1、河网地区水环境规划中的污染源控制方法韩龙喜 1，朱党生 2(1.河海大学 水文水资源及环境学院；2.水利部水利水电规划设计总院)摘要：河网地区不同环境功能的水体，具有不同的水质要求。在进行水环境规划时，需据此水质要求确定各污染源的允许排放量。本文从反问题的角度，构造了带约束条件的污染源项控制反问题，并给出在满足水质约束情况下，求解污染源项的方法。关键词：河网地区；水环境规划；约束条件；污染源控制作者简介：韩龙喜(1964-)，男，江苏扬州人，博士，副教授，主要从事水环境规划、水流模拟等方面研究。地表水中的大部分有机物在阳光、溶解氧及各种微生物作用下会被降解。但是，如果排放量超过了水体的自净能力
2、，水环境破坏就成为严重的社会问题。为了保护环境质量，管理部门针对水体的不同功能，颁布了各类功能区的水环境质量标准。于是，如何根据水质要求，在保障水质达标的前提下充分利用河道的环境容量，排放污染物质，这一问题一直是环境管理部门及科研工作者高度重视的关键问题。从传质学的角度，上述问题属于扩散质输运的源项反问题：根据各河段污染物浓度的人为要求，反求各污染源允许排放量。求解此类问题的传统方法是试错法，即对历年水情资料进行统计分析，计算出某一保证率下的设计水量，以此作为水质模拟的水量设计条件。在满足水质约束的前提下，反复调试污染源项，使得总的排放量达到最大。此方法工作量大且经验性强。本文从反问题角度，首
3、次尝试构造并求解了河网地区带约束条件的污染源控制反问题。1 带约束的源项控制反问题的提法本文用组合单元解法建立河网地区水量、水质模型作为求解正问题的数学模型，并据此构造反问题。1.1 组合单元水质模型 河网地区水力特性复杂，河流、 湖泊、沟塘等水体交错连接，对水量、水质模拟带来不便。组合单元水量、水质模型对水网进行适当的简化后，将模拟水体视为若干彼此相连的单元的组合体，每个单元可视为贮水贮质的容器，根据单元的水动力条件建立水量模型 1，根据单元与相邻单元间污染物质的对流输运、扩散输运及污染物质自身的降解建立水质模型 2。进行水质规划时，往往先进行水量计算得到稳态流场，作为水质模拟的输入条件，再
4、进行稳态水质计算。对水质模拟，由控制方程得到差分形式的代数方程：AC=B (1)式中：C为 N 个单元的水质浓度组成的列向量；B为由源项产生的列向量;A为N 阶稀疏方阵，该矩阵任一元素可表示为：(2)bi=Si (3)式中：对流项取迎风差分格式，S i为第 i 个单元的源项；V i为第 i 个单元的蓄量；K 为污染物的降解系数(通常由化学分析、经验估计、模型率定综合得到)；Qi,j为从单元 i 流向单元 j 的流量；A i,j为单元 i 及单元 j 的连接河道断面面积；Ki,j为连接河道的流量系数，若 Qi,j0，则取 i,j=1；反之 i,j=0.若 Ck(B)代表第 k 个边界河道入口断面
5、浓度，它对被流入单元浓度的影响，计入在源项列向量B的相应元素 bi中，可令bi=Si+Qk(B)Ck(B) (4)式中：Q k(B)为第 k 个边界河道入口断面流量。1.2 污染源控制反问题的提法 设有 p 个限定单元给定污染物浓度上限C *，即：c(i)c *(i) i=1,2,p设有 q 个单元污染源输入量未知，以S=(s 1,s2,sq)T表示。由水质模型可模拟求得第 j(j=1,2,q)个污染源单位源项在第 i(i=1,2,p)个限定单元诱导浓度的分量 e(i,j),其它所有已知污染源项在第 i 个限定单元的诱导浓度分量记为 e0(i).由前可知，上述 p 个限定单元中任一单元(不妨假
6、设为第 i 个单元)的浓度 c(i)可用诱导浓度分量与向量S的乘积表示：(5)式中：s j为第 j 个未知的污染源项，据此，S的求解可归结为以下数学问题：(6)式中:b 0(i)=c*(i)-e0(i).此问题为带线性不等式约束的二次规划问题，目标函数取最小值，意味着水质达标的前提下，计算浓度充分接近水质标准，是试错法思想的一种最优控制的数学表述。可用非线性规划问题中的投影梯度法、简约梯度法及罚函数法等方法求解。本文选用简约梯度法求解。2 反问题的求解2.1 简约梯度法简介 3 简约梯度法(Reduced Gradient)的基本思想是 Wolfe 作为线性规划单纯形方法的推广而提出的，属于可
