个 J 值,n,b,分别代表式(21),(22)中的乜,b.将波函数解式(24) 代人边界条件,由 C,的系数矩阵行列式为零,即可以得出相应的频散方程为:f 丁 l 一 0(25)其中 T 为 44 矩阵Tl1 一一 f,T14=C(1,T22:c,T23 一-f4(41T.一一 cn+c(十 1)b 计(是厅)“=0丁一cb
11、+f+1)a,(胁)“n 一 0J 一 14,其余各项均为零.2“一主“之“一 6 三(2O)3 数值算例代入式(18),(19),对比 z 的系数,司以得出如 F 递推关系:a.(72+2)(n+1)口+z+(+1)2an+1+鲁?(,z+1)口+(afz 一口)口+口一.n2+(a+a.)(+1)6+c.+缸+2b 一 0(尼) 一 (21)a(+2)(+1)+z+(+1)6+(+1)6+(G4C2 一 a.)+6 一?一.一(口+a.)(n+1)n+一 n 一;(_1)an-1-kha 一 2 一 0(22)其中 n 一,口一.,b 一,b 一都为零,而 a.,口,b.,b 为待定常数.
12、为了确定解的表达式中各项待定常数的系数,令:(ao,aU,boj,bu)一 I(23)其中,J:1 4,为 44 的单位矩阵.则式(20)可以等价于如下形式:一CJn 三,=CJb 三(24)J 一 1n=oJ=1“一.其中 CJ 为待定常数 ,J:=14.当一 0,1 时,nb,由式(23) 确定;对于其余对于热应力缓和型功能梯度材料,选用金属材料为铬 Cr,质量密度 pm 一 7190kg/m.,一 279.2GPa=102.5GPa;陶瓷质量密度 pc=3900kg/m.,c1lf 一 374.9GPa,c44 一 118.11GPa.由于频散方程的复杂性,采用数值求解的 Maple 程
13、序进行分析.假定梯度材料板由上述两种材料复合而成,下表面为陶瓷材料,上表面为金属材料,则材料参数变化规律为:,2a 一+户(Gm-ac)+(1 一)am-nc)()(26)其中,P 为梯度参数 ,且 0 1.采用幂级数方法求解横观各向同性材料中横向偏振表面波的传播问题,如选取一 5O,计算 kh20时,求得的表面波相速度值,对比于解析解,相对误差远远小于 0.01.这说明幂级数方法用于求解均匀材料中表面波的频散曲线时,收敛性良好且有很高的精度.将幂级数方法用于求解本文功能梯度材料板中Lamb 波的传播问题,若数值计算中选取 n 一 200,则在算例所求范围内,相速度值均可稳定满足:IIIl!二
14、0.01Cl=2003.1 材料参数梯度变化对频散曲线的影响由于上下表面材料参数确定,设材料体积百分比变化满足式(12), 则板中材料参数的变化规律完全由梯度参数 P 确定.?38?固体力学图 2 中的横坐标是无量纲化的波数 M,由于 k 一27c/,则 kh 的值是板厚与波长之比的 27【倍.图中给出了纯陶瓷板,纯金属板和梯度参数 P 一 1 的功能梯度板中 Lamb 波频散曲线 .由于金属材料参数与陶瓷材料参数相差大,这两种板的 Lamb 波频散曲线也相差很大,而功能梯度板 Lamb 波频散曲线则介于两者之问,且与两者都有显着差距.同阶模态相对比,Lamb 波在陶瓷板中传播的相速度值最大,
15、在功能梯度板中次之,而在金属板中传播相速度值最小.在相同的波数和波速范围内,金属板中的 Lamb 波模态数最多,功能梯度板中次之,陶瓷板中最少.图 2 陶瓷板,金属板和功能梯度板中 Lamb 波频散曲线Fig.2DispersioncurvesofLambwavescorrespondingtOceramic,metalandfunctionallygradedmaterialplate功能梯度板中 Lamb 波传播相速度和模态数与梯度参数 P 密切相关 .如图 3 所示,对比梯度参数,一 0,0.5,1 三个不同值时梯度板中 Lamb 波传播频散曲线可知,梯度参数越大,相速度值越小,模态数越
16、多.如果已知材料参数变化规律满足式(26),而P 为待定梯度参数 ,则可以通过测量 Lamb 波相速度确定 P.图 4 中给出了当 kh 一 2n 时,也就是板厚等于波长时,梯度参数 P 与前四阶模态相速度相对变化量的关系.其中 c 表示金属板 Lamb 波相速度.由图中可得:一阶模态的 Lamb 波相速度相对变化量最小,三阶模态次之,二阶模态 Lamb 波相速度相对变化量最大.各阶模态的相速度相对变化量均与梯度参数 P 呈线性关系 .这样,通过测量 Lamb 波相速度值就可以标定梯度参数 P.3.2 材料参数梯度变化对波结构的影响研究 Lamb 波传播问题 ,对所得结果解释需要做深度讨论.尽
17、管问题的解可以由公式表示,且能求得详尽的数值解,但在实际应用这些曲线时,还要涉4kh图 3 不同梯度参数功能梯度板中 Lamb 波频散曲线Fig.3DispersioncurvesofLambwavescorrespondingtodifferentgradedcoefficient 户 inafunctionallygradedmaterialplate图 4kh=2n 时梯度参数 P 与相速度相对变化量的关系Fig.4RelationshipbetweengradedcoefficientPandrelativevariationofphasevelocityforkh=2nS1:一阶模态
18、 ,S2:二阶模态 ,S3:三阶模态,S4:四阶模态Sl:Thefirstmode,S2:Thesecondmode,S3:Thethirdmode,S4:Theforthmode及到模态选择,模态分离和模态控制等问题.Rosel1 在研究均匀材料的 Lamb 传播问题时,通过分析不同频厚积下 Lamb 波传播,讨论了板外表面的面内位移或离面位移占主导地位的情况,为材料的超声检测提供了理论依据.均匀板的 Lamb 波位移幅值对于板的中线具有对称性或反对称性,即奇数阶模态中“反对称,W 对称,而偶数阶模态中“对称, 反对称.对于功能梯度板,由于材料参数不对称,Lamb 波位移幅值也必然不对称.本文以 kh 一 5,梯度材料参数线性变化即梯度参数一 1 为例,讨论梯度功能材料板中 Lamb
