1、动态扩展裂纹的若干反平面问题的研究第 26 卷第 1 期2005 年 3 月力学季刊CHINESEQUARTERLYOFMECHANICSV0I.26N0.1March2005动态扩展裂纹的若干反平面问题的研究王刚,吕念春,唐立强,程云虹.(1.哈尔滨工程大学船舶工程学院,哈尔滨 150001;2.哈尔滨工程大学建筑工程学院,哈尔滨 150001;3.东北大学土木工程系,沈阳 110006)摘要:采用复变函数论,对反平面条件下的动态裂纹扩展问题进行研究 .通过自相似函数的方法可以获得解析解的一般表达式.应用该法可以很容易地将所讨论的问题转化为 Riemann-Hilbert 问题,并可以相当简
2、单地得到问题的闭合解.文中分别对裂纹面受均布载荷,坐标原点受集中增加载荷,坐标原点受瞬时冲击载荷以及裂纹面受运动集中载荷 Px/t 作用下的动态裂纹扩展问题进行求解 ,得到了裂纹扩展位移,裂纹尖端的应力和动态应力强度因子的解析解.应用该解并通过叠加原理,就可以求得任意复杂问题的解.关键词:复变函数;反平面;裂纹扩展;解析解中图分类号:0346.1 文献标识码:A 文章编号:0254.0053(2005)01.121.7StudiesonSomeAnti-PlaneProblemsofaDynamicPropagationCrackWANGGang,LONian.chun,TANGLi.qian
3、g,CHENGYun.hong.(1.ShippingProjectInstitute.HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,China;2.SchoolofShippingEngineering,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,China;3.DepartmentofCivilEngineering,NortheasternUniversity,Shenyang110006,China)Abstract:Bytheapplicationofcomplexfunctionstheory,thedyna
4、miccrackpropagationproblemsundertheconditionofantiplanewereinvestigated.Thegeneralrepresentationsofanalyticalsolutionswereobtainedbythemethodsofselfsimilarfunctions.TheproblemscanbeeasilytransformedintoRiemann.Hil.bertproblemsandtheirclosedsolutionswereattainedrathersimplebythismethod.Thedynamiccrac
5、kpropagationproblemsforthecrackedsurfacessubjectedtouniformloads,anincreasingloadconcentratedattheoriginofthecoordinates,aninstantaneousimpulseloadattheoriginofthecoordinatesandtheedgesofthecracksubjectedtoamovingconcentratedloadweresolvedrespectively,andtheanalyticalsolutionsonthedisplacementsofcra
6、ckpropagation,stressesofthecracktipanddynamicstressintensityfactorscouldbeobtained.Utilizingthosesolutionsandsuperpositiontheorem,thesolutionsofarbitrarilycomplexproblemscanbefound.Keywords:complexfunctions;antiplane;crackpropagation;analyticalsolutions由复合材料组成的各类结构极易出现微观裂纹,裂纹逐渐扩展并导致结构失稳,丧失结构的承载能力,因此
7、研究裂纹扩展问题具有重要意义.对这类静力问题已有许多人进行了研究,但这一类动力学问题,由于数学上的困难,人们研究的还远远不够深入,因此有必要对反平面的断裂动力学问题进行了深入研究,利用复变函数论的方法给出解的一般表示.应用该法可以很容易地将所论问题转化为 Riemann?Hilbert 问题,而后一问题容易用通常的 Muskhelishvili 方法求解.收稿日期:2004.05.09作者简介:王刚(1971.), 男, 黑龙江省哈尔滨市人,博士后,副教授.研究方向;金属材料的疲劳断裂力学季刊第 Z6 卷1 正交异性体反平面问题运动方程的自相似解对于正交异性体,我们选择 Cartesian 坐