7、行方向法这一类的算法。大量的数值试验表明，简约梯度法对于大规模线性约束的非线性规划问题是最有效的，是当今世界上非常流行的约束最优化算法之一。2.2 源项控制问题的求解(1)将非等式约束问题转化为等式约束问题。即将式(1)中 p 个非等式约束条件转化为等式约束条件，有(6)式中:e(i,j)当 jq 为原表达式，当 jq 时定义为进一步将式(2)中约束条件用矩阵或向量表示，可简单表示为(7)式中:E为 p(q+p)阶已知矩阵，S为(q+p)阶列向量，B 0为 p 阶已知列向量。(2)迭代开始令迭代序号 k=1，选取初始可行解S (k)，给定终止误差(=10 -6).(3)与线性规划类似，将S (
8、k)的分量分成两部分S B(k)及S N(k)，其中SB(k)R p，称为基向量，S N(k)R q，称为非基向量，迭代开始后，若S B(k)0，则基向量不变；若某元素 sB(k)(j)=0，则将此元素换出，而以S N(k)中具有最大分量的元素代之。于是(8)(4)与S B(k)及S N(k)对应将E分成E=B，N (5)其中:B为E中对应于S B(k)的列组成的(pp)阶方阵，N对应于S N(k)的列组成的(pq)阶矩阵。(5)计算简约梯度。由ES (k)=B0得BS B(k)+NSN(k)=B0，因为B -1存在，从而基向量S B(k)可用非基向量S N(k)表示：S B(k)=B-1B0
9、-B-1NSN(k),因此，目标函数 f(S)可表示为：(8)利用复合函数求导法则，求 f(S(k)，记为 RN(k)RN(k)=-B-1NT BfS(k)+ NfS(k) (9)(6)构造可行下降方向D (k)。依据A的分解，搜索方向D (k)相应分解为(10)对于D (k)的取法，McCormick 对 Wolfe 法作了修正，令(11)DB(k)=-B-1NDN(k) (12)(7)若|D (k)|，停止迭代，输出S (k)；否则进入下步。(8)进行有效一维搜索，返回第 3 步。从S (k)出发，进行一维搜索，确定步长 t(k)。为使S (k+1)0，即使 Sj(k+1)=Sj(k)+t
10、(k)d(k)(j)0,j=1,2,q+p，需要确定 t(k)的取值范围。当 d(k)(j)0 时，上式恒成立，而当 dj(k)0 时，应有t(k)-S J(k)/d(k)(j),故令作为有效一维搜索时 t 的上界，并在 t0,t max上求 minf(S(k)+tD(k)的极小及相应的S (k+1)，返回第 3 步。3 算例为检验源项控制求解方法的可行性，构造水网共分为 38 个单元(如图所示)，假设根据水质规划的要求，第 8 及第 20 单元水质满足类水标准，第 29 及第31 单元水质满足类水标准，即C *=8.0，8.0，10.0，10.0 T，求得相应的污染源排放量最优解见表 1。图
11、 1 虚拟河网示意 图 2 单元划分示意表 1 简约梯度法求解污染源排入量单位：g/s单元号 1 14 21最优排污量 14.86 25.27 8.85为验证结果的可靠性，针对同样的控制问题，采用全局搜索对源项进行了计算，结果分别为：14.844g/S，25.338g/S，8.826g/S，两者结果非常接近，但后者所需时间较长。由此可知简约梯度法是求解带约束的非线性规划问题的适宜工具。4 结论本文通过带约束的源项反问题的构造，将水质浓度表示为污染源排放量的线性组合，使水质目标与污染物排放统一起来，在保障水质达标的情况下，最大限度地排放污染，具有理论意义，更具实践意义。参 考 文 献：1 Han
12、 Longxi, Zhang Sunong, Jin Zhongqing. Cell dividing method in calculation of unsteady flow for river network in plain areaJ。Journal of Hydraulic Engineering,1994,(2):52-56.2 Jin Zhongqing, Han Longxi. A new water quality model for plain river systemJ。Advances in Water Science, 1998,9(1):35-40.3 Bazaraa M S, Shetty C M. Nonlinear Programming:Theory and Algorithms M。John Wiley and Sons,1987.
