1、,第二章 2.3 双曲线,2.3.1 双曲线及其标准方程,学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 双曲线的定义,思考 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？,答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；,如果改变一下笔尖位置，使|MF2|MF1|常数，可得到另一条曲线.,梳理
2、(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 ； (2)关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的 (包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.,绝对值,这两个定点,焦距,两条射线,(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的 . (4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是 .,一支,线段F1F2的中垂线,知识点二 双曲线的标准方程,思考 双
3、曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？,答案 双曲线标准方程中，b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定； 而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b大小不确定.,梳理 (1)双曲线两种形式的标准方程,(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在 上；若y2项的系数为正，那么焦点在 上.,x轴,y轴,F1(c,0)， F2(c,0),F1(0，c)， F2(0，c),思考辨析 判断正误 (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离
4、)的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线. ( ) (3)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ),题型探究,线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于 A.11 B.9 C.5 D.3,类型一 双曲线定义的应用,解析 由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6， 即|3|PF2|6，解得|PF2|9(负值舍去)，故选B.,答案,解析,点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于,又由|F1F2|10，可得PF1F2是直角三角形，,C.24 D.48,答案,解析,反思
5、与感悟 焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2By21(AB0).,解答,由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支.,b2c2a26，,解答,类型二 求双曲线的标准方程,例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦距为26，且经过点M(0,12)；,解 双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12. 又2c26，c13，b2c2a225.,解答,解 设双曲线的方程为mx2ny
6、21(mn0)，,反思与感悟 待定系数法求方程的步骤 (1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴. (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式， 若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为 Ax2By21(AB0).,(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值. (4)结论：写出双曲线的标准方程.,解答,又a2b29，解得a25，b24，,解 由题意，知双曲线的两焦点为F1(0，3)，F2(0,3).,解答,解 若焦点在x轴上，,若焦点在y轴上，,例3 在相距2 000 m的两个哨所A，B，听到远处传来的炮弹爆炸声.已知当时的声速是330 m/s，在A哨所听到爆
7、炸声的时间比在B哨所迟4 s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.,类型三 双曲线定义及标准方程的应用,解答,解 设爆炸点为P，由已知可得|PA|PB|33041 3200. 因为|AB|2 0001 320， 所以点P在以A，B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上，建立如图所示的平面直角坐标系，,使A，B两点在x轴上，以线段AB的中点为坐标原点. 由2a1 320,2c2 000，得a660，c1 000，b2c2a2564 400.,反思与感悟 可以结合双曲线的性质，建立平面直角坐标系，然后结合双曲线的定义，建立关系式，然后化简，求出相应的方程.,证明,证明 如图所示，设|PF1
8、|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c，,则在PF1F2中，对于双曲线有|r2r1|2m，,则在PF1F2中，对于椭圆有r1r22a，,达标检测,答案,解析,A.11 C.m3 D.m1,1,2,3,4,5,解析 依题意应有m10，即m1.,答案,解析,2.已知F1(8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线,解析 F1，F2是定点，且|F1F2|10， 所以满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹应为一条射线.,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,解析,程是_.
9、,解析 设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,1.双曲线定义的理解 (1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.设F1，F2表示双曲线的左、右焦点， 若|MF1|MF2|2a，则点M在右支上； 若|MF2|MF1|2a，则点M在左支上. (2)双曲线定义的双向运用： 若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线； 若动点M在双曲线上，则|MF1|MF2|2a.,规律与方法,2.求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式. (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解. 特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，为简单起见，常标明条件mn0.,