8、标轴和物体的弹性对称轴相一致 ,所考虑的问题被限制在反平面上,则正交异性体的反平面问题的运动方程为:C55O2w/Ox+C44aw/Oy=pO2w/Ot(1)式中 C,C 为弹性常数 ,P 为材料密度,W 为沿方向的位移,采用 Atkinson 变换:=一 7it+Ty(2)这里为复变量,T 为的函数.现构造运动方程的解如下 :=ReI()d(3)式中的积分是在的实轴上进行的.将(3)代人(1) 式后可知,只要满足关系式:C55+C44T 一 P=0(4)则运动方式程(1)将成为恒等式,因此() 是由边界条件所确定的任意函数.而(4)式有两个根 ,我们仅取虚部为正的根,而后可得:T()=(C5
9、5 一 P)/C(5)然后,将(3)代人 (1)的正交异性体物理方程可得 :ReC44Ta)/a,rzz=ReJ.C55a)/a(6)在 Y=0 上,(2) 式转化为=一 7/t(7)利用文献7.9 的推导过程可知,无论应力是齐次,位移是齐次,还是具有任意白相似指数的问题,均有如下的相关表达式.当 Lw 是齐次函数时,我们令:W.=Lw,fo:=Lf,f0z=L(8)当 Lr,Lr 是齐次函数时,我们令 :.=,rr:0=r=rc9则总有:0co/Dr=ReF(r)/(r)/C,f0 2=(1/t)ReF(f)ro=C/(Ct)Re-F(r)/T(r),(10)若令:._厂(r)=F(r)/T
10、(r)(11)则(10)式变为 :0w./Dr=Ref(r)/C44,ro=(1/t)Ref(r)T(r)r:=C/(Ct)Re,(r),(12)第 1 期王刚,等:动态扩展裂纹的若干反平面问题的研究 1232 反平面问题的动态裂纹模型的说明假设裂纹从无穷小的微观裂纹形成,并以自相似的方式沿着弘轴高速扩展,即,裂纹由初始长度为 0开始,以速度沿着弘轴正,负方向在基体中对称扩展.关于反平面问题的动态裂纹模型见图 1.对于弘轴和轴,此模型有几何的和力学的对称性.图 1 中在 Y=0,一Vt 是基体中裂纹的位置;且在这个区间上作用闭合力,其大小为未知,待定.该力代表裂纹尖端后部区所受切应力 r.t产
11、-p0000,t:一 P1y图 1 反平面问题的动态裂纹模型示意图Fig.1Schematicofadynamiccrackmodelofanti-planeproblems3 若干问题的解我们假定0 时一切静止;在 t=0 时刻,在坐标原点开始出现一微观裂纹,并以速度(小于声速)沿轴正,负方向对称扩展,且处于平面应变状态下,下面对不同边界条件的问题进行求解.1)裂纹面受均布载荷下的问题设在 t=0 时刻 ,在坐标原点出现一穿透裂纹 ,裂纹以常速 V 沿弘轴正,负方向对称扩展,且裂纹表面受到均布载荷 q 作用,在 Y=0 的半平面上问题的边界条件为 :r=一 q,IIW=0,II显然本问题应力
12、是齐次,这里的 L=1,利用(9),(12)式可将边界条件(13)的第一式写为:r0:0IIW.=0,II(13)(14)根据(9),(12)及(14)式可推出自相似函数,(r),因为在区间 IrIV 内,(r) 无奇点,而ImT(r)在亚音速内为纯虚量,因此,(r)在区间 IrIV 上必为纯实量.这样,问题(14)将改写为Ref(r)=0,IrIV(15)Imf(r)=0,IrIV利用对称性,无穷远条件及裂纹尖端的奇异性,可得 KeldyshSedov 问题(13)的唯一解为:,(r)=(At+B)(V 一 r)吲(16)由于应力仅在裂纹尖端具有奇异性,因而上式中的分母不能有除(V 一 2)
13、以外的其它项:又由于r 一时 ,(r)=0(1),因此分子只能是一次多项式,即 Ar+B.由于位移是的偶函数,且以轴为对称,故将有 B=0.将(16)式代入到 (9),(12)与(5)式,即可得 Y=0 上的位移 ,应力及动应力强度因子分别为:W=AC,-V 一(Vt 一)胆,IIVt(17)力学季刊第 26 卷rc,.,t=Re.二一Ax/(C55-Prz)/C.d- 一t圳 C55 一-K3(e.二Ax/(C55-Pr2)/C,dr W.J(,.一 V,.一A?一一(18)l(19)(20)上式的极限属于 0?O0 型,必须转化为型后,方可应用罗比塔(LHospita1)法则进行求导计算
14、m,从而得出上式的极限值.将(18)式中的 r 分段表达如下:a)在各向同性体中,弹性波的扰动范围可以用半径为 C.t,Ct 的圆形区域来表示.而在各向异性体中,扰动的范围不再是圆形区域,不会超过弹性体的门槛值 C=(声速).当 llCt时,ImT(r)=0,式中的被积函数为纯虚量,因而应力,位移皆为 0;这与初始条件一致的,这说明弹性波的扰动不会超过 Cdt.b)当 VtllCt 时,即lrlC,式中的被积函数为实量,则(18)式变为:r(,0,):一 fJC(21)c)当 llat 时,即 lrla,而 aV,且使函数出现奇点的一个值.则在此区间被积函数的实部为零,但在 lrl:a 出现奇
15、点,因此积分分两段进行:=.一A/(C55:-Prz)/C,r-Re.二:d:一 qc22式中 aMV,且 0eminVa,a,而 M 为满足上式关系的一个常数 .d)当口 ll时,即口lrl,则(18)式变为r(,0,t)=一 RI(C55 一 pr)/cA(r 一 V)dr(23式中 aMV,积分是在主值意义下进行的,而 M 为满足上式关系的一个常数.由此可确定实常数 A:A=q/Jt,=一 ReI/(C55 一 Pr)/C44(r 一 V)一.dr(24)2)坐标原点受集中增加载荷下的问题设在 t=0 时刻 ,坐标原点在集中增加载荷 Pf 的作用下出现一穿透裂纹,且裂纹以常速沿弘轴正,负
16、方向对称扩展.在 Y:0 的半平面上,问题的边界条件为:r:一 Pt8(),llW:0,llVt(25)本问题应力是齐次,这里的 L=1,由 8(Dirac)函数的性质 m,利用(12),(9)式可将边界条件(25)式第 1 期王刚,等:动态扩展裂纹的若干反平面问题的研究 125写为:ReCT(r),(r)=一(r),Y=0;IrI则由上式可推知,(r)的解必为如下形式:,(r)=Ar“(V 一 r2)式中 A 为待定实常数,n 为待定指数,将(27)式代入(25)式后,即可确定指数:n=一 1因此当 r 一 0 时,由(26),(27) 及(5)式,可确定实常数 A:A:一7c/C55/C4
17、4而后将(27)式代入 (12),(9)式后,即可求得 Y=0 上的应力,动态应力强度因子分别为:(26)(27)(28)rc,.,t=ReJl 二一 d,?tc29枷 C55Re一X2-V2t2+1 一一 AC 跖.J 一瓦,IVt(30)嗣 ei/vt一drr 一r 一V 一)一A?一 一上式是在应用罗比塔(LHospita1)1m 得出的极限值.然后将(27)式代入 (9),(12)式,当 Y=0 时,可求得为:一1Re 一 Re 肌 dtdfR?一?n?()dr-AxRe2一()1=孵一 At?nl 匾 1,(31)(32)3)坐标原点受瞬时冲击载荷作用下的问题设在 t=0 时刻 ,坐
18、标原点受瞬时冲击载荷的作用下出现一裂纹,并以速度(小于声速)沿弘轴正,负方向对称扩展.在 Y=0 的半平面上,问题的边界条件为 :r=一(t)(),Y=0,IIW=0,Y=0,IIVt(33)本问题位移是齐次,这里的 L=aI1/at,由(Dirac)函数的性质口,利用(8),(12)式可将边界条件l26 力学季刊第 26 卷(33)的第一式写为 :r=一(),Y=0,lrIV则由上式可推知,(r)的解必为如下形式:,(r)=Ar(V 一 r2)式中 A 为待定实常数,n 为待定指数,将(35)式代 2k(33)式后,即可确定指数 n:n 一 1因此当 r 一 0 时,由(34),(35) 及
19、(5)式,可确定实常数 A:A=一 IV7c 一(C44/C35)而后将(35)式代入 (12),(8)式后,即可求得 Y=0 上的应力,位移,应力强度因子分别为:(34)(35)(36)圳:?-1(zvz)l/z,V(37)圳=等?r_l(r2 一 V)l/,VW=一 A(C44t)一?(Vt 一),2,llV(38)(39)K.( )=At 吲 (40)4)裂纹面受运动集中变载荷 P/t 下的问题设在 t=0 时刻 ,坐标原点出现一裂纹 ,并以速度 V(小于声速)沿-轴正,负方向对称扩展;裂纹表面受常数集中载荷 Px/t 作用 ,并假定该力以速度卢V 沿.轴运动.在 Y=0 的半平面上,问题的边界条件为:r=一 Px/t?(pit),IIVtV=0,llV (41)本问题位移是齐次,这里的 L=1,利用(8),(12)式可将边界条件(41)的第一式写为:Re-T(r),(r)=一 Px/t?tS(ft)=一 PrS(r 一卢)Y=0,lrlV(42)则由上式可推知,(r)的解必为如下形式:,(r)=Alr(r 一卢) 一(V 一 r)(43)式中 A 为待定实常数,n 为待定指数,将(43)式代入(42)式后,即可确定指数 n:n=1
